人教版A版高中数学必修二3.2.1直线的点斜式方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．经过点，且斜率为2的直线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
2．经过点，倾斜角是的直线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．把五个边长为1的正方形按如图所示的方式摆放在平面直角坐标系中，经过坐标原点的一条直线将这五个正方形分成面积相等的两部分，则该直线的表达式为(
)
A．
B．
C．
D．
4．.已知直线经过点，倾斜角为，则该直线的方程是（
）
A．
B．
C．
D．
5．在x轴上的截距为2且倾斜角为135°的直线方程是（
）
A．
B．
C．
D．
6．经过点，且斜率为的直线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
7．直线的倾斜角是（
）
A．
B．
C．
D．
8．经过点且在轴上的截距为3的直线方程是（
）.
A．
B．
C．
D．
9．已知点，，直线方程为，且直线与线段相交，求直线的斜率的取值范围为（
）
A．或
B．或
C．
D．
10．
将直线x+2y=0绕坐标原点逆时针旋转90°，再向下平移1个单位，所得到直线的方程为
A．x-2y-1=0
B．2x-y-1=0
C．2x+y-1=0
D．2x-y+1=0
二、填空题
11．经过点，且以为一个方向向量的直线的方程为_____.
12．对任意实数，直线恒过定点，则该定点的坐标为_________
13．若点在过点和的直线上，则实数的值为________
14．过点作一直线，使它夹在两直线：与：之间的线段恰被点平分，则此直线的方程为______.
15．抛物线的一条弦被平分，那么这条弦所在的直线方程是__________.
三、解答题
16．已知的顶点坐标分别为，，．
（1）求边上的中线所在的直线的方程；
（2）若直线过点，且与直线平行，求直线的方程．
17．已知的三个顶点，，．
（1）求边上的中线所在直线的方程；
（2）求边上的高线所在直线的方程．
18．已知直线l经过点，并且其倾斜角等于直线的倾斜角的2倍.求直线l的方程.
19．求适合下列条件的直线方程：
（1）过点，斜率是直线的斜率的倍；
（2）经过点且在两坐标轴上的截距相等．
20．已知点在椭圆上，过点作轴于点
（1）求线段的中点的轨迹的方程
（2）设、两点在（1）中轨迹上，点，两直线与的斜率之积为，且（1）中轨迹上存在点满足，当面积最小时，求直线的方程．
试卷第1页，总3页人教版A版高中数学必修二3.2.1直线的点斜式方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．经过点，且斜率为2的直线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用直线的点斜式方程，再化成一般形式，即可得到答案.
【详解】
由直线的点斜式方程得：.
故选：B.
【点睛】
本题考查直线的点斜式方程，考查对方程形式的理解，属于基础题.
2．经过点，倾斜角是的直线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先由倾斜角求出直线斜率，再由直线的点斜式方程，即可得出结果.
【详解】
因为直线的倾斜角是，所以其斜率为，
又直线经过点，
所以，直线方程为：，即.
故选：B
【点睛】
本题主要考查求直线的方程，熟记直线的点斜式方程，以及直线斜率的定义即可，属于基础题型.
3．把五个边长为1的正方形按如图所示的方式摆放在平面直角坐标系中，经过坐标原点的一条直线将这五个正方形分成面积相等的两部分，则该直线的表达式为(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据已知在直线下方是面积为的直角三角形，求出直线与的交点，即可求出方程
【详解】
直线将这五个正方形分成面积相等的两部分，
在直线下方是面积为的直角三角形，所以直线过，
所以直线方程为.
故选:C.
【点睛】
本题考查直线方程，属于基础题.
4．.已知直线经过点，倾斜角为，则该直线的方程是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据倾斜角可求出直线的斜率，又直线经过点，由点斜式即可写出直线方程.
【详解】
因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，
又直线经过点，则直线的方程为：即.
故选：D
【点睛】
本题主要考查了直线的倾斜角和斜率的关系，运用点斜式写直线方程，属基础题.
5．在x轴上的截距为2且倾斜角为135°的直线方程是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由直线的倾斜角求出直线的斜率，再由在轴上的截距为，得到直线与轴的交点坐标，即可确定出所求直线的方程．
【详解】
根据题意得：直线斜率为，直线过，
则直线方程为，即．
故选：C．
【点睛】
此题考查了直线的截距式方程，以及倾斜角与斜率的关系，属于基础题．
6．经过点，且斜率为的直线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据点斜式得到，化简得到答案.
【详解】
经过点，且斜率为的直线方程为，即.
故选：.
【点睛】
本题考查了直线方程，意在考查学生的计算能力.
7．直线的倾斜角是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先得到直线方程的斜率，然后根据的关系，以及的范围，求出答案.
【详解】
因为直线方程是，
所以该直线的斜率，
所以可得，
而
所以该直线的倾斜角是.
故选：C
【点睛】
本题考查根据直线方程求直线的倾斜角，属于简单题.
8．经过点且在轴上的截距为3的直线方程是（
）.
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
求出直线的斜率,然后代入点斜式即可.
【详解】
由题意知,所求直线经过点,点，
代入直线的斜率公式可得,,
所以所求的直线方程为,
化简可得,.
故选:C
【点睛】
本题考查直线方程的求法;属于基础题.
9．已知点，，直线方程为，且直线与线段相交，求直线的斜率的取值范围为（
）
A．或
B．或
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
本题首先可以根据直线方程来确定直线过定点，然后根据题意绘出直线与线段相交的图像并求出与的值，最后根据图像即可得出结果．
【详解】
因为直线方程为，即，
所以直线过定点，
根据，，直线与线段相交，可绘出图像：
因为，，
所以直线的斜率的取值范围为或
，故选A．
【点睛】
本题考查直线的斜率的取值范围，能否确定直线的旋转范围是解决本题的关键，考查直线的点斜式方程的应用，考查数形结合思想，是中档题．
10．
将直线x+2y=0绕坐标原点逆时针旋转90°，再向下平移1个单位，所得到直线的方程为
A．x-2y-1=0
B．2x-y-1=0
C．2x+y-1=0
D．2x-y+1=0
【答案】B
【解析】
将直线x+2y=0绕坐标原点逆时针旋转90°，得，再向下平移1个单位，得，选B.
二、填空题
11．经过点，且以为一个方向向量的直线的方程为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
求出直线的斜率，可得出直线的点斜式方程，化为一般式即可.
【详解】
直线的斜率为，所以，直线的方程为，即.
故答案为：.
【点睛】
本题考查直线的方程，考查直线的方向向量与斜率的关系，考查计算能力，属于基础题.
12．对任意实数，直线恒过定点，则该定点的坐标为_________
【答案】
【解析】
【分析】
将直线方程化为点斜式，即可求解.
【详解】
化为，
方程表示过点斜率为的直线方程，
所以直线过定点.
故答案为:.
【点睛】
本题考查直线方程一般式与其它形式之间互化，属于基础题.
13．若点在过点和的直线上，则实数的值为________
【答案】
【解析】
【分析】
求出过点和的直线方程，将代入方程，即可求解.
【详解】
过点和的直线方程为，
当时，.
故答案为:.
【点睛】
本题考查点共线以及直线方程，属于基础题.
14．过点作一直线，使它夹在两直线：与：之间的线段恰被点平分，则此直线的方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】
设出、其中一点坐标，结合中点坐标公式表示另一点坐标，代入直线方程求出、两点坐标，进而计算此直线方程.
【详解】
设过点的一条直线为，与和分别交于点，则点关于点对称.
设，则.
将点坐标代入直线:
可得，解得.
则，所以直线方程的斜率为.
所以此直线方程为，整理后即为.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了求直线方程，解题时点为中点，运用中点坐标设两点坐标是关键，然后代入直线方程求解点坐标，进而求出直线方程，需要掌握此题的解法，且有一定计算量.
15．抛物线的一条弦被平分，那么这条弦所在的直线方程是__________.
【答案】
【解析】
【分析】
设弦的两个端点的坐标，用点差法，即：代入抛物线方程后作差，代入点坐标得到弦所在的直线的斜率，由点斜式求出直线的方程.
【详解】
设弦的两个端点为，
分别代入抛物线方程，得：
①-②得：，即，
又因为被点平分，所以，则，
即弦所在的直线的斜率.
所以这条线所在的直线方程为：，即.
故答案为：.
【点睛】
本题考查抛物线的弦的方程，涉及到弦的中点问题，一般用点差法求出直线斜率，还考查直线的点斜式方程.
三、解答题
16．已知的顶点坐标分别为，，．
（1）求边上的中线所在的直线的方程；
（2）若直线过点，且与直线平行，求直线的方程．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）求出线段BC的中点D，求出直线AD的斜率，写出点斜式方程，再化简成一般式；
（2）由直线与直线平行可得直线l的斜率与直线AC的斜率相等，根据斜率计算公式求出斜率，然后得直线l的点斜式方程，再化为一般式．
【详解】
（1）设的中点为，因为，，所以．
因为直线的斜率，所以所求直线的方程为，即．
（2）因为直线与直线平行，所以直线的斜率．
故的方程为，即．
【点睛】
本题主要考查直线的点斜式方程与直线与直线平行的判定，属于基础题．
17．已知的三个顶点，，．
（1）求边上的中线所在直线的方程；
（2）求边上的高线所在直线的方程．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）先计算边的中点，然后计算，根据点斜式，可得结果.
（2）计算，然后根据垂直关系，可得边上的高线的斜率，利用点斜式，可得结果.
【详解】
（1）由题意得：边的中点为，
所以直线的斜率，
所以边上的中线所在直线方程
为，即．
（2）由题意得：直线的斜率，
所以边上的高所在直线方程为，
即．
【点睛】
本题考查直线方程的求法以及两直线垂直关系，属基础题.
18．已知直线l经过点，并且其倾斜角等于直线的倾斜角的2倍.求直线l的方程.
【答案】
【解析】
【分析】
求出直线的倾斜角，可得所求直线的倾斜角，从而可得斜率，再利用点斜式可得结果.
【详解】
因为直线的斜率为，
所以其倾斜角为30°，
所以，所求直线的倾斜角为60°故所求直线的斜率为
，
又所求直线经过点，
所以其方程为
，
即，
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查直线的斜率与倾斜角，考查了直线点斜式方程的应用，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题.
19．求适合下列条件的直线方程：
（1）过点，斜率是直线的斜率的倍；
（2）经过点且在两坐标轴上的截距相等．
【答案】（1）（2）或
【解析】
【分析】
(1)求出斜率后，代点斜式即可求解；
(2)根据直线在两坐标轴上截距相等，则截距可能为也可能不为，分类讨论后，结合直线方程求法，即可对本题求解．
【详解】
(1)设所求直线的斜率为，依题意．
又直线经过点，
因此所求直线方程为，即．
(2)设直线在轴上的截距均为，
若，即过点和，
∴的方程为，即．
若，则设的方程为，
∵过点，
∴，
∴，
∴的方程为，
综上可知，直线的方程为或．
【点睛】
本题主要考查直线方程的求法，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于中档题.
20．已知点在椭圆上，过点作轴于点
（1）求线段的中点的轨迹的方程
（2）设、两点在（1）中轨迹上，点，两直线与的斜率之积为，且（1）中轨迹上存在点满足，当面积最小时，求直线的方程．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）设线段的中点为，得出点的坐标为，然后代入椭圆方程并化简后得出所求轨迹方程；
（2）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆联立，消去，并列出韦达定理，利用直线和的斜率之积得出，可得出，由知，于是得出直线的方程为，将该直线与椭圆方程联立并结合两点间的距离公式得出，最后利用三角形的面积公式以及基本不等式求出面积的最小值，利用基本不等式等号成立的条件求出的值，即可求出直线的方程。
【详解】
（1）设线段的中点为，则，，
即；
（2）设直线，，，，，
联立，得．
，．
，
得到．
则为，解得，同理．
，
．
当，即时，有最小值为．
此时直线的方程为．
【点睛】
本题考查轨迹方程的求解、直线与椭圆的综合问题，求解直线与圆锥曲线的综合问题，联立与韦达定理法是常见解法，弄清楚这种方法的应用情形，另外在求最值时，常用基本不等式法，此外，二次函数法、单调性法以及三角换元法等都是常用方法。
试卷第1页，总3页
