人教版A版高中数学必修二3.1.2两条直线平行与垂直的判定
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知直线,与互相垂直,则的值是(
)
A．
B．或
C．
D．或
【答案】B
【解析】
【分析】
根据直线垂直公式得到答案.
【详解】
已知直线,与互相垂直
或
故答案选B
【点睛】
本题考查了直线垂直的关系，意在考查学生的计算能力.
2．过点且垂直于直线的直线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据两直线垂直，则它们的斜率乘积为，由此求得所求直线的斜率，再由题意，结合点斜式，即可求解.
【详解】
根据题意，易得直线的斜率为，
由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为，
又知其过点，
由点斜式得所求直线方程为．
故选：A．
【点睛】
本题考查两直线的位置关系及直线方程的求法，考查求解运算能力，属于基础题.
3．直线与直线平行，则实数a的值为（
）
A．
B．
C．
D．6
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用斜率相等列方程求解即可.
【详解】
因为直线与直线平行，
所以，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查两直线平行的性质：斜率相等，属于基础题.
4．已知过点和点的直线为，，．若，，则的值为（
）
A．
B．
C．0
D．8
【答案】A
【解析】
【分析】
利用直线平行垂直与斜率的关系即可得出．
【详解】
∵l1∥l2，∴kAB＝＝－2，解得m＝－8．
又∵l2⊥l3，∴×(－2)＝－1，解得n＝－2，∴m＋n＝－10．故选:A．
【点睛】
本题考查了直线平行垂直与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5．直线与平行，则的值为（
）
A．
B．或
C．
D．或
【答案】A
【解析】
【分析】
根据两直线平行得出关于的等式与不等式，即可解得实数的值.
【详解】
由于直线与平行，则，解得.
故选：A.
【点睛】
本题考查利用两直线平行求参数，考查计算能力，属于基础题.
6．若直线与直线平行，则（）
A．
B．
C．或2
D．或
【答案】B
【解析】
【分析】
因为两直线平行，所以斜率相等，从而求出a的取值，再根据取值情况，检验是否重合.
【详解】
解：因为直线与直线平行，所以，解得：或，检验：当时，两直线重合，不成立，所以.
故答案为：B.
【点睛】
本题考查直线平行的条件，解题的关键是检验重合的情况，属于基础题.
7．直线：和直线：互相平行，则a的值为（
）
A．或3
B．或1
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由平行关系可得a（a-2）-3=0，解得a．经过验证即可得出．
【详解】
由，解得或，
经过验证可得：时两条直线重合，舍去，
.
故选：C.
【点睛】
本题考查直线的一般式方程与直线的平行关系，根据平行线系数关系可解出参数，注意舍去重合情况即可，是常考点也是易错点，属于简单题.
8．已知函数f(x)＝－x3＋2x2＋2x，若存在满足0≤x0≤3的实数x0，使得曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与直线x＋my－10＝0垂直，则实数m的取值范围是( )
A．[6，＋∞)
B．(－∞，2]
C．[2,6]
D．[5,6]
【答案】C
【解析】
【分析】
先求函数的导数，进而求出切线的斜率，由两直线垂直斜率之积等于﹣1，得到4x0﹣x02+2=m，再由二次函数求出最值即可．
【详解】
函数f（x）=﹣x3+2x2+2x的导数为f′（x）=﹣x2+4x+2．
曲线f（x）在点（x0，f（x0））处的切线斜率为4x0﹣x02+2，
由于切线垂直于直线x+my﹣10=0，则有4x0﹣x02+2=m，
由于0≤x0≤3，由4x0﹣x02+2=﹣（x0﹣2）2+6，对称轴为x0=2，
当且仅当x0=2，取得最大值6；
当x0=0时，取得最小值2．故m的取值范围是[2，6]．
答案：C
【点睛】
本题考查了曲线在某点处的切线的斜率，也考查两直线垂直的条件和二次函数最值的求法，属于中档题．
9．数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线已知的顶点，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设出点C的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出AB的垂直平分线，和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点C的坐标
【详解】
设C（m，n），由重心坐标公式得，三角形ABC的重心为代入欧拉线方程得：整理得：m-n+4=0
①
AB的中点为（1，2），
AB的中垂线方程为，
即x-2y+3=0．联立
解得
∴△ABC的外心为（-1，1）．
则（m+1）2+（n-1）2=32+12=10，整理得：m2+n2+2m-2n=8?
②
联立①②得：m=-4，n=0或m=0，n=4．
当m=0，n=4时B，C重合，舍去．∴顶点C的坐标是（-4，0）．故选A
【点睛】
本题考查了直线方程，求直线方程的一般方法：①直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接求出直线方程．②待定系数法：
先设出直线的方程，再根据已知条件求出假设系数，最后代入直线方程，待定系数法常适用于斜截式，已知两点坐标等．
10．数学家默拉在1765年提出定理，三角形的外心,重心,垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点重心是三角形三条中线的交点,垂心是三角形三条高的交点)依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称之为三角形的欧拉线,已知△ABC的顶点B(-1,0),C(0,2),AB=AC,则△ABC的欧拉线方程为（
）
A．2x-4y-3=0
B．2x+4y+3=0
C．4x-2y-3=0
D．2x+4y-3=0
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意计算出线段的垂直平分线
【详解】
,
则中点坐标为
,
则BC的垂直平分线方程为
,
,
即,
，
的外心，重心，垂心，都在线段BC的垂直平分线上
的欧拉线方程为
故选D
【点睛】
本题为求三角形的欧拉线，结合题意计算出等腰三角形底边上的垂直平分线，较为简单
二、填空题
11．若直线与直线平行，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据两条直线平行的条件列方程，解方程求得的值.
【详解】
由于直线与直线平行，所以，解得.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查两条直线平行的条件，属于基础题.
12．若直线l：x+ay+2＝0平行于直线2x﹣y+3＝0，则a＝_____.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可得,解之即可.
【详解】
因为直线l：x+ay+2＝0平行于直线2x﹣y+3＝0，所以,解得
故答案为:
.
【点睛】
本题考查直线的一般式方程和直线的平行关系,求解直线的平行关系的相关问题时，注意直线的和一般方程中的系数是否为0，属于基础题.
13．过点且与直线垂直的直线方程为____________．
【答案】
【解析】
【分析】
因为直线l与已知直线垂直，根据两直线垂直时斜率的乘积为-1，由已知直线的斜率求出直线l的斜率，然后根据（-1，2）和求出的斜率写出直线l的方程即可．
【详解】
因为直线2x-3y+9=0的斜率为
，所以直线l的斜率为
，
则直线l的方程为：
，化简得.
即答案为．
【点睛】
本题考查学生掌握两直线垂直时斜率的关系，会根据一点和斜率写出直线的点斜式方程，是一道基础题．
14．已知直线：，若的倾斜角为，则实数_______；若直线与直线垂直，则实数_______．
【答案】
2
【解析】
【分析】
根据倾斜角求得斜率，由此列方程求得的值.根据两直线垂直的条件列方程，由此解出的值.
【详解】
当倾斜角为时，斜率为，故.由于直线和直线垂直，所以，解得（时不是直线方程，舍去）.
【点睛】
本小题主要考查直线倾斜角与斜率的关系，考查两直线垂直的条件，属于基础题.
15．在平面直角坐标系中，若曲线(为常数)过点，且该曲线在点处的切线与直线垂直，则的值是_______.
【答案】5
【解析】
【分析】
将点代入曲线求出关于的关系式，再结合两直线垂直的条件和曲线在点的导数求解即可
【详解】
将点代入曲线可得，曲线的导数为
，根据曲线在点处的切线与直线垂直，所以过曲线上点的切线斜率为，联立得，，则
故答案为：5
【点睛】
本题考查曲线在某点对应切线斜率的求法，两直线垂直时斜率的关系，是中档题型.
三、解答题
16．已知两条直线：，为何值时，与：
（1）垂直；
（2）平行
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
先考虑x和y的系数为0时，与直线的方程，得出两直线是否平行或垂直，
再考虑x和y的系数不为0时，两直线的斜率，根据两直线平行或垂直的条件，列出方程求解m，注意验证两直线是否重合.
【详解】
当时，，此时与不平行也不垂直，
当时，直线的斜率，直线的斜率
（1）由得，所以
（2）由得，即，所以或，
当时，此时与重合，不符，舍去；
当时，，此时，符合
综上所述，.
【点睛】
本题考查两直线平行和垂直的判断条件，注意先需考虑x和y的系数为0的情况，属于基础题.
17．已知两条直线，相交于点.
（1）求交点的坐标；
（2）求过点且与直线垂直的直线的方程.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）两直线方程联立即可求得交点坐标；
（2）根据两直线垂直可求得直线斜率，进而求得直线方程.
【详解】
（1）由得：，
；
（2）直线斜率为，直线斜率.
，即：.
【点睛】
本题考查两直线交点坐标求解、根据两直线垂直求解直线方程的问题；关键是明确两直线垂直则斜率乘积为.
18．已知二元一次方程组无解，求k的值：
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意知两直线平行,根据直线与直线平行的关系建立方程,求解验证即可.
【详解】
解:因为二元一次方程组无解,
则与平行,
由，解得：．
经过验证满足题意．
时方程组无解．
【点睛】
本题考查两直线平行,求参数,是基础题.
19．已知两条直线
，当为何值时直线与分别有下列关系？
(1)⊥
；
(2)∥
【答案】18、解：(1)
（2）,
检验得，时与l2重合，
故
【解析】
(1)利用两直线垂直的充要条件可知,解出m值.
（2）先根据斜率相等求出m的值，然后再代入验证是否有重合情况.
1）
2·m-4·(1-m)=0
解得m=……5分
2)
2-m·(m+1)=0
解得m=1或m=2
检验得m=-2时，时与重合，故……5分
20．如图，圆C与x轴相切于点T(2，0)，与y轴的正半轴相交于A，B两点（A在B的上方），且AB＝3．
（1）求圆C的方程；
（2）直线BT上是否存在点P满足PA2＋PB2＋PT2＝12，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如果圆C上存在E，F两点，使得射线AB平分∠EAF，求证：直线EF的斜率为定值．
【答案】（1）；（2）点P坐标为.（3）见解析.
【解析】
【分析】
（1）求出圆C的半径为，即得圆C的方程；（2）先求出直线BT的方程为x+2y-2=0.
设P(2-2y,y),根据PA2＋PB2＋PT2＝12
求出点P的坐标；（3）由题得,即EF⊥BC,再求EF的斜率.
【详解】
（1）由题得，所以圆C的半径为.
所以圆C的方程为.
(2)在中，令x=0,则y=1或y=4.
所以A(0,4),B(0,1).
所以直线BT的方程为x+2y-2=0.
设P(2-2y,y),因为PA2＋PB2＋PT2＝12，
所以,
由题得
因为,
所以方程无解.
所以不存在这样的点P.
(3)由题得,
所以，
所以.
所以直线EF的斜率为定值．
【点睛】
本题主要考查圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系，考查圆中的定值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
试卷第1页，总3页人教版A版高中数学必修二3.1.2两条直线平行与垂直的判定
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知直线,与互相垂直,则的值是(
)
A．
B．或
C．
D．或
2．过点且垂直于直线的直线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
3．直线与直线平行，则实数a的值为（
）
A．
B．
C．
D．6
4．已知过点和点的直线为，，．若，，则的值为（
）
A．
B．
C．0
D．8
5．直线与平行，则的值为（
）
A．
B．或
C．
D．或
6．若直线与直线平行，则（）
A．
B．
C．或2
D．或
7．直线：和直线：互相平行，则a的值为（
）
A．或3
B．或1
C．
D．
8．已知函数f(x)＝－x3＋2x2＋2x，若存在满足0≤x0≤3的实数x0，使得曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与直线x＋my－10＝0垂直，则实数m的取值范围是( )
A．[6，＋∞)
B．(－∞，2]
C．[2,6]
D．[5,6]
9．数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线已知的顶点，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
10．数学家默拉在1765年提出定理，三角形的外心,重心,垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点重心是三角形三条中线的交点,垂心是三角形三条高的交点)依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称之为三角形的欧拉线,已知△ABC的顶点B(-1,0),C(0,2),AB=AC,则△ABC的欧拉线方程为（
）
A．2x-4y-3=0
B．2x+4y+3=0
C．4x-2y-3=0
D．2x+4y-3=0
二、填空题
11．若直线与直线平行，则__________．
12．若直线l：x+ay+2＝0平行于直线2x﹣y+3＝0，则a＝_____.
13．过点且与直线垂直的直线方程为____________．
14．已知直线：，若的倾斜角为，则实数_______；若直线与直线垂直，则实数_______．
15．在平面直角坐标系中，若曲线(为常数)过点，且该曲线在点处的切线与直线垂直，则的值是_______.
三、解答题
16．已知两条直线：，为何值时，与：
（1）垂直；
（2）平行
17．已知两条直线，相交于点.
（1）求交点的坐标；
（2）求过点且与直线垂直的直线的方程.
18．已知二元一次方程组无解，求k的值：
19．已知两条直线
，当为何值时直线与分别有下列关系？
(1)⊥
；
(2)∥
20．如图，圆C与x轴相切于点T(2，0)，与y轴的正半轴相交于A，B两点（A在B的上方），且AB＝3．
（1）求圆C的方程；
（2）直线BT上是否存在点P满足PA2＋PB2＋PT2＝12，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如果圆C上存在E，F两点，使得射线AB平分∠EAF，求证：直线EF的斜率为定值．
试卷第1页，总3页
