人教版A版高中数学必修二3.3.1两直线的交点坐标
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知直线与直线交于点P，则点P的坐标为(
)
A．（1,5）
B．（2,3）
C．（3,1）
D．（0,0）
【答案】B
【解析】
【分析】
联立直线方程，方程组的解即为所求.
【详解】
联立直线与直线的方程，
容易得，
故点的坐标为.
故选：B.
【点睛】
本题考查由直线方程求解直线与直线的交点坐标，属基础题.
2．过直线与直线的交点，且过原点的直线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出直线与直线的交点坐标，然后可得出答案
【详解】
联立方程得，即与的交点为
又直线过原点
所以此直线的方程为：
故选：D
【点睛】
本题考查的是两直线交点坐标的求法及直线方程的求法，较简单.
3．若三直线经过同一个点，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出直线与的交点坐标，然后将交点坐标代入直线的方程后可求得.
【详解】
由，解得，
∴直线与的交点坐标坐标为．
由题意得点在直线上，
∴，解得．
故选D．
【点睛】
本题考查直线的交点，考查计算能力和数形结合思想方法，解题时根据代数方法求解即可，注意解析法的运用，属于基础题．
4．若三条直线，与直线交于一点，则（ ）
A．-2
B．2
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由前两个方程求出交点，将交点坐标代入第三条直线的方程中，即可求出参数值.
【详解】
两方程联立可得交点坐标为：，代入第三条直线方程：，
解得：.
故选C.
【点睛】
本题考查直线的交点，只需要联立方程即可求出交点，本题可将任意两条直线联立求交点坐标或其表达式，再代入另一条直线的方程即可，注意计算的准确性.
5．已知直线与直线的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
首先可以通过联立直线与直线方程解出交点坐标，然后再根据交点位于第一象限得出以及，最后通过计算得出结果。
【详解】
联立，解得，
由于直线与直线的交点位于第一象限，
所以，解得，故选C。
【点睛】
本题考查了平面直角坐标系的相关性质以及直线的相关性质，平面直角坐标系的第一象限有以及；第二象限有以及；第三象限有以及；第四象限有以及。
6．直线与直线的交点位于第一象限内，则实数a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
联立方程组解出交点坐标，结合象限内点坐标的特点，解不等式即可解决．
【详解】
解：由，解得，
直线与直线的交点位于第一象限内，
，解得：，
则实数a的取值范围是.
故选：C．
【点睛】
本题主要考查两直线交点坐标的求解，以及象限内点坐标的特点．
7．直线l与两直线y＝1和x－y－7＝0分别交于A，B两点，若线段AB的中点为M(1，－1)，则直线l的斜率为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设出直线l的斜率为k，又直线l过M点，写出直线l的方程，然后分别联立直线l与已知的两方程，分别表示出A和B的坐标，根据中点坐标公式表示出M的横坐标，让表示的横坐标等于1列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值即为直线的斜率．
【详解】
设直线l的斜率为k，又直线l过M（1，﹣1），则直线l的方程为y+1=k（x﹣1），
联立直线l与y=1，得到，解得x=，所以A（，1）；
联立直线l与x﹣y﹣7=0，得到，解得x=，y=，所以B（，），
又线段AB的中点M（1，﹣1），所以+=2，解得k=﹣．
故选D．
【点睛】
此题考查学生根据两直线方程求两直线的交点坐标，灵活运用中点坐标公式化简求值，考查学生计算能力及逻辑推理能力，属于中档题．
8．已知直线与直线平行，且在轴上的截距为，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【详解】
分析：根据两条直线平行，得到的等量关系，根据直线在轴上的截距，可得所满足的等量关系式，联立方程组求得结果.
详解：因为直线与直线平行，
所以，又直线在轴上的截距为，
所以，解得，所以，
所以，故选A.
点睛：该题考查的是有关直线的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有两条直线平行时系数所满足的条件，以及直线在y轴上的截距的求法，根据题中的条件，列出相应的等量关系式，求得结果.
9．已知是双曲线的右焦点，过点作垂直于轴的直线交于双曲线于两点，分别为双曲线的左、右顶点，连接交轴于点，连接并延长交于点，且为线段的中点，则双曲线的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先将代入双曲线，得到两点坐标，写出直线的方程，得到点坐标，写出直线的方程，得到点坐标，利用为线段的中点，构造出关于的方程，结合双曲线中，得到离心率的方程，解出离心率.
【详解】
根据题意，画出示意图，如图所示，则的横坐标都为，代入双曲线方程得,
而，所以直线方程为，
令，得
所以直线:，令得，，
因为为线段中点，所以可得
，整理得，所以
故选C项.
【点睛】
本题考查双曲线的通径，直线与双曲线的位置关系，直线的表示和交点的计算，属于中档题.
10．已知，两条不同直线与的交点在直线上，则的值为（
）
A．2
B．1
C．0
D．-1
【答案】C
【解析】
【分析】
联立方程求交点，根据交点在在直线上，得到三角关系式，化简得到答案.
【详解】
交点在直线上
观察分母
和不是恒相等
故
故答案选C
【点睛】
本题考查了直线方程，三角函数运算，意在考查学生的计算能力.
二、填空题
11．直线l1：x-y=0与直线l2：3x-2y-1=0的交点坐标为______．
【答案】（1，1）
【解析】
【分析】
直接联立直线方程，求解方程组即可．
【详解】
直线与直线的交点
可得，解得，
两条直线的交点坐标是．
故答案是：．
【点睛】
本题考查直线交点的求法，基本知识的考查，属于基础题．
12．直线与直线的交点坐标是_______．
【答案】
【解析】
【分析】
直接联立两直线方程，解方程组即可求出．
【详解】
由
解得，．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查直线交点的求法，属于基础题．
13．已知直线：与直线：相交于点，则点的坐标为__________，
【答案】
【解析】
【分析】
两直线方程联立方程组解之可得．
【详解】
由，解得，交点为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查两直线的交点坐标，直线方程联立方程组，解之可得交点坐标．
14．过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是_______．
【答案】
【解析】
【分析】
先求交点，再根据垂直关系得直线方程.
【详解】
直线与的交点为,
垂直于直线的直线方程可设为,
所以,即.
【点睛】
本题考查两直线垂直与交点，考查基本分析求解能力，属基础题.
15．若线性方程组有解，则实数的取值范围是_____________.
【答案】
【解析】
【分析】
令两直线平行得出的值，从而得出两直线不平行的条件，得出的范围．
【详解】
解：若方程组无解，
则直线与直线平行，
且，
故而，解得．
当时，直线与直线平行，
当时，直线与直线重合，方程组有无数解；
当时，直线与直线相交或重合，
即方程组有解，
即
故答案为：．
【点睛】
本题考查了直线与直线的位置关系，属于中档题．
三、解答题
16．已知直线经过两条直线:和:的交点，直线:；
(1)若，求的直线方程；
(2)若，求的直线方程．
【答案】(1)
；
(2)
【解析】
【分析】
(1)先求出与的交点，再利用两直线平行斜率相等求直线l
(2)利用两直线垂直斜率乘积等于-1求直线l
【详解】
（1）由，得，
∴与的交点为.
设与直线平行的直线为，
则，∴.
∴所求直线方程为.
（2）设与直线垂直的直线为，
则，解得．
∴所求直线方程为.
【点睛】
两直线平行斜率相等，两直线垂直斜率乘积等于-1．
17．已知直线与直线.
（1）求直线与的交点坐标；
（2）求经过直线与的交点，且与直线垂直的直线l的方程.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）联立方程，可得结果.
（2）根据两条直线垂直，假设直线l方程，结合（1）的结论，根据点斜式，可得结果.
【详解】
解：（1）由，解得，
两直线的交点坐标为.
（2）设与直线垂直的
直线l的方程为，
点在直线l上，，
故所求直线l的方程为.
【点睛】
本题主要考查平面线线的位置关系，属基础题
18．点P为两直线l1：3x+4y﹣2=0和l2：2x+y+2=0的交点．
（1）求过P点且与直线3x﹣2y+4=0平行的直线方程；
（2）求过原点且与直线l1和l2围成的三角形为直角三角形的直线方程．
【答案】（1）3x﹣2y+10=0（2）4x﹣3y=0或x﹣2y=0．
【解析】
【分析】
（1）联立直线l1与l2的方程，求出点，再由两直线平行斜率相等，根据点斜式即可求解.
（2）根据题意l1和l2不垂直，分析可得符合条件的直线可以与l1，l2任一直线垂直，
从而可求出直线的斜率，利用点斜式即可求解.
【详解】
（1）解方程组，得，∴点P（﹣2，2），
∵直线3x﹣2y+4=0的斜率为，
∴过P点的直线为y﹣2（x+2），即3x﹣2y+10=0．
（2）∵l1的斜率k1，l2的斜率k2=﹣2，∴l1和l2不垂直，
∴符合条件的直线可以与l1，l2任一直线垂直，
∴斜率为或，
∴直线方程为4x﹣3y=0或x﹣2y=0．
【点睛】
本题主要考查了两直线平行、垂直斜率之间的关系以及点斜式方程，需掌握住斜率存在时，两直线平行斜率相等；两直线垂直斜率之积为，此题属于基础题.
19．已知的顶点，AB边上的中线CM所在直线方程为，AC边上的高BH所在直线方程为求：
顶点C的坐标；
直线BC的方程．
【答案】(1)；(2)
【解析】
【分析】
先求直线AC的方程，然后求出C的坐标；设出B的坐标，求出M代入直线方程为，与直线为联立求出B的坐标然后可得直线BC的方程．
【详解】
由及AC边上的高BH所在的直线方程
得AC所在直线方程为
又AB边上的中线CM所在直线方程为
由得
设，又是AB的中点，则
由已知得得
又得直线BC的方程为
【点睛】
本题考查两条直线的交点，待定系数法求直线方程，是基础题．
20．已知为实数，设直线的方程为，直线的方程为.
（1）若与平行，求的值；
（2）当与相交时，用表示交点的坐标，并说明点一定在某一条定直线上.
【答案】（1）；（2），证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由两直线平行的等价条件可得出关于实数的方程，即可解出实数的值；
（2）将两直线方程联立可求得交点的坐标，然后令，，消去参数得出关于、的二元一次方程，即可证得结论.
【详解】
（1）与平行，则，解得；
（2）联立，解得，，所以点，
，即.
因此，点在直线上.
【点睛】
本题考查利用两直线平行求参数，同时也考查了直线交点坐标的计算，考查计算能力，属于中等题.
试卷第1页，总3页人教版A版高中数学必修二3.3.1两直线的交点坐标
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知直线与直线交于点P，则点P的坐标为(
)
A．（1,5）
B．（2,3）
C．（3,1）
D．（0,0）
【来源】贵州省2018年12月普通高中学业水平考试数学试题
【答案】B
【解析】
【分析】
联立直线方程，方程组的解即为所求.
【详解】
联立直线与直线的方程，
容易得，
故点的坐标为.
故选：B.
【点睛】
本题考查由直线方程求解直线与直线的交点坐标，属基础题.
2．过直线与直线的交点，且过原点的直线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【来源】四川省雅安市2019-2020学年高二上学期期末数学（文)试题
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出直线与直线的交点坐标，然后可得出答案
【详解】
联立方程得，即与的交点为
又直线过原点
所以此直线的方程为：
故选：D
【点睛】
本题考查的是两直线交点坐标的求法及直线方程的求法，较简单.
3．若三直线经过同一个点，则（
）
A．
B．
C．
D．
【来源】重庆市朝阳中学2018-2019学年高二上学期半期考试数学（文)试题
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出直线与的交点坐标，然后将交点坐标代入直线的方程后可求得.
【详解】
由，解得，
∴直线与的交点坐标坐标为．
由题意得点在直线上，
∴，解得．
故选D．
【点睛】
本题考查直线的交点，考查计算能力和数形结合思想方法，解题时根据代数方法求解即可，注意解析法的运用，属于基础题．
4．若三条直线，与直线交于一点，则（ ）
A．-2
B．2
C．
D．
【来源】甘肃省武威市第十八中学2018届高一人教版数学必修二第三章直线与方程单元测试题
【答案】C
【解析】
【分析】
由前两个方程求出交点，将交点坐标代入第三条直线的方程中，即可求出参数值.
【详解】
两方程联立可得交点坐标为：，代入第三条直线方程：，
解得：.
故选C.
【点睛】
本题考查直线的交点，只需要联立方程即可求出交点，本题可将任意两条直线联立求交点坐标或其表达式，再代入另一条直线的方程即可，注意计算的准确性.
5．已知直线与直线的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【来源】2019年1月9日《每日一题》（高一上期末复习)人教必修1
必修2-直线的交点坐标与距离公式
【答案】C
【解析】
【分析】
首先可以通过联立直线与直线方程解出交点坐标，然后再根据交点位于第一象限得出以及，最后通过计算得出结果。
【详解】
联立，解得，
由于直线与直线的交点位于第一象限，
所以，解得，故选C。
【点睛】
本题考查了平面直角坐标系的相关性质以及直线的相关性质，平面直角坐标系的第一象限有以及；第二象限有以及；第三象限有以及；第四象限有以及。
6．直线与直线的交点位于第一象限内，则实数a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【来源】安徽省合肥市肥东县第二中学2019-2020学年高二上学期期末数学(文)试题
【答案】C
【解析】
【分析】
联立方程组解出交点坐标，结合象限内点坐标的特点，解不等式即可解决．
【详解】
解：由，解得，
直线与直线的交点位于第一象限内，
，解得：，
则实数a的取值范围是.
故选：C．
【点睛】
本题主要考查两直线交点坐标的求解，以及象限内点坐标的特点．
7．直线l与两直线y＝1和x－y－7＝0分别交于A，B两点，若线段AB的中点为M(1，－1)，则直线l的斜率为( )
A．
B．
C．
D．
【来源】2017-2018学年高一数学（必修二)同步质量检测卷：两条直线的交点坐标
【答案】D
【解析】
【分析】
设出直线l的斜率为k，又直线l过M点，写出直线l的方程，然后分别联立直线l与已知的两方程，分别表示出A和B的坐标，根据中点坐标公式表示出M的横坐标，让表示的横坐标等于1列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值即为直线的斜率．
【详解】
设直线l的斜率为k，又直线l过M（1，﹣1），则直线l的方程为y+1=k（x﹣1），
联立直线l与y=1，得到，解得x=，所以A（，1）；
联立直线l与x﹣y﹣7=0，得到，解得x=，y=，所以B（，），
又线段AB的中点M（1，﹣1），所以+=2，解得k=﹣．
故选D．
【点睛】
此题考查学生根据两直线方程求两直线的交点坐标，灵活运用中点坐标公式化简求值，考查学生计算能力及逻辑推理能力，属于中档题．
8．已知直线与直线平行，且在轴上的截距为，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【来源】【全国市级联考】湖南省怀化市2018年上期高二期末考试文科数学试题
【答案】A
【解析】
【详解】
分析：根据两条直线平行，得到的等量关系，根据直线在轴上的截距，可得所满足的等量关系式，联立方程组求得结果.
详解：因为直线与直线平行，
所以，又直线在轴上的截距为，
所以，解得，所以，
所以，故选A.
点睛：该题考查的是有关直线的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有两条直线平行时系数所满足的条件，以及直线在y轴上的截距的求法，根据题中的条件，列出相应的等量关系式，求得结果.
9．已知是双曲线的右焦点，过点作垂直于轴的直线交于双曲线于两点，分别为双曲线的左、右顶点，连接交轴于点，连接并延长交于点，且为线段的中点，则双曲线的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
【来源】贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷二》数学（文)试题
【答案】C
【解析】
【分析】
先将代入双曲线，得到两点坐标，写出直线的方程，得到点坐标，写出直线的方程，得到点坐标，利用为线段的中点，构造出关于的方程，结合双曲线中，得到离心率的方程，解出离心率.
【详解】
根据题意，画出示意图，如图所示，则的横坐标都为，代入双曲线方程得,
而，所以直线方程为，
令，得
所以直线:，令得，，
因为为线段中点，所以可得
，整理得，所以
故选C项.
【点睛】
本题考查双曲线的通径，直线与双曲线的位置关系，直线的表示和交点的计算，属于中档题.
10．已知，两条不同直线与的交点在直线上，则的值为（
）
A．2
B．1
C．0
D．-1
【来源】湖北省孝感市2018-2019学年高一下学期期末数学试题
【答案】C
【解析】
【分析】
联立方程求交点，根据交点在在直线上，得到三角关系式，化简得到答案.
【详解】
交点在直线上
观察分母
和不是恒相等
故
故答案选C
【点睛】
本题考查了直线方程，三角函数运算，意在考查学生的计算能力.
二、填空题
11．直线l1：x-y=0与直线l2：3x-2y-1=0的交点坐标为______．
【来源】重庆市南川三校2018-2019学年高二上学期期中联考（文科)数学试题
【答案】（1，1）
【解析】
【分析】
直接联立直线方程，求解方程组即可．
【详解】
直线与直线的交点
可得，解得，
两条直线的交点坐标是．
故答案是：．
【点睛】
本题考查直线交点的求法，基本知识的考查，属于基础题．
12．直线与直线的交点坐标是_______．
【来源】甘肃省金昌市永昌四中2019-2020学年高一上学期期末数学试题
【答案】
【解析】
【分析】
直接联立两直线方程，解方程组即可求出．
【详解】
由
解得，．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查直线交点的求法，属于基础题．
13．已知直线：与直线：相交于点，则点的坐标为__________，
【来源】新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县第一中学2019-2020学年高二上学期期末数学试题
【答案】
【解析】
【分析】
两直线方程联立方程组解之可得．
【详解】
由，解得，交点为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查两直线的交点坐标，直线方程联立方程组，解之可得交点坐标．
14．过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是_______．
【来源】【市级联考】江苏省徐州市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题
【答案】
【解析】
【分析】
先求交点，再根据垂直关系得直线方程.
【详解】
直线与的交点为,
垂直于直线的直线方程可设为,
所以,即.
【点睛】
本题考查两直线垂直与交点，考查基本分析求解能力，属基础题.
15．若线性方程组有解，则实数的取值范围是_____________.
【来源】上海市曹杨二中2017-2018学年高三上学期第一次月考数学试题
【答案】
【解析】
【分析】
令两直线平行得出的值，从而得出两直线不平行的条件，得出的范围．
【详解】
解：若方程组无解，
则直线与直线平行，
且，
故而，解得．
当时，直线与直线平行，
当时，直线与直线重合，方程组有无数解；
当时，直线与直线相交或重合，
即方程组有解，
即
故答案为：．
【点睛】
本题考查了直线与直线的位置关系，属于中档题．
三、解答题
16．已知直线经过两条直线:和:的交点，直线:；
(1)若，求的直线方程；
(2)若，求的直线方程．
【来源】黑龙江省双鸭山市第一中学2018-2019学年高一下学期期末考试数学（理)试题
【答案】(1)
；
(2)
【解析】
【分析】
(1)先求出与的交点，再利用两直线平行斜率相等求直线l
(2)利用两直线垂直斜率乘积等于-1求直线l
【详解】
（1）由，得，
∴与的交点为.
设与直线平行的直线为，
则，∴.
∴所求直线方程为.
（2）设与直线垂直的直线为，
则，解得．
∴所求直线方程为.
【点睛】
两直线平行斜率相等，两直线垂直斜率乘积等于-1．
17．已知直线与直线.
（1）求直线与的交点坐标；
（2）求经过直线与的交点，且与直线垂直的直线l的方程.
【来源】广东省联考联盟2019-2020学年高二上学期质量检测数学试题
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）联立方程，可得结果.
（2）根据两条直线垂直，假设直线l方程，结合（1）的结论，根据点斜式，可得结果.
【详解】
解：（1）由，解得，
两直线的交点坐标为.
（2）设与直线垂直的
直线l的方程为，
点在直线l上，，
故所求直线l的方程为.
【点睛】
本题主要考查平面线线的位置关系，属基础题
18．点P为两直线l1：3x+4y﹣2=0和l2：2x+y+2=0的交点．
（1）求过P点且与直线3x﹣2y+4=0平行的直线方程；
（2）求过原点且与直线l1和l2围成的三角形为直角三角形的直线方程．
【来源】2020年1月5日《每日一题》-每周一测
【答案】（1）3x﹣2y+10=0（2）4x﹣3y=0或x﹣2y=0．
【解析】
【分析】
（1）联立直线l1与l2的方程，求出点，再由两直线平行斜率相等，根据点斜式即可求解.
（2）根据题意l1和l2不垂直，分析可得符合条件的直线可以与l1，l2任一直线垂直，
从而可求出直线的斜率，利用点斜式即可求解.
【详解】
（1）解方程组，得，∴点P（﹣2，2），
∵直线3x﹣2y+4=0的斜率为，
∴过P点的直线为y﹣2（x+2），即3x﹣2y+10=0．
（2）∵l1的斜率k1，l2的斜率k2=﹣2，∴l1和l2不垂直，
∴符合条件的直线可以与l1，l2任一直线垂直，
∴斜率为或，
∴直线方程为4x﹣3y=0或x﹣2y=0．
【点睛】
本题主要考查了两直线平行、垂直斜率之间的关系以及点斜式方程，需掌握住斜率存在时，两直线平行斜率相等；两直线垂直斜率之积为，此题属于基础题.
19．已知的顶点，AB边上的中线CM所在直线方程为，AC边上的高BH所在直线方程为求：
顶点C的坐标；
直线BC的方程．
【来源】【校级联考】吉林省“五地六校”合作2018-2019学年高二第一学期期末考试理科数学试题
【答案】(1)；(2)
【解析】
【分析】
先求直线AC的方程，然后求出C的坐标；设出B的坐标，求出M代入直线方程为，与直线为联立求出B的坐标然后可得直线BC的方程．
【详解】
由及AC边上的高BH所在的直线方程
得AC所在直线方程为
又AB边上的中线CM所在直线方程为
由得
设，又是AB的中点，则
由已知得得
又得直线BC的方程为
【点睛】
本题考查两条直线的交点，待定系数法求直线方程，是基础题．
20．已知为实数，设直线的方程为，直线的方程为.
（1）若与平行，求的值；
（2）当与相交时，用表示交点的坐标，并说明点一定在某一条定直线上.
【来源】上海市控江中学2019-2020学年高二上学期期末数学试题
【答案】（1）；（2），证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由两直线平行的等价条件可得出关于实数的方程，即可解出实数的值；
（2）将两直线方程联立可求得交点的坐标，然后令，，消去参数得出关于、的二元一次方程，即可证得结论.
【详解】
（1）与平行，则，解得；
（2）联立，解得，，所以点，
，即.
因此，点在直线上.
【点睛】
本题考查利用两直线平行求参数，同时也考查了直线交点坐标的计算，考查计算能力，属于中等题.
试卷第1页，总3页
