人教版A版高中数学必修二3.2.3直线的一般式方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．直线的斜率为（
）
A．
B．
C．
D．
2．直线过点且与直线垂直，则的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
3．直线2x﹣y﹣12＝0的斜率为（
）
A．2
B．﹣2
C．
D．
4．过点且与直线垂直的直线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
5．直线3x+2y+6＝0的斜率为k，在y轴上的截距为b，则有（
）
A．k，b＝3
B．k，b＝﹣2
C．k，b＝3
D．k，b＝﹣3
6．过点且垂直于直线的直线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
7．“”是“直线与直线平行”的（
）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
8．在平面直角坐标系内，过定点P的直线l：ax＋y－1＝0与过定点Q的直线m：x－ay＋3＝0相交于点M，则|MP|2＋|MQ|2＝（
）
A．
B．
C．5
D．10
9．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（
）
A．
B．
C．或
D．或
10．直线3x+4y+5=0的斜率和它在y轴上的截距分别为（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
二、填空题
11．直线的斜率是3，且过点A(1,-2),则直线的方程是_____________．
12．已知直线，点，，若直线，则的值为__________．
13．过点且与直线平行的直线方程是____________.
14．经过两条直线和的交点，并且平行于直线的直线方程是________.
15．点到直线的距离的最大值为________.
三、解答题
16．已知△ABC的三个顶点分别为A（﹣3，0），B（2，1），C（﹣2，3），试求：
（1）边AC所在直线的方程；
（2）BC边上的中线AD所在直线的方程；
（3）BC边上的高AE所在直线的方程.
17．设直线l的方程为（a﹣1）x+y+a+3=0，（a∈R）．
（1）若直线l在两坐标轴上截距的绝对值相等，求直线l的方程；
（2）若直线l不经过第一象限，求实数a的取值范围．
18．设直线与相交于一点.
（1）求点的坐标；
（2）求经过点，且垂直于直线的直线的方程.
19．求两条垂直的直线和的交点坐标．
求平行于直线，且与它的距离为的直线方程．
20．已知椭圆()的短轴长为2，离心率为．过点M（2,0）的直线与椭圆相交于、两点,为坐标原点.
（1）求椭圆的方程；
（2）求的取值范围；
（3）若点关于轴的对称点是，证明：直线恒过一定点.
试卷第1页，总3页人教版A版高中数学必修二3.2.3直线的一般式方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．直线的斜率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
将直线方程化为斜截式，即可得出该直线的斜率.
【详解】
将直线方程化为斜截式得，因此，该直线的斜率为.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用直线方程求直线的斜率，考查计算能力，属于基础题.
2．直线过点且与直线垂直，则的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据所求直线与已知直线垂直,可以设出直线,结合所过点可得.
【详解】
因为直线与直线垂直,
所以设直线,
因为直线过点,
所以,即方程为.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查两直线的位置关系，与已知直线平行的直线一般可设其方程为；与已知直线垂直的直线一般可设其方程为.
3．直线2x﹣y﹣12＝0的斜率为（
）
A．2
B．﹣2
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
将直线方程化为斜截式，即可求解.
【详解】
直线方程2x﹣y﹣12＝0化为，斜率为2.
故选:A.
【点睛】
本题考查直线的几何特征、直线方程形式之间的转化，属于基础题.
4．过点且与直线垂直的直线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据求出与之垂直直线的斜率，再利用点斜式求得直线方程。
【详解】
由可得直线斜率，根据两直线垂直的关系，求得，再利用点斜式，可求得直线方程为，化简得，选A
【点睛】
当直线斜率存在时，直线垂直的斜率关系为
5．直线3x+2y+6＝0的斜率为k，在y轴上的截距为b，则有（
）
A．k，b＝3
B．k，b＝﹣2
C．k，b＝3
D．k，b＝﹣3
【答案】D
【解析】
【分析】
把直线的一般式方程化为斜截式方程,即可找出直线的斜率k及与y轴的截距b即可.
【详解】
方程变形为:,所以此直线的斜率,直线在y轴上的截距.
故选：D.
【点睛】
此题考查了直线的一般式方程,把直线的一般式方程化为斜截式方程是解本题的关键,属于基础题.
6．过点且垂直于直线的直线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
过点且垂直于直线的直线方程的斜率为，由直线的点斜式方程，即得解.
【详解】
过点且垂直于直线的直线方程的斜率为，由直线的点斜式方程：
，即
故选：A
【点睛】
本题考查了过定点与已知直线垂直的直线方程，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.
7．“”是“直线与直线平行”的（
）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
首先把带入两条直线，再判断两条直线是否平行，其次当两条直线平行时计算的值。
【详解】
当时，直线，直线。此时，两条直线平行。
当，当时两条直线重合，舍弃。因此。所以为充要条件。
故选择C
【点睛】
本题主要考查了命题以及直线平行的问题,属于基础题。
8．在平面直角坐标系内，过定点P的直线l：ax＋y－1＝0与过定点Q的直线m：x－ay＋3＝0相交于点M，则|MP|2＋|MQ|2＝（
）
A．
B．
C．5
D．10
【答案】D
【解析】
【分析】
先计算P（0，1），Q（－3，0），再根据垂直关系得到|MP|2＋|MQ|2＝|PQ|2计算得到答案.
【详解】
由题意知P（0，1），Q（－3，0）
∵过定点P的直线ax＋y－1＝0与过定点Q的直线x－ay＋3＝0垂直，
∴MP⊥MQ，∴|MP|2＋|MQ|2＝|PQ|2＝9＋1＝10.
故选：
【点睛】
本题考查了直线过定点问题，抓住垂直关系得到|MP|2＋|MQ|2＝|PQ|2是解题的关键.
9．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（
）
A．
B．
C．或
D．或
【答案】D
【解析】
【分析】
设直线方程为，计算截距得到，计算得到答案.
【详解】
易知斜率不存在时不满足；
设直线方程为，则截距和为：解得或
故直线方程为：和
故选：
【点睛】
本题考查了直线方程，意在考查学生的计算能力.
10．直线3x+4y+5=0的斜率和它在y轴上的截距分别为（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】C
【解析】
试题分析：根据斜率公式,令则，即为在y轴上的纵截距．
考点：直线的斜率和截距．
二、填空题
11．直线的斜率是3，且过点A(1,-2),则直线的方程是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据点斜式写出直线方程，并化为一般式.
【详解】
由直线方程的点斜式得，化简得.
【点睛】
本小题主要考查直线方程点斜式，考查点斜式转化为一般式，属于基础题.
12．已知直线，点，，若直线，则的值为__________．
【答案】1
【解析】
【分析】
先由题意，得到直线的斜率为，再由，由题意，得到，求解，即可得出结果.
【详解】
因为直线的斜率为，
又点，，直线，
所以，即，解得：.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查由两直线垂直求参数，熟记两直线垂直的判定方法即可，属于常考题型.
13．过点且与直线平行的直线方程是____________.
【答案】
【解析】
【分析】
求出所求直线的斜率，然后利用点斜式得出所求直线的方程，化为一般式可得出结果.
【详解】
直线的斜率为，因此，所求直线的方程为，即.
故答案为：.
【点睛】
本题考查根据两直线平行求直线方程，可以利用平行直线系方程求解，一般求出直线的斜率，利用点斜式方程求解，考查计算能力，属于基础题.
14．经过两条直线和的交点，并且平行于直线的直线方程是________.
【答案】
【解析】
【分析】
先求出两相交直线的交点，设出平行于直线的直线方程，根据交点在直线上，求出直线方程.
【详解】
联立直线的方程，得到两直线的交点坐标，
平行于直线的直线方程设为，
则
所以直线的方程为：
故答案为：
【点睛】
本题考查了直线的交点，以及与已知直线平行的直线方程，考查了学生概念理解，转化与划归的能力，属于基础题.
15．点到直线的距离的最大值为________.
【答案】
【解析】
【分析】
先判断过定点，可得点到直线的距离的最大值就是点与点的距离，从而可得结果.
【详解】
化简可得，
由，
所以过定点，
点到直线的距离的最大值就是
点与点的距离为，
故答案为.
【点睛】
本题主要考查直线过定点问题以及两点间距离公式的应用，考查了转化思想的应用，属于中档题.
转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本解法将求最大值的问题转化成了两点间的距离的问题来解决，转化巧妙.
三、解答题
16．已知△ABC的三个顶点分别为A（﹣3，0），B（2，1），C（﹣2，3），试求：
（1）边AC所在直线的方程；
（2）BC边上的中线AD所在直线的方程；
（3）BC边上的高AE所在直线的方程.
【答案】（1）3x﹣y+9＝0（2）2x﹣3y+6＝0（3）2x﹣y+6＝0
【解析】
【分析】
（1）利用直线方程的两点式，即可求解；
（2）求出BC边上的中点D坐标，利用两点坐标，即可求出直线方程；
（3）求出直线的斜率，即可得到高的斜率，利用直线方程的点斜式，即可求解.
【详解】
（1）∵A（﹣3，0），C（﹣2，3），
故边AC所在直线的方程为：，
即3x﹣y+9＝0，
（2）BC边上的中点D（0，2），
故BC边上的中线AD所在直线的方程为，
即2x﹣3y+6＝0，
（3）BC边斜率k，
故BC边上的高AE的斜率k＝2，
故BC边上的高AE所在直线的方程为y＝2（x+3），
即2x﹣y+6＝0.
【点睛】
本题考查直线方程，熟练掌握直线方程的各种形式是解题的关键，属于基础题.
17．设直线l的方程为（a﹣1）x+y+a+3=0，（a∈R）．
（1）若直线l在两坐标轴上截距的绝对值相等，求直线l的方程；
（2）若直线l不经过第一象限，求实数a的取值范围．
【答案】（1）﹣4x+y=0，﹣x+y+3=0或x+y+5=0．（2）a≥﹣1．
【解析】
【分析】
（1）由直线截距的概念，列方程求解即可；
（2）先讨论直线的斜率是否存在，然后分情况讨论截距是否为0，再列不等式组运算即可得解.
【详解】
解：（1）由直线l在两坐标轴上截距的绝对值相等，可得，
令，得，令，得，
由已知有，解得或或，
故直线l的方程为﹣4x+y=0或﹣x+y+3=0或x+y+5=0；
（2）由直线l不经过第一象限，
则①当，即时，直线l的方程为，显然满足题意；
②当，即时，则或，解得，
综合①②可得：实数a的取值范围为．
【点睛】
本题考查了直线截距的概念，重点考查了直线的性质，属基础题.
18．设直线与相交于一点.
（1）求点的坐标；
（2）求经过点，且垂直于直线的直线的方程.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）将两直线方程联立，求出方程组的公共解，即可得出点的坐标；
（2）求出直线的斜率，可得出垂线的斜率，然后利用点斜式方程可得出所求直线的方程，化为一般式即可.
【详解】
（1）由，解得，因此，点的坐标为；
（2）直线的斜率为，垂直于直线的直线斜率为，
则过点且垂直于直线的直线的方程为，
即：.
【点睛】
本题两直线交点坐标的计算，同时也考查了直线的垂线方程的求解，解题时要将两直线的垂直关系转化为斜率关系，考查计算能力，属于基础题.
19．求两条垂直的直线和的交点坐标．
求平行于直线，且与它的距离为的直线方程．
【答案】（1）；（2）或.
【解析】
【分析】
由题意利用两条直线垂直的性质，求得a的值，再联立方程组求得两直线交点的坐标．
由题意利用用待定系数法设出直线的方程，再利用两条平行线间的距离公式求得m的值，可得要求的直线的方程．
【详解】
两条垂直的直线和，
，
解得，
两条垂直的直线：和，
由，解得，
故直线和的交点坐标．
设平行于直线，且与它的距离为的直线方程为，
则，解得，或，
故所求直线方程为：，或．
【点睛】
本题主要考查两条直线平行与垂直的性质，求两条直线的交点，两条平行线间的距离公式的应用，用待定系数法求直线的方程，属于基础题．
20．已知椭圆()的短轴长为2，离心率为．过点M（2,0）的直线与椭圆相交于、两点,为坐标原点.
（1）求椭圆的方程；
（2）求的取值范围；
（3）若点关于轴的对称点是，证明：直线恒过一定点.
【答案】（1）.（2）.（3）直线过定点.
【解析】
【分析】
【详解】
（1）易知，得,故.
故方程为.
（2）设：，与椭圆的方程联立,消去得
.由△＞0得.
设,则.
∴
=
，∴，
故所求范围是.
（3）由对称性可知N，定点在轴上.
直线AN：，令得:
,
∴直线过定点.
试卷第1页，总3页
