人教版A版高中数学必修二3.2.2直线的两点式方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知三角形三个顶点，则边上中线所在直线方程是（）
A．
B．
C．
D．
2．直线的倾斜角为（
）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
3．过，的直线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知直线与轴的交点为，与轴的交点为，则直线的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
5．过点作直线l，使它在两坐标轴上的截距相等，则直线1有（
）．
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
6．已知A（1，2）、B（-1，4）、C（5，2），则ΔABC的边AB上的中线所在的直线方程为（
）
A．x+5y-15=0
B．x=3
C．x-y+1=0
D．y-3=0
7．过点且在两坐标轴上截距互为相反数的直线条数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
8．已知直线与两坐标轴围成一个三角形，该三角形的面积记为.当时，的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
9．已知直线：与直线：交于点，为坐标原点，则直线的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
10．下列命题中正确的是（ ）
A．经过点的直线都可以用方程表示
B．经过定点的直线都可以用方程表示
C．经过任意两个不同点的直线都可用方程表示
D．不经过原点的直线都可以用方程表示
二、填空题
11．过点（4，－2）和点（－1，3）的直线方程为____________.
12．过点P(4,2)并且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（化为一般式）________.
13．函数在处的切线与坐标轴所围成的三角形面积为_______.
14．在平面直角坐标系中，的坐标分别为，，，则的平分线所在直线的方程为_______
15．过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为_________.
三、解答题
16．已知的三个顶点，，.
（1）求边所在直线的方程；
（2）求边上中线所在直线的方程.
17．已知三角形的三个顶点.
（1）求BC边所在直线的方程；
（2）求BC边上的高所在直线方程.
18．已知的顶点，，是的中点.
（1）求直线的方程；
（2）求边上的高所在直线的方程.
19．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：
（1）过定点A（－3，4）；
（2）斜率为．
20．已知圆.
（1）若圆的切线在轴、轴上的截距相等，求切线方程；
（2）从圆外一点向该圆引一条切线，切点为，且有（为坐标原点），求使取得最小值时点的坐标.
试卷第1页，总3页人教版A版高中数学必修二3.2.2直线的两点式方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知三角形三个顶点，则边上中线所在直线方程是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意可知，BC边上的中线所在的直线应该过A点和BC边上的中点,
已知B、C两点的坐标，根据线段中点坐标计算公式可知BC中点的坐标，再利用直线的两点式可得直线的方程.
【详解】
,中点的坐标为（，），即（，）.
则边上的中线应过两点，
由两点式得：，整理，得
故选：C.
【点睛】
本题考查了求两点的中点和求直线方程，属于基础题.
2．直线的倾斜角为（
）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
【答案】D
【解析】
【分析】
由直线方程得到直线斜率，进而得到其倾斜角.
【详解】
因直线方程为，
所以直线的斜率，故其倾斜角为150°.
故选D
【点睛】
本题主要考查求直线的倾斜角，熟记定义即可，属于基础题型.
3．过，的直线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据直线的两点式方程，直接可得出结果.
【详解】
因为所求直线过点，，
所以，即.
故选：B
【点睛】
本题主要考查求直线的方程，熟记直线的两点式方程即可，属于基础题型.
4．已知直线与轴的交点为，与轴的交点为，则直线的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意可得出直线的截距式方程，化为一般式即可得出结果.
【详解】
由题意可知，直线的截距式方程为，其一般式方程为.
故选：A.
【点睛】
本题考查直线方程的求解，要结合直线已知元素类型选择合适的方程来表示直线，考查计算能力，属于基础题.
5．过点作直线l，使它在两坐标轴上的截距相等，则直线1有（
）．
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
【答案】B
【解析】
【分析】
由直线的截距式方程的求法，设①当两截距为0时，②当两截距不为0时，求解即可.
【详解】
解：①当两截距为0时，直线过原点，所求直线的方程为，即，
②当两截距不为0时，可设所求的直线方程为，由，得，即所求直线的方程为．
综合①②得所求直线有2条，
故选B．
【点睛】
本题考查了直线的截距式方程，属中档题.
6．已知A（1，2）、B（-1，4）、C（5，2），则ΔABC的边AB上的中线所在的直线方程为（
）
A．x+5y-15=0
B．x=3
C．x-y+1=0
D．y-3=0
【答案】A
【解析】
由题可知AB的中点坐标为（0,3），又点C（5,2）所以中线的直线方程根据两点式可得：x+5y-15=0
7．过点且在两坐标轴上截距互为相反数的直线条数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
按照题意直线在两坐标轴上截距互为相反数，则讨论直线过原点和不过原点两种情况，然后计算出结果，确定直线的条数.
【详解】
由题意知直线在两坐标轴上截距互为相反数.
当直线过原点时直线方程为:；
当直线不过原点时设直线方程为，又因为截距互为相反数，则，
将点代入有，解得，此时直线方程为:.
综上满足过点且在两坐标轴上截距互为相反数的直线有条.
故选：.
【点睛】
本题考查了求直线方程，计算过程中需要满足其截距互为相反数，这里需要注意分类讨论是否过原点，还有就是要注意直线方程有五种形式，解题时设直线方程要结合题中条件运用最优的直线方程来解题.
8．已知直线与两坐标轴围成一个三角形，该三角形的面积记为.当时，的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
求出直线与两坐标轴的交点坐标，可得出的表达式，然后利用基本不等式可求出的最小值.
【详解】
在直线的方程中，令，得；令，可得.
，当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故选：C.
【点睛】
本题考查直线与坐标轴围成的三角形面积的最值的计算，解题的关键就是求出直线与两坐标轴的交点坐标，考查计算能力，属于中等题.
9．已知直线：与直线：交于点，为坐标原点，则直线的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
将两直线的一般式中的常数项均变为，验证，的坐标是否均满足该直线的方程即可判断.
【详解】
直线：，直线：，
两式相减可得.
因为点，的坐标都满足该直线的方程，故点，都在该直线上.
所以直线的方程为.
故选：.
【点睛】
本题考查了求过两点的直线方程，同时还需要求解两条直线的交点坐标，考查了转化思想和分析问题，解决问题的能力.
10．下列命题中正确的是（ ）
A．经过点的直线都可以用方程表示
B．经过定点的直线都可以用方程表示
C．经过任意两个不同点的直线都可用方程表示
D．不经过原点的直线都可以用方程表示
【答案】C
【解析】
【分析】
根据斜率不存在时不能用点斜式与斜截式表示、截距为零的直线不能用截距式表示，从而可得结果.
【详解】
因为直线与轴垂直时不能用点斜式与斜截式表示，所以选项不正确；
因为直线与坐标轴垂直时不能与截距式表示，所以选项不正确；
故选C.
【点睛】
本题主要考查直线的方程，直线方程主要有五种形式，每种形式的
直线方程都有其局限性，斜截式与点斜式要求直线斜率存在，所以用这两种形式设直线方程时要注意讨论斜是否存在；截距式要注意讨论截距是否为零；两点式要注意讨论直线是否与坐标轴平行；求直线方程的最终结果往往需要化为一般式.
二、填空题
11．过点（4，－2）和点（－1，3）的直线方程为____________.
【答案】
【解析】
【分析】
由两点坐标，先求出直线的斜率，再由点斜式求出直线方程.
【详解】
由题意可知，直线过点和点，
由两点坐标，求得斜率，
再由点斜式求得直线方程为：，
即：.
故答案为：.
【点睛】
本题考查由两点坐标求直线斜率，以及通过点斜式求出直线方程.
12．过点P(4,2)并且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（化为一般式）________.
【答案】或
【解析】
【分析】
根据直线在两坐标轴上截距相等，则截距可能为也可能不为，再结合直线方程求法，即可对本题求解．
【详解】
由题意，设直线在两坐标轴上的截距均为，
当时，设直线方程为：，
因为直线过点，所以，即，
所以直线方程为：,即：
，
当时，直线过点，且又过点，
所以直线的方程为，即：，
综上，直线的方程为：或.
故答案为：或
【点睛】
本题考查直线方程的求解，考查能力辨析能力，应特别注意，截距相等，要分截距均为和均不为两种情况分别讨论.
13．函数在处的切线与坐标轴所围成的三角形面积为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
依题意得，先求导，代数得，通过点斜式从而得出切线方程，求出直线与坐标轴的交点，即可得出三角形面积.
【详解】
因为，则，
因此时，则切点为，斜率，
故切线方程为：，即，
令，可得，令时，，
所以切线与坐标轴所围成的三角形面积为：.
故答案为:.
【点睛】
本题考查通过导数法求某点处的切线方程，运用切线斜率，直线的点斜式方程以及三角形面积.
14．在平面直角坐标系中，的坐标分别为，，，则的平分线所在直线的方程为_______
【答案】
【解析】
【分析】
设的平分线与交于，根据角平分线与面积关系求出，利用共线向量坐标关系，求出点坐标，即可求解.
【详解】
设的角平分线与交于，
，
，解得，
，所以的平分线方程为.
故答案为:.
【点睛】
本题考查角平分线方程、向量共线坐标，应用角平分线性质是解题的关键，属于中档题.
15．过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为_________.
【答案】2x+y=0，或
x-y+6=0
【解析】
【分析】
可分①当在坐标轴上截距为0时与②在坐标轴上截距不为0时讨论解决．
【详解】
：①当在坐标轴上截距为0时，所求直线方程为：y=-2x，即2x+y=0；
②当在坐标轴上截距不为0时，∵在坐标轴上截距互为相反数，
∴x-y=a，将A（-2，4）代入得，a=-6，
∴此时所求的直线方程为x-y+6=0；
即答案为2x+y=0，或
x-y+6=0.
【点睛】
本题考查直线的截距式方程，当在坐标轴上截距为0时容易忽略，考查分类讨论思想与缜密思考的习惯．
三、解答题
16．已知的三个顶点，，.
（1）求边所在直线的方程；
（2）求边上中线所在直线的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】
（1）由直线的两点式方程求解即可；
（2）先由中点坐标公式求出中点的坐标，再结合直线的两点式方程求解即可.
【详解】
（1）因为，，
由直线的两点式方程可得：边所在直线的方程，
化简可得；
（2）由，，
则中点，即，
则边上中线所在直线的方程为，
化简可得.
【点睛】
本题考查了中点坐标公式，重点考查了直线的两点式方程，属基础题.
17．已知三角形的三个顶点.
（1）求BC边所在直线的方程；
（2）求BC边上的高所在直线方程.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）由已知条件结合直线的两点式方程的求法求解即可；
（2）先求出直线BC的斜率，再求出BC边上的高所在直线的斜率，然后利用直线的点斜式方程的求法求解即可.
【详解】
解：（1），，直线BC的方程为，即.
（2），
直线BC边上的高所在的直线的斜率为，
又，
直线BC边上的高的方程为:
，
即BC边上的高所在直线方程为.
【点睛】
本题考查了直线的两点式方程的求法，重点考查了直线的位置关系及直线的点斜式方程的求法，属基础题.
18．已知的顶点，，是的中点.
（1）求直线的方程；
（2）求边上的高所在直线的方程.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先设，再结合中点坐标公式求解即可；
（2）所求直线与直线垂直，可算出斜率，又直线过点，利用点斜式即可求解；
【详解】
（1）设，由题意得∴∴.
∴直线的方程为；
（2）∵，，∴，
∴边上的高所在直线的斜率，
∴边上的高所在直线方程为：，即.
【点睛】
本题考查中点坐标公式，直线方程的求法，属于基础题
19．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：
（1）过定点A（－3，4）；
（2）斜率为．
【答案】（1）2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0；（2）x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0．
【解析】
试题分析：（1）要求直线方程，关键是求得直线的斜率，为此设直线方程为y＝k（x＋3）＋4，求出直线的横、纵截距，再利用直线与坐标轴围成的三角形面积为3求出k；（2）已知直线斜率，只要设直线方程为y＝x＋b，同样求得横截距是－6b，由|－6b·b|＝6，求得b值，得直线方程．
试题解析：（1）设直线l的方程是y＝k（x＋3）＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－－3，3k＋4，
由已知，得（3k＋4）＝±6，解得k1＝－或k2＝－．
故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0．
（2）设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是
y＝x＋b，它在x轴上的截距是－6b，由已知，得|－6b·b|＝6，∴b＝±1．
∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0．
考点：直线方程．
20．已知圆.
（1）若圆的切线在轴、轴上的截距相等，求切线方程；
（2）从圆外一点向该圆引一条切线，切点为，且有（为坐标原点），求使取得最小值时点的坐标.
【答案】（1）或或或；（2）.
【解析】
【分析】
（1）分两种情况讨论：①直线过原点，设所求切线方程为；②直线在轴、轴上的截距均为，设所求切线方程为.利用圆心到直线的距离等于半径列等式，求出相应的参数，即可得出所求切线的方程；
（2）先由求得点的轨迹方程为，由此可得出当与直线垂直时，最短，求出直线的方程，求出该直线与直线的交点，即为所求的点.
【详解】
（1）①设圆的切线在轴、轴上的截距均为，则切线过原点，设所求切线方程为，即.
则圆心到切线的距离为，解得：或．
此时，所求切线的方程为或；
②若截距均不为，设所求切线方程为，
则圆心到切线的距离为，解得，
此时，所求切线方程为或．
综上所述，所求切线方程为或或或；
（2）由题意可知，，则，
由得，化简得.
所以，点的轨迹方程为，
要使最小，即最小，过作直线的垂线，垂线方程为，
联立，解得，因此，所求的点的坐标为．
【点睛】
本题考查圆的切线方程的求法，同时也考查了动点轨迹方程的求解，考查计算能力，属于中等题.
试卷第1页，总3页
