人教版A版高中数学必修二第二章达标测评
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在正方体中，点，分别是，的中点，则下列说法正确的是（
）
A．
B．与所成角为
C．平面
D．与平面所成角的余弦值为
2．一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A．
B．
C．
D．
3．某几何体的三视图如图所示，它的体积为（
）
A．12π
B．45π
C．57π
D．81π
4．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它有如下问题：“今有圆堡我，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？”意思是“今有圆柱体形的土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少？”（注：1丈=10尺，取）（
）
A．704立方尺
B．2112立方尺
C．2115立方尺
D．2118立方尺
5．如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为( )
A．
B．
C．
D．
6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为（
）
A．
B．3
C．
D．
7．已知一个几何体的三视图如图所示，图中长方形的长为，宽为，圆半径为，则该几何体的体积和表面积分别为（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
8．如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
9．设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为
A．
B．
C．
D．
10．如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（
)
A．
B．
C．
D．
二、填空题
11．已知正方体内切球的体积为36π，则正方体的体对角线长为______．
12．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60cm，则每条侧棱长为______cm.
13．如图，E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是________．(要求：把可能的图的序号都填上)
14．已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．
15．已知正三棱柱的各条棱长都相等，且内接于球，若正三棱柱的体积是，则球的表面积为_____．
三、解答题
16．
画出下图中几何体的三视图.
17．（本题满分10分）
已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据：
⑴求这个组合体的表面积；
⑵若组合体的底部几何体记为ABCD-A1B1C1D1，如图，其中A1B1BA为正方形.
①求证：A1B⊥平面AB1C1D；
②若P为棱A1B1上一点，求AP+PC1的最小值.
18．
轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为1
cm，求球的体积.
19．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，为等边三角形，是线段上的一点，且平面.
（1）求证：为的中点；
（2）若为的中点，连接，，，，平面平面，，求三棱锥的体积.
20．如图是一个以为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为△ABC，已知，，，，，求：
（1）该几何体的体积；
（2）截面△ABC的面积.
试卷第1页，总3页人教版A版高中数学必修二第二章达标测评
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在正方体中，点，分别是，的中点，则下列说法正确的是（
）
A．
B．与所成角为
C．平面
D．与平面所成角的余弦值为
【答案】C
【解析】
【分析】
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．
【详解】
解：设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
A1（2，0，2），E（2，1，0），B（2，2，0），F（0，2，1），
（0，1，﹣2），（﹣2，0，1），
2≠0，∴A1E与BF不垂直，
故A错误；
（﹣2，2，﹣1），（﹣2，﹣2，0），
cos，0，
∴A1F与BD所成角为90°，故B错误；
（2，0，0），（0，2，1），
（0，1，﹣2），
?0，0，
∴A1E⊥DA，A1E⊥DF，
∴A1E⊥平面ADF，故C正确；
（﹣2，2，﹣1），平面ABCD的法向量（0，0，1），
设A1F与平面ABCD所成角为θ，
则sinθ，
∴cosθ．
∴A1F与平面ABCD所成角的余弦值为，故D错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
2．一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由三视图，还原空间结构体，分别求得各面的面积求和即可。
【详解】
根据三视图，画出原空间结构图如下图所示：
所以表面积为
所以选B
【点睛】
本题考查了立体几何三视图的简单应用，判断好每个面各边的关系是解决面积问题的关键，属于基础题。
3．某几何体的三视图如图所示，它的体积为（
）
A．12π
B．45π
C．57π
D．81π
【答案】C
【解析】
由三视图可知，此组合体上部是一个母线长为5，底面圆半径是3的圆锥，下部是一个高为5，底面半径是3的圆柱
故它的体积是5×π×32+π×32×=57π
故选C
4．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它有如下问题：“今有圆堡我，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？”意思是“今有圆柱体形的土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少？”（注：1丈=10尺，取）（
）
A．704立方尺
B．2112立方尺
C．2115立方尺
D．2118立方尺
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，由底面圆周长，得到底面圆半径，再由体积公式求出其体积.
【详解】
设圆柱体底面圆半径为，高为，周长为.
因为，所以，
所以
（立方尺）.
故选B项.
【点睛】
本题考查圆柱的底面圆半径、体积等相关计算，属于简单题.
5．如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
由三视图可知几何体为直三棱柱，直观图如图所示：
其中，底面为直角三角形，，，高为.
∴该几何体的体积为
故选A.
6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为（
）
A．
B．3
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三视图，还原出原图，根据几何体的结构特征，利用勾股定理，即可求解，得到答案．
【详解】
根据题意，该三棱锥的原图为如图的S-ABC，其中SD在俯视图中投成了一个点，
故SD⊥平面ABCD（ABCD为俯视图的四个顶点），DE平行于正视的视线，故DE⊥BC，
根据题意，知DE=BE=SD=2，
所以SB为最长的棱，因为BD?ABCD，∴SD⊥BD，
∴，则．
故选：C．
【点睛】
本题考查了空间几何体的三视图的应用，以及空间几何体的结构特征，其中解答中由三视图还原原图是解决问题的难点，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档题．
7．已知一个几何体的三视图如图所示，图中长方形的长为，宽为，圆半径为，则该几何体的体积和表面积分别为（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
【解析】
分析：几何体为圆柱中挖去一个圆锥，分别算出圆柱体积和圆锥的体积即可算出该几何体的体积；分别算出圆柱的侧面积、底面积和圆锥展开的扇形面积即可求得该几何体的表面积．
详解：根据三视图可得，该几何体为圆柱中挖去一个圆锥，圆柱底面半径和高均为，圆锥的底面圆的半径为，如图所示：
∴该几何体的体积为；
该几何体的表面积为.
故选B.
点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.
8．如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据三视图得到几何体为圆柱，根据圆柱的表面积公式计算出表面积.
【详解】
由三视图可知，该几何体为圆柱，故其表面积为，故选A.
【点睛】
本小题主要考查三视图还原为原图，考查圆柱的表面积计算公式，属于基础题.
9．设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【详解】
分析：作图，D为MO
与球的交点，点M为三角形ABC的中心，判断出当平面时，三棱锥体积最大，然后进行计算可得．
详解：如图所示，
点M为三角形ABC的中心，E为AC中点，
当平面时，三棱锥体积最大
此时，
,
点M为三角形ABC的中心
中，有
故选B.
点睛：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当平面时，三棱锥体积最大很关键，由M为三角形ABC的重心，计算得到，再由勾股定理得到OM，进而得到结果，属于较难题型．
10．如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（
)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
几何体为三棱锥，如图，底面为顶角为120度的等腰三角形BCD，侧棱AC垂直底面，,设三角形BCD外接圆圆心为O，则,因此外接球的半径为,即
外接球的表面积为，选C.
点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.
二、填空题
11．已知正方体内切球的体积为36π，则正方体的体对角线长为______．
【答案】
【解析】
【分析】
正方体的内切球的直径与正方体的边长相等，即可得出结论．
【详解】
∵正方体的内切球体积为，设内切球的半径为，
∴，所以内切球的半径为，
∵正方体的内切球的直径与正方体的边长相等，
∴正方体的边长为6，
故该正方体的体对角线长为．
【点睛】
本题考查了学生的空间想象力，考查学生的计算能力，属于基础题．
12．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60cm，则每条侧棱长为______cm.
【答案】12
【解析】
因为棱柱有10个顶点，所以此棱柱为5棱柱，共有5条侧棱，所有侧棱长的和为60，故每条侧棱长为12.故填12.
13．如图，E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是________．(要求：把可能的图的序号都填上)
【答案】2,3
【解析】
因为正方体是对称的几何体，所以四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可分为：上下、左右、前后三个方向的射影，也就是在面ABCD、面ABB1A1、面ADD1A1上的射影．四边形BFD1E在面ABCD和面ABB1A1上的射影相同，如图②所示；
四边形BFD1E在该正方体对角面的ABC1D1内，它在面ADD1A1上的射影显然是一条线段，如图③所示．故②③正确，答案为?
②③
【点评】本题考点是简单空间图形的三视图，考查根据作三视图的规则来作出三个视图的能力，三视图的投影规则是：“主视、俯视
长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视
宽相等”．本题是根据三视图投影规则来选择正确的视图，三视图是高考的新增考点，不时出现在高考试题中，应予以重视.
14．已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．
【答案】
【解析】
【详解】
分析：先根据三角形面积公式求出母线长,再根据母线与底面所成角得底面半径，最后根据圆锥侧面积公式求结果.
详解：因为母线，所成角的余弦值为，所以母线，所成角的正弦值为，因为的面积为，设母线长为所以，
因为与圆锥底面所成角为45°，所以底面半径为
因此圆锥的侧面积为
15．已知正三棱柱的各条棱长都相等，且内接于球，若正三棱柱的体积是，则球的表面积为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
先由正三棱柱的体积求出棱长，再求出球的半径和表面积.
【详解】
设，则正三棱柱的体积是，解得，
底面正三角形的外接圆半径，
所以球的半径，所以球的表面积为．
【点睛】
本题考查棱柱的体积、球的表面积，几何体与球的切接问题，根据几何体的结构特征求得球的半径是解题关键.
三、解答题
16．
画出下图中几何体的三视图.
【答案】见解析
【解析】
试题分析：三视图关键掌握从正视、侧视、俯视的图形观察，该题结合组合体由圆柱和三个小正方体合成的特征，画出三视图，注意看不到的线用虚线表示。
试题解析：
图中几何体组合体，下部是三个正方体，上部是一个圆柱，按照正方体和圆柱的三视图的画法画出该组合体的三视图.
该几何体的三视图如图所示.
17．（本题满分10分）
已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据：
⑴求这个组合体的表面积；
⑵若组合体的底部几何体记为ABCD-A1B1C1D1，如图，其中A1B1BA为正方形.
①求证：A1B⊥平面AB1C1D；
②若P为棱A1B1上一点，求AP+PC1的最小值.
【答案】（1），（2）详见解析，（3）
【解析】分析：（1）由三视图可知此组合体下部为长方体，上部为圆柱根据对应面积公式求解即可；（2）要证线面垂直则需在面内找两相交直线与一直线垂直，选择AD，.（3）将平面铺开即可得出最短距离.
详解：⑴此组合体的下部为长方体，上部为半个圆柱：
-----4分
⑵①在长方体中，AD⊥面A1B1BA，
又A1B面A1B1BA，所以AD⊥A1B，
又A1B1BA是边长为8的正方形，
所以A1B⊥AB1，而AB1AD=A，
所以A1B⊥面AB1C1D.----------7分
②将上底面展开，与面A1B1BA共面时，
连结C1A交A1B1于点P，即AC1为最
短距离.
此时长度为--------------------------10分.
点睛:解决立体几何问题，首先要熟悉相关公式和定理，例如表面积公式、体积公式、线面垂直判定定理等，对于几何体的线段最短问题则可根据平面展开得出结论.
18．
轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为1
cm，求球的体积.
【答案】
【解析】
试题分析：该圆锥的内切球满足其内切球的圆轴截面内切于圆锥的正三角形轴截面，则求出球的半径，则体积。
试题解析：
如图作出轴截面，
∵△ABC是正三角形，∴CD＝AC.
∵CD＝1
cm，∴AC＝2
cm，AD＝cm.
∵Rt△AOE∽Rt△ACD，∴.
设OE＝R，则AO＝－R，∴，
∴(cm)，
∴
(cm3).
∴球的体积等于
cm3.
点睛：圆锥的内切球满足与底面和侧面都相切，则其轴截面满足圆内切于三角形截面，利用平面几何方法求出内切圆的半径，进而求出体积。内切球的基本方法是找到球心，求出半径。
19．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，为等边三角形，是线段上的一点，且平面.
（1）求证：为的中点；
（2）若为的中点，连接，，，，平面平面，，求三棱锥的体积.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
分析：（1）线面平行性质定理连接,平面，平面平面，平面，为的中点，∴为的中点；
（2）利用边长的倍数关系进行转化
,
平面平面,即平面，
（1）证明：如图，连接交于点，则为的中点，连接，
∵平面，平面平面，平面，
∴，而为的中点，∴为的中点.
（2）解：∵，分别为，的中点，
∴
.
取的中点，连接，
∵为等边三角形，∴，
又平面平面，平面平面，平面，
∴平面，
而，，
∴
，
∴.
点晴：空间立体是高考必考题型，需熟练掌握平行垂直判定定理和性质定理，在求体积时运用体积公式，找出底和高即可
20．如图是一个以为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为△ABC，已知，，，，，求：
（1）该几何体的体积；
（2）截面△ABC的面积.
【答案】（Ⅰ）6；（Ⅱ）.
【解析】
分析：（Ⅰ）过C作平行于A1B1C1的截面A2B2C，交AA1，BB1分别于点A2，B2.由题意可知B2C⊥平面ABB2A2，据此可得V＝+＝6
，
（Ⅱ）在△ABC中，由题意可得，据此可得.
详解：（Ⅰ）过C作平行于A1B1C1的截面A2B2C，交AA1，BB1分别于点A2，B2.
由直三棱柱性质及∠A1B1C1＝90°可知B2C⊥平面ABB2A2，
则该几何体的体积V＝
＝×2×2×2＋××(1＋2)×2×2＝6
，
（Ⅱ）在△ABC中，AB＝＝，
BC＝＝，
AC＝＝2.
则S△ABC＝×2×＝
点睛：一是求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．
二是几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系.
试卷第1页，总3页
