人教版A版高中数学必修二3.3.3点到直线的距离
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为( )
A．2
B．
C．1
D．
【答案】D
【解析】
圆心为,点到直线的距离为.故选D.
2．若双曲线的焦距为，则的一个焦点到一条渐近线的距离为
(
)
A．2
B．4
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据双曲线的焦距为，先求出，进而可求出其中一个焦点和一条渐近线，再由点到直线的距离公式，即可求出结果.
【详解】
因为双曲线的焦距为，
所以，即；
所以其中一个焦点坐标为，渐近线方程为，
所以焦点到渐近线的距离为.
故选B
【点睛】
本题主要考查双曲线的性质和点到直线的距离公式，由双曲线的方程求出焦点坐标和渐近线方程，再由点到直线的距离公式即可求出结果，属于基础题型.
3．已知双曲线，那么它的焦点到渐近线的距离为（
）
A．
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
根据双曲线方程，求得焦点坐标和渐近线方程，由点到直线距离公式即可求解.
【详解】
双曲线，
则其右焦点为，渐近线方程为，
不妨设右焦点，取渐近线方程为，
由点到直线距离公式可得，
故选：A.
【点睛】
本题考查了双曲线标准方程及几何性质的简单应用，双曲线渐近线方程及点到直线距离公式的应用，属于基础题.
4．点是直线：上的动点，点，则的长的最小值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
试题分析：由点到直线的距离公式求得，点及直线的距离是，则的最小值是．
考点：点到直线的距离．
【思路点晴】本题主要考查的是直线外一点与直线上一点的最短距离，属于容易题．本题通过直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，利用两点间距离公式求解．解本题需要掌握的知识点是两点间距离公式，即．
5．原点到直线的距离是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用点到直线距离公式直接求解即可.
【详解】
由点到直线距离公式得：
故选：
【点睛】
本题考查点到直线距离的求解问题，考查基础公式的应用.
6．已知离心率为的双曲线的左、右焦点分别为，，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且，O为坐标原点，若，则
A．32
B．16
C．8
D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
求得双曲线C一条渐近线方程为，运用点到直线的距离公式，结合勾股定理和三角形的面积公式，化简整理解方程可得
【详解】
设，双曲线C一条渐近线方程为，
可得，
即有，
由，可得，
即，又，且，
解得，，，
故选C．
【点睛】
本题考查双曲线的方程和性质，注意运用点到直线的距离公式和离心率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
7．已知双曲线C：（，）的实轴长为4，左焦点F到C的一条渐近线的距离为3，则C的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据实轴得到的值，然后表示出渐近线，表示出焦点到渐近线的方程，得到，从而得到的方程.
【详解】
因为实轴长，所以，，
由对称性，双曲线的一个焦点到两条渐近线的距离相等，
不妨取渐近线为，即，
点到渐近线的距离，
所以，
所以C的方程为，
故选：C.
【点睛】
本题考查点到直线的距离，利用双曲线的几何性质求双曲线的方程，属于简单题.
8．点在直线上，且点到直线的距离为，则点坐标为（
）
A．
B．
C．或
D．或
【答案】C
【解析】
【分析】
设点的坐标，再代入点到直线的距离公式，即可得答案.
【详解】
∵点在直线上，∴设，
利用点到直线的距离公式得：，解得：或，
∴点的坐标为或.
故选：C.
【点睛】
本题考查点到直线的距离公式，考查运算求解能力，属于基础题.
9．椭圆上的点到直线的最大距离是（ ）
A．3
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设椭圆上的点P（4cosθ，2sinθ），由点到直线的距离公式，计算可得答案．
【详解】
设椭圆上的点P（4cosθ，2sinθ）
则点P到直线的距离
d=，
，故选D．
【点睛】
本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细求解．
10．如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是
( )
A．
B．
C．6
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设点关于轴的对称点，点关于直线的对称点，由对称点可求和的坐标，在利用入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，光线所经过的路程为.
【详解】
点关于轴的对称点坐标是，
设点关于直线的对称点，
由，解得，
故光线所经过的路程，故选D.
【点睛】
解析几何中对称问题，主要有以下三种题型：（1）点关于直线对称，关于直线的对称点，利用，且
点
在对称轴上，列方程组求解即可；（2）直线关于直线对称，利用已知直线与对称轴的交点以及直线上特殊点的对称点（利用（1）求解），两点式求对称直线方程；（3）曲线关于直线对称，结合方法（1）利用逆代法求解.
二、填空题
11．已知点(x，y)在直线2x＋y＋5＝0上运动，则的最小值是________.
【答案】
【解析】
【分析】
x2+y2的最小值可看成直线2x+y+5＝0上的点与原点连线长度的平方最小值，由点到直线的距离公式可得．
【详解】
x2+y2的最小值可看成直线2x+y+5＝0上的点与原点连线长度的平方最小值，
即为原点到该直线的距离平方d2，
可看成直线2x+y+5＝0上的点与原点连线的长度，由点到直线的距离公式易得d．
∴的最小值为，
故答案为.
【点睛】
本题考查点到直线的距离公式，转化是解决问题的关键，属基础题．
12．若点，关于直线l对称，那么直线l的方程为________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用直线垂直求出对称轴斜率，利用中点坐标公式求出中点，再由点斜式可得结果.
【详解】
求得，
∵点，关于直线l对称，
∴直线l的斜率1，
直线l过AB的中点，
∴直线l的方程为，
即.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查直线垂直的性质，考查了直线点斜式方程的应用，属于基础题.
13．在平面直角坐标系中，点到直线的距离为2，则______．
【答案】或
【解析】
【分析】
利用点到直线的距离公式得到关于的方程，解方程即可得到答案.
【详解】
因为点到直线的距离为2，
所以或.
故答案为：或.
【点睛】
本题考查点到直线距离公式的应用，考查基本运算求解能力，属于基础题.
14．已知直线：与圆相交于，两点，是线段中点，则到直线的距离的最大值为______.
【答案】4
【解析】
【分析】
先求出点的轨迹方程，再结合点到直线垂足最短来求出最大值。
【详解】
设点坐标为，
显然点坐标符合方程与。
所以设线段中点坐标为，
则点坐标为，因点坐标符合圆的方程，
所以，即为.
故在圆上，除去点
所以到直线的距离
其中为圆心到直线的距离，
为圆的半径.
所以有，
所以到直线的距离的最大值为.
故答案为：4
【点睛】
本题考查点到直线的距离和曲线的方程，是一道很好的综合题。
15．直线分别交轴于两点，点在直线上，则的最小值是________.
【答案】
【解析】
【分析】
先计算得到，计算关于直线对称的点为，利用
得到答案.
【详解】
直线分别交轴于两点，则
设关于直线对称的点为则
解得
，当三点共线时等号成立
故答案为：
【点睛】
本题考查了利用对称求距离的最值问题，找出对称点是解题的关键.
三、解答题
16．已知直线经过点（－2，5），且斜率为
（1）求直线的方程；
（2）若直线与平行，且点到直线的距离为3，求直线的方程.
【答案】(1)
3x＋4y－14＝0；(2)
3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.
【解析】
【分析】
（1）代入点斜式方程求直线
的方程；（2）根据（1）设的方程为，将点到直线的距离转化为平行线的距离求.
【详解】
（1）由点斜式方程得，，∴.
（2）设的方程为，则由平线间的距离公式得，，
解得：或.
∴或
【点睛】
本题考查求直线方程，意在考查基础知识，属于简单题型.
17．已知的三个顶点分别为,,．
（1）求边上的中线所在直线的一般式方程．
（2）求的面积．
【答案】（1）;（2）7
【解析】
【分析】
（1）先求的中点:.再结合点可得边上的中线所在直线的一般式方程.
（2）先求的距离,再求点到直线的距离,利用公式即可得的面积.
【详解】
解:（1）因为,．
则边上的中点：.
可得中线所在直线的一般式方程：
．
化简得：．
故边上的中线所在直线的一般式方程为.
（2）,
直线的方程为：,
化为：．
点到直线的距离．
∴的面积.
【点睛】
本题考查直线方程的求法和求三角形的面积,重点用到了两点间的距离公式,点到直线的距离公式,是基础题.
18．已知椭圆的左、右焦点为，过右焦点的直线交椭圆于两点.
（1）设点P到直线的距离为d，证明：为定值；
（2）若弦，求直线的斜率的值.
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先由椭圆方程求出右焦点坐标，再结合点到直线的距离公式求解即可；
（2）先设直线方程，再联立直线与椭圆方程，然后结合弦长公式求解即可.
【详解】
解：（1）因为椭圆的左，右焦点为，
所以，
设在椭圆C上，
所以
所以，，
故.
（2）当直线的斜率不存在时，可得，显然不满足题意，
设直线的斜率为，则直线的方程为，
联立，消整理可得，
显然恒成立，
设
，，
则，，
则，
又，
则，
解得，
故.
【点睛】
本题考查了点到直线的距离公式，重点考查了直线与椭圆的位置关系及弦长公式，属中档题.
19．求两条垂直的直线和的交点坐标．
求平行于直线，且与它的距离为的直线方程．
【答案】（1）；（2）或.
【解析】
【分析】
由题意利用两条直线垂直的性质，求得a的值，再联立方程组求得两直线交点的坐标．
由题意利用用待定系数法设出直线的方程，再利用两条平行线间的距离公式求得m的值，可得要求的直线的方程．
【详解】
两条垂直的直线和，
，
解得，
两条垂直的直线：和，
由，解得，
故直线和的交点坐标．
设平行于直线，且与它的距离为的直线方程为，
则，解得，或，
故所求直线方程为：，或．
【点睛】
本题主要考查两条直线平行与垂直的性质，求两条直线的交点，两条平行线间的距离公式的应用，用待定系数法求直线的方程，属于基础题．
20．如图，公路围成的是一块顶角为的角形耕地，其中，在该块土地中处有一小型建筑，经测量，它到公路的距离分别为，现要过点修建一条直线公路，将三条公路围成的区域建成一个工业园.
（1）以为坐标原点建立适当的平面直角坐标系，并求出点的坐标；
（2）三条公路围成的工业园区的面积恰为，求公路所在直线方程.
【答案】(1)
；(2)
.
【解析】
【分析】
(1)以为坐标原点,
所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系.根据条件求出直线的方程，设出点坐标，代点到直线的距离公式即可求出所求；
(2)由(1)及题意设出直线的方程后，即可求得点的横坐标，与点的纵坐标，由
求得后，即可求解.
【详解】
(1)以为坐标原点,
所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，
建立如图所示的平面直角坐标系
由题意可设点，且直线的斜率为，并经过点，
故直线的方程为：，
又因点到的距离为，所以，解得或(舍去)
所以点坐标为.
(2)由题意可知直线的斜率一定存在，故设其直线方程为：，
与直线的方程：，联立后解得:，
对直线方程：，令，得，
所以，解得，
所以直线方程为：，即:.
【点睛】
本题以直线方程的相关知识为背景，旨在考查学生分析和解决问题的能力，属于中档题.
试卷第1页，总3页人教版A版高中数学必修二3.3.3点到直线的距离
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为( )
A．2
B．
C．1
D．
2．若双曲线的焦距为，则的一个焦点到一条渐近线的距离为
(
)
A．2
B．4
C．
D．
3．已知双曲线，那么它的焦点到渐近线的距离为（
）
A．
B．2
C．3
D．4
4．点是直线：上的动点，点，则的长的最小值是（
）
A．
B．
C．
D．
5．原点到直线的距离是(
)
A．
B．
C．
D．
6．已知离心率为的双曲线的左、右焦点分别为，，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且，O为坐标原点，若，则
A．32
B．16
C．8
D．4
7．已知双曲线C：（，）的实轴长为4，左焦点F到C的一条渐近线的距离为3，则C的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
8．点在直线上，且点到直线的距离为，则点坐标为（
）
A．
B．
C．或
D．或
9．椭圆上的点到直线的最大距离是（ ）
A．3
B．
C．
D．
10．如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是
( )
A．
B．
C．6
D．
二、填空题
11．已知点(x，y)在直线2x＋y＋5＝0上运动，则的最小值是________.
12．若点，关于直线l对称，那么直线l的方程为________.
13．在平面直角坐标系中，点到直线的距离为2，则______．
14．已知直线：与圆相交于，两点，是线段中点，则到直线的距离的最大值为______.
15．直线分别交轴于两点，点在直线上，则的最小值是________.
三、解答题
16．已知直线经过点（－2，5），且斜率为
（1）求直线的方程；
（2）若直线与平行，且点到直线的距离为3，求直线的方程.
17．已知的三个顶点分别为,,．
（1）求边上的中线所在直线的一般式方程．
（2）求的面积．
18．已知椭圆的左、右焦点为，过右焦点的直线交椭圆于两点.
（1）设点P到直线的距离为d，证明：为定值；
（2）若弦，求直线的斜率的值.
19．求两条垂直的直线和的交点坐标．
求平行于直线，且与它的距离为的直线方程．
20．如图，公路围成的是一块顶角为的角形耕地，其中，在该块土地中处有一小型建筑，经测量，它到公路的距离分别为，现要过点修建一条直线公路，将三条公路围成的区域建成一个工业园.
（1）以为坐标原点建立适当的平面直角坐标系，并求出点的坐标；
（2）三条公路围成的工业园区的面积恰为，求公路所在直线方程.
试卷第1页，总3页
