人教版A版高中数学必修二3.3.2两点间的距离
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知点,点在直线上运动．当最小时，点的坐标是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设出点的坐标，利用两点间距离公式，写出的表达式，利用二次函数的性质可以求出最小时，点的坐标.
【详解】
因为点在直线上运动，所以设点的坐标为，由两点间距离公式可知：，显然时,
有最小值，最小值为，此时点的坐标是，故本题选B.
【点睛】
本题考查了两点间距离公式、二次函数求最值问题.
2．点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标是，则的长为（
）
A．5
B．6
C．8
D．10
【答案】D
【解析】
【分析】
设,由线段的中点的坐标是即可求得,利用两点间距离公式即可解得.
【详解】
设
因为的中点的坐标是,
所以由中点坐标公式得
所以点
则由两点间的距离公式得.
故选:.
【点睛】
本题考查中点坐标公式,两点间距离公式,考查学生的计算能力,难度容易.
3．已知点，，则线段的长度是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据两点之间的距离公式，即可代值求解.
【详解】
因为，，
故可得.
故选：A.
【点睛】
本题考查平面中两点之间的距离公式，属基础题.
4．已知A（1，2）、B（-1，4）、C（5，2），则ΔABC的边AB上的中线所在的直线方程为（
）
A．x+5y-15=0
B．x=3
C．x-y+1=0
D．y-3=0
【答案】A
【解析】
由题可知AB的中点坐标为（0,3），又点C（5,2）所以中线的直线方程根据两点式可得：x+5y-15=0
5．若角的终边在直线上且，又是终边上一点，且，则
(
)
A．2
B．-2
C．4
D．-4
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意得点在终边上且在第三象限，故，根据可求得，进而可得结果．
【详解】
∵点在直线上，即在终边上，
∴，
又，
∴点
在第三象限，
∴．
∵，
∴，
∴,
∴，
∴．
故选A．
【点睛】
本题考查三角函数的定义及其应用，考查理解运用能力，解题时根据角的三角函数值与角终边上的点的坐标间的关系求解，属于容易题．
6．过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是（
)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
两直线方程联立求得交点坐标；根据垂直关系求得斜率，可写出直线点斜式方程，整理可得结果.
【详解】
由得两条直线交点坐标为：
又所求直线与垂直
直线斜率为：
所求直线为：，即：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查直线方程的求解问题，关键是能够根据垂直关系求得斜率，同时联立求得交点坐标.
7．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则=
A．2
B．4
C．5
D．10
【答案】D
【解析】
【详解】
试题分析：将直角三角形的直角顶点与原点重合，设，，那么，那么，故选D．
考点：1．坐标系；2．两点间距离．
【方法点睛】
本题考查了向量法解决平面几何的问题，属于中档题型，而向量法又分是用向量代数表示，还是用坐标表示，经分析用坐标表示，那如何建坐标系？题设只说是直角三角形，所以就以直角顶点为原点建立坐标系，两条直角边落在坐标轴上，这样就可以设各点的坐标，转化为两点间距离求值．坐标法解决平面几何的问题，很多时候会事半功倍．
8．设函数，若存在，使，则实数a的值为（
）
A．
B．
C．
D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
表示点与点间的距离的平方，的最小值表示曲线上的点到直线的距离的最小值，设过点到直线的距离的最小值，利用导数求出切点，利用点到直线的距离公式可得，满足条件存在使，求出过切点且与垂直的直线方程，联立即可求解.
【详解】
表示点与点间的距离的平方，
的最小值表示曲线上的点到直线的距离的最小值，
设过点到直线的距离的最小值，
，则由，解得
即为点到直线的距离，
，所以，
由，解得，
所以.
故选：A
【点睛】
本题考查了不等式能成立问题、导数在研究最值中的应用以及导数的几何意义，属于中档题.
9．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（
）．注：重心坐标公式为横坐标：；
纵坐标：
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由重心坐标公式得重心的坐标，根据垂直平分线的性质设出外心的坐标为，再由求出，然后求出欧拉线的斜率，点斜式就可求得其方程.
【详解】
设的重点为，外心为，则由重心坐标公式得
，并设的坐标为，
解得，即
欧拉方程为：，即：
故选：D
【点睛】
本题考查直线方程，两点之间的距离公式，三角形的重心、垂心、外心的性质，考查了理解辨析能力及运算能力.
10．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q、P的距离之比，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点Q为x轴上一点，且，若点，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设，，根据和求出a的值，由，两点之间直线最短，可得的最小值为，根据坐标求出即
【详解】
设，，所以，由，所以，因为且，所以，整理可得，又动点M的轨迹是，所以，解得
，所以，又所以，因为，所以的最小值为.
故选：C
【点睛】
本题主要考查圆上动点问题，考查两点间直线最短.
二、填空题
11．若实数满足,则的取值范围为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
依题意,本题求圆上的点到点的距离的取值范围,先求出圆心到点,从而可得出圆上的点到点的最小距离和最大距离,进而得出取值范围.
【详解】
解:
,
即求圆上的点到点的距离的取值范围.
圆心
到点的距离为:,
则圆上的点到点的最小距离为,
最大距离为.
实数满足,则的取值范围为:
故答案为:
【点睛】
本题考查点到圆的最大最小距离,考查两点间的距离公式,是基础题.
12．已知直线分别与x轴、y轴交于A，B两点，则等于________.
【答案】5
【解析】
【分析】
分别求得A，B的坐标，再用两点间的距离公式求解.
【详解】
根据题意
令得所以
令得所以
所以
故答案为：5
【点睛】
本题主要考查点坐标的求法和两点间的距离公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
13．点A（1，2）与点B（2，3）之间的距离|AB|=_____________．
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用两点间的距离公式计算得到结果.
【详解】
由两点间的距离公式得.
【点睛】
本小题主要考查两点间的距离公式，即，属于基础题.
14．若三条直线，，相交于同一点，则点到原点的距离的最小值为________.
【答案】
【解析】
【分析】
联立，解得交点，代入可得：．再利用两点之间的距离公式、二次函数的性质即可得出．
【详解】
解：联立，解得，．
把代入可得：．
．
点到原点的距离，当，时，取等号．
点到原点的距离的最小值为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了两条直线的交点、两点之间的距离公式、二次函数的性质，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
15．已知圆和点，若定点和常数满足，对圆上任意一点，都有，则
_____
.
【答案】
【解析】
【分析】
设，则，则对任意都成立，由此能求出、．
【详解】
解：圆和点，定点，和常数满足：对圆上任意一点，都有，
设，则，
对任意都成立，
，
由，得，且，
解得，．
故答案为：
【点睛】
本题考查实数值的求法，考查圆、两点间距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，属于中档题．
三、解答题
16．已知数轴上，，求线段的长以及线段的中点M的坐标．
【答案】，
【解析】
【分析】
根据数轴上任意两点的距离公式，及中点公式解答.
【详解】
解：，
，的中点的坐标为，即．
【点睛】
本题考查数轴上任意两点的距离和中点公式，属于基础题.
17．已知点与N(2，3)的距离为，求x的值.
【答案】-5或9
【解析】
【分析】
根据两点间的距离公式列方程，解方程求得的值.
【详解】
【解】由，，得，即，解得或.
【点睛】
本小题主要考查两点间的距离公式，考查方程的思想，属于基础题.
18．已知定点和曲线上的动点；
（1）求线段的中点的轨迹方程；
（2）求直线被曲线截得线段的长.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）设，，从得到，代入曲线，得到的轨迹方程；（2）直线与曲线联立，得到的坐标，从而得到的长.
【详解】
（1）设，，
定点，为中点，所以有
所以，
因为在曲线上，
所以，
整理得的轨迹方程为.
（2）直线与曲线联立，解得，
所以，，
所以.
【点睛】
本题考查求动点的轨迹方程，求直线与曲线的交点，两点间距离公式，属于简单题.
19．已知倾斜角为的直线过点和点，在第一象限，；
（1）求点的坐标；
（2）若直线与两平行直线，相交于两点，且，求实数的值；
（3）对于平面上任一点，当点在线段上运动时，称的最小值为与线段的距离，试求点，到线段的距离关于的函数关系式.
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）写出的方程，设点，结合得到关于的方程组，从而得到的坐标；（2）求出直线与和的交点，然后根据两点间距离公式得到关于的方程，从而得到的值；（3）设，表示出，根据二次函数的对称轴进行分类讨论，从而得到关于的函数关系式.
【详解】
（1）倾斜角为的直线过点和点，
所以直线的方程为，
设点，在第一象限，，
，
所以，
解得，舍去负值
所以.
（2）直线与两平行直线，相交于两点
，解得，即，
，解得，即，
因为，
所以，
解得
（3）设线段上任意一点坐标为，
，
即
，
因为，所以，
当，即时，
，
当，即时，在上单调递减，
所以，
综上所述，
【点睛】
本题考查根据两点间距离求点坐标，直线与直线的交点，考查了建立函数模型求最值的能力，属于中档题.
20．平面直角坐标系中,设是圆上的点,且构成了一个公差不为零的等差数列记
(1)若及求点的坐标；
(2)若对于给定的自然数写出符合条件的点存在的充要条件,并说明理由；
(3)若点对于给定的自然数当公差变化时,求的最小值。
【答案】（1）或
（2）
（3）
【解析】
【分析】
(1)利用条件求出，再联立圆的方程求出点的坐标即可.
(2)利用定义求出，再求出的最大值，从而求出公差的范围.
(3)求出原点到曲线C的最大距离，最小值距离，再利用定义求出的通项公式及的表达式，利用公差的范围求出的最小值即可.
【详解】
解：(1)由，解得，
则且，解得或
，
故点的坐标为或；
(2)
对于给每个自然数，，，对于递增数列来说，最大值为时，，所以，所以，
(3)由，所以的最大值为，最小值为，
所以，所以=，
得到，
因为，所以，
所以在区间为增函数，
所以的最小值为=.
【点睛】
本题考查了圆的有关运算，等差数列的通项公式及数列的前项和的最值问题，重点考查了函数思想及运算能力，属综合性较强的题型.
试卷第1页，总3页人教版A版高中数学必修二3.3.2两点间的距离
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知点,点在直线上运动．当最小时，点的坐标是（
）
A．
B．
C．
D．
2．点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标是，则的长为（
）
A．5
B．6
C．8
D．10
3．已知点，，则线段的长度是（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知A（1，2）、B（-1，4）、C（5，2），则ΔABC的边AB上的中线所在的直线方程为（
）
A．x+5y-15=0
B．x=3
C．x-y+1=0
D．y-3=0
5．若角的终边在直线上且，又是终边上一点，且，则
(
)
A．2
B．-2
C．4
D．-4
6．过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是（
)
A．
B．
C．
D．
7．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则=
A．2
B．4
C．5
D．10
8．设函数，若存在，使，则实数a的值为（
）
A．
B．
C．
D．1
9．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（
）．注：重心坐标公式为横坐标：；
纵坐标：
A．
B．
C．
D．
10．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q、P的距离之比，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点Q为x轴上一点，且，若点，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
11．若实数满足,则的取值范围为_____．
12．已知直线分别与x轴、y轴交于A，B两点，则等于________.
13．点A（1，2）与点B（2，3）之间的距离|AB|=_____________．
14．若三条直线，，相交于同一点，则点到原点的距离的最小值为________.
15．已知圆和点，若定点和常数满足，对圆上任意一点，都有，则
_____
.
三、解答题
16．已知数轴上，，求线段的长以及线段的中点M的坐标．
17．已知点与N(2，3)的距离为，求x的值.
18．已知定点和曲线上的动点；
（1）求线段的中点的轨迹方程；
（2）求直线被曲线截得线段的长.
19．已知倾斜角为的直线过点和点，在第一象限，；
（1）求点的坐标；
（2）若直线与两平行直线，相交于两点，且，求实数的值；
（3）对于平面上任一点，当点在线段上运动时，称的最小值为与线段的距离，试求点，到线段的距离关于的函数关系式.
20．平面直角坐标系中,设是圆上的点,且构成了一个公差不为零的等差数列记
(1)若及求点的坐标；
(2)若对于给定的自然数写出符合条件的点存在的充要条件,并说明理由；
(3)若点对于给定的自然数当公差变化时,求的最小值。
试卷第1页，总3页
