人教版A版高中数学必修二第一章空间几何体达标检测
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知在斜二测画法下的平面直观图是边长为的正三角形，那么在原的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知正方体内切球的表面积为，则正方体外接球的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
3．如图，是水平放置的的直观图，则的面积是（
）
A．6
B．
C．
D．12
4．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积和表面积分别为（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
5．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为
A．1
B．2
C．3
D．4
6．已知一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A．
B．
C．
D．
7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为
A．
B．
C．2
D．
8．如图，在矩形中，，，，，现分别沿将矩形折叠使得与重合，则折叠后的几何体的外接球的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
9．两球和在棱长为1的正方体的内部，且互相外切，若球与过点的正方体的三个面相切，球与过点的正方体的三个面相切，则球和的表面积之和的最小值为(
)
A．
B．
C．
D．
10．已知三棱锥的各顶点都在一个球面上，球心在上，底面，球的体积与三棱锥体积之比是，，则该球的表面积等于
（
）
A．
B．
C．
D．
11．若正实数满足，则（
）
A．有最大值4
B．有最小值
C．有最大值
D．有最小值
12．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（
）
A．至少有一个红球与都是红球
B．至少有一个红球与都是白球
C．恰有一个红球与恰有二个红球
D．至少有一个红球与至少有一个白球
13．已知，，，则的大小关系为
A．
B．
C．
D．
14．已知，，若是与的等比中项，则的最小值为（
）
A．8
B．4
C．1
D．2
15．已知，（），则在数列｛｝的前50项中最小项和最大项分别是（
）
A．
B．
C．
D．
16．直线l经过两点，则直线l的倾斜角的取值范围是（
）
A．∪
B．[0，π)
C．
D．∪
17．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且若，则的形状是（）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
18．给出下列不等式：①；②
；③.其中恒成立的不等式的个数为（
）
A．3
B．2
C．1
D．0
19．不等式组所表示的平面区域为D，若D的面积为S，则的最小值为(
).
A．30
B．32
C．34
D．36
20．设a，b∈R，a2
+
2b2
=
6,
则a+b的最小值是(
).
A．
B．
C．
D．
二、填空题
21．如图，正三棱柱的主视图面积为2a2，则左视图的面积为________．
22．已知正四棱锥中，底面的面积为，一条侧棱的长为，则该棱锥的高为______.
23．一个圆台上、下底面的半径分别为3cm和8cm，若两底面圆心的连线长为12cm，则这个圆台的母线长为______cm.
24．
已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为____.
25．若四面体的三组对棱分别相等，即，，，则________.（写出所有正确结论的编号）
①四面体每个面的面积相等
②四面体每组对棱相互垂直
③连接四面体每组对棱中点的线段相互垂直平分
④从四面体每个顶点出发的三条棱的长都可以作为一个三角形的三边长
26．若关于的不等式的解集为，则__________
27．已知为正实数，且，则的最小值为______
28．连续抛掷同一颗骰子3次，则3次掷得的点数之和为9的概率是____．
29．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为
．
30．设x、y∈R+，S=x+y，P=xy，以下四个命题中正确命题的序号是_________．
（把你认为正确的命题序号都填上）
①若P为定值m，则S有最大值；
②若S=P，则P有最大值4；
③若S=P，则S有最小值4；
④若S2≥kP总成立，则k的取值范围为k≤4．
三、解答题
31．如图所示，四棱锥V－ABCD的底面为边长等于2
cm的正方形，顶点V与底面正方形中心的连线为棱锥的高，侧棱长VC＝4
cm，求这个四棱锥的体积.
32．在底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积．
33．如图所示，半径为R的半圆内（其中）的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一个几何体，求该几何体的表面积及体积。
34．在三棱锥中，和是边长为的等边三角形，，分别是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证:平面；
（3）求三棱锥的体积.
35．已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）设过两点的直线的斜率为，其中、为曲线上的任意两点，并且，若恒成立，证明：.
36．已知直线，.
(1)若，求的值；
(2)若，求的值.
37．已知等差数列{an}中，a1=1，a3=﹣3．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{an}的前k项和Sk=﹣35，求k的值．
38．如图，已知四棱锥中，底面为矩形且，平面平面，是等边三角形，点是的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求直线与平面所成的角的正弦值．
39．在中，，，已知，是方程的两个根，且．
（1）求角的大小；
（2）求的长．
40．在平面直角坐标系中，点,圆的半径为2，圆心在直线上
（1）若圆心也在圆上，过点作圆的切线，求切线的方程．
（2）若圆上存在点，使,求圆心的纵坐标的取值范围．人教版A版高中数学必修二第一章空间几何体达标检测
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知在斜二测画法下的平面直观图是边长为的正三角形，那么在原的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【详解】
直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形,故面积为，
而原图和直观图面积之间的关系，
那么原△ABC的面积为，
故选C.
点睛：本题主要考查平面图形的直观图和原图的转化原则的应用，要求熟练掌握斜二测画法的边长关系，比较基础．直观图和原图象的面积比为掌握两个图象的变换原则，原图象转直观图时，平行于x轴或者和轴重合的长度不变，平行于y轴或者和轴重合的线段减半，原图转直观图时正好反过来，即可.
2．已知正方体内切球的表面积为，则正方体外接球的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正方体的内切球的表面积求出球的半径，得到正方体的棱长，求得正方体的外接球的半径，利用球的体积公式，即可求解.
【详解】
设正方体的棱长为，正方体内切球的半径为，外接球的半径为，
因为正方体的内切球的表面积为，可得，解得，
所以正方体的棱长，
所以正方体的对角线长为，
即正方体的外接球的半径为，
所以外接球的体积为.
故答案为：B.
【点睛】
本题主要考查了正方体结构特征，以及正方体的内切球和外接球的表面积与体积的计算，其中解答中熟记组合体的结构特征是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
3．如图，是水平放置的的直观图，则的面积是（
）
A．6
B．
C．
D．12
【答案】D
【解析】
由直观图画法规则，可得是一个直角三角形，直角边，，故选D.
4．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积和表面积分别为（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三视图知该几何体是圆柱在中间挖去一个同底等高的圆锥，结合图中数据，即可求出它的体积和表面积．
【详解】
解：根据三视图知，该几何体是圆柱，在中间挖去一个同底等高的圆锥，如图所示；
结合图中数据，计算该几何体的体积为：
V=π?12?1-π?12?1=π；
表面积为：
S=π?12+2π?1?1+π?1?=（3+）π．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了几何体三视图的应用问题，几何体的体积以及表面积的计算，是基础题
5．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】
分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数.
详解：由三视图可得四棱锥，在四棱锥中，，
由勾股定理可知：，则在四棱锥中，直角三角形有：共三个，故选C.
点睛：此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进行棱长、表面积、体积等相关问题的求解.
6．已知一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
由三视图知，该几何体有四分之一圆锥与三棱锥构成，故体积为，故选A.
7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为
A．
B．
C．2
D．
【答案】A
【解析】
由给定的三视图可知，该几何体表示一个底面为一个直角三角形，
且两直角边分别为和，所以底面面积为
高为的三棱锥，所以三棱锥的体积为，故选A．
8．如图，在矩形中，，，，，现分别沿将矩形折叠使得与重合，则折叠后的几何体的外接球的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
分析题意得折叠后的几何体为正三棱柱，底面边长为1，高为2．根据正三棱柱的外接球的特征求出球半径后可得其表面积．
【详解】
由题意得，折叠后的几何体为正三棱柱，且该三棱柱的底面边长为1，高为2．如图所示的正三棱柱．
设上下底面的中心分别为，则球心为的中点，连，
则，
∴，
即球半径，
∴该几何体的外接球的表面积为．
故选B．
【点睛】
解答本题时注意两点：
（1）分析得到折叠后的几何体的形状；
（2）解决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，然后根据题意并结合勾股定理得到关于球半径的方程，解方程可得球的半径．
9．两球和在棱长为1的正方体的内部，且互相外切，若球与过点的正方体的三个面相切，球与过点的正方体的三个面相切，则球和的表面积之和的最小值为(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
设球与球的半径分别为r1,r2,∴r1+r2+
(r1+r2)=.
r1+r2==，
r1+r2?2,球与球的面积之和为：
S=4π(+)=4π(r1+r2)2?8π??2π?
=(6?3)π,当且仅当r1=r2时取等号
其面积最小值为(6?3)π.
故选A.
点睛：】空间几何体与球接、切问题的求解方法
(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．
10．已知三棱锥的各顶点都在一个球面上，球心在上，底面，球的体积与三棱锥体积之比是，，则该球的表面积等于
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
由于，且平面，所以，设球的半径为，根据题目所给体积比有，解得，故球的表面积为.
点睛:本题主要考查几何体的外接球问题.涉及几何体外接球的问题，首先根据题意，将几何体的直观图画出来，然后寻找球心所在的位置.寻找球心的关键在于球心到各个顶点的距离是相等的.如本题点的位置，它到四个顶点的距离都相等，然后根据题目所给的体积比，就可以计算出球的半径.
11．若正实数满足，则（
）
A．有最大值4
B．有最小值
C．有最大值
D．有最小值
【答案】C
【解析】
试题分析：因为正实数，满足，所以，故有最小值4，故A不正确；由基本不等式可得，故有最大值，故B不正确；由于，故由最大值为，故C正确；，故由最小值，故D不正确．
考点：基本不等式
12．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（
）
A．至少有一个红球与都是红球
B．至少有一个红球与都是白球
C．恰有一个红球与恰有二个红球
D．至少有一个红球与至少有一个白球
【答案】C
【解析】
【详解】
从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，不同的取球情况共有以下几种：
3个球全是红球；2个红球和1个白球；1个红球2个白球；3个全是白球.
选项A中，事件“都是红球”是事件“至少有一个红球”的子事件；
选项B中，事件“至少有一个红球”与事件“都是白球”是对立事件；
选项D中，事件“至少有一个红球”与事件“至少有一个白球”的事件为“2个红球1个白球”与“1个红球2个白球”；
选项C中，事件“恰有一个红球”与事件“恰有2个红球”互斥不对立，故选C.
13．已知，，，则的大小关系为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用利用等中间值区分各个数值的大小．
【详解】
；
；
．
故．
故选A．
【点睛】
利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与的大小区别对待．
14．已知，，若是与的等比中项，则的最小值为（
）
A．8
B．4
C．1
D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
是与等比中项，，化为，再利用基本不等式的性质即可得出.
【详解】
由题意得，所以，,
所以，
当且仅当时等号成立，即最小值为．
故选B．
【点睛】
在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数），“定”（不等式的一边必需为定值），“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，此题属于中档题.
15．已知，（），则在数列｛｝的前50项中最小项和最大项分别是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数单调性确定数列｛｝的前50项中最小项和最大项.
【详解】
因为在上单调减，在单调减，
所以当时，此时，当时，此时，因此数列｛｝的前50项中最小项和最大项分别为，选C.
【点睛】
数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用对应函数性质，如等差数列通项与一次函数，等差数列和项与二次函数，等比数列通项、和项与指数函数.本题利用了函数性质.
16．直线l经过两点，则直线l的倾斜角的取值范围是（
）
A．∪
B．[0，π)
C．
D．∪
【答案】A
【解析】
【分析】
先通过求出两点的斜率，再通过求出倾斜角的值取值范围。
【详解】
故选A.
【点睛】
已知直线上两点求斜率利用公式。需要注意的是斜率不存在的情况。
17．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且若，则的形状是（）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用余弦定理的应用求出A的值，进一步利用正弦定理得到：b＝c，最后判断出三角形的形状．
【详解】
在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，
且b2+c2＝a2+bc．
则：，
由于：0＜A＜π，
故：A．
由于：sinBsinC＝sin2A，
利用正弦定理得：bc＝a2，
所以：b2+c2﹣2bc＝0，
故：b＝c，
所以：△ABC为等边三角形．
故选C．
【点睛】
本题考查了正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
18．给出下列不等式：①；②
；③.其中恒成立的不等式的个数为（
）
A．3
B．2
C．1
D．0
【答案】C
【解析】
【分析】
根据不等式的性质，利用作差法逐项检验即可求出.
【详解】
因为，所以①正确；
因为，，所以②③错误.
故恒成立的不等式的个数为1.
【点睛】
本题主要考查了不等式的基本性质，作差比较法，属于中档题.
19．不等式组所表示的平面区域为D，若D的面积为S，则的最小值为(
).
A．30
B．32
C．34
D．36
【答案】B
【解析】
由不等式组可知围成的平面区域为直角三角形，分别将代入方程，可知三角形面积，代入得：，
，原式=
，所以最小值为32，故选B.
点睛：换元法是高中重要的数学方法，一方面可以化繁就简，突出问题的本质，另一方面可以简化计算，在求最值的题目以及含根式的题目中经常用到，本题换元后可形成运用均值不等式的态势，从而解决问题.
20．设a，b∈R，a2
+
2b2
=
6,
则a+b的最小值是(
).
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
因为a，b∈R，a2
+
2b2
=
6，所以设
，则，所以a+b的最小值是，故选C.
二、填空题
21．如图，正三棱柱的主视图面积为2a2，则左视图的面积为________．
【答案】
【解析】
已知正三棱柱的主视图的底边长为，正三棱柱的主视图面积为，所以该正三棱柱的高为.因为正三棱柱的底面为边长为的正三角形，所以左视图的底边长为，所以左视图的面积为.
22．已知正四棱锥中，底面的面积为，一条侧棱的长为，则该棱锥的高为______.
【答案】6.
【解析】
【分析】
根据底面面积可以求出底面中心到顶点的距离，再结合侧棱长，利用勾股定理可求得棱锥的高.
【详解】
如图，取正方形的中心，连接，
则就是正四棱锥的高
底面的面积为
又一条侧棱长为
正四棱锥的高为
本题正确结果：
【点睛】
本题考查利用正棱锥的结构特征求解相关量的问题，属于基础题.
23．一个圆台上、下底面的半径分别为3cm和8cm，若两底面圆心的连线长为12cm，则这个圆台的母线长为______cm.
【答案】13
【解析】
【分析】
结合圆台的图形，利用勾股定理即可求得母线的长.
【详解】
如图，由题意可得，，，，过点A作，交OB于点C.在中，，，
∴.
故答案为13
【点睛】
本题考查圆台的结构特征，考查圆台母线的求法，属于基础题.
24．
已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为____.
【答案】
【解析】
设正方体边长为
，则
，
外接球直径为.
【考点】
球
【名师点睛】求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心，本题就是第三种方法.
25．若四面体的三组对棱分别相等，即，，，则________.（写出所有正确结论的编号）
①四面体每个面的面积相等
②四面体每组对棱相互垂直
③连接四面体每组对棱中点的线段相互垂直平分
④从四面体每个顶点出发的三条棱的长都可以作为一个三角形的三边长
【答案】
【解析】
【分析】
由对棱相等知四面体为长方体的面对角线组成的三棱锥，借助长方体的性质判断各结论是否正确即可．
【详解】
由题意可知四面体ABCD为长方体的面对角线组成的三棱锥，如图所示；
由四面体的对棱相等可知四面体的各个面全等，
它们的面积相等，则正确；
当四面体棱长都相等时，四面体的每组对棱互相垂直，
则错误；
由长方体的性质可知四面体的对棱中点连线
必经过长方体的中心，
由对称性知连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分，则正确；
由，，，
可得过四面体任意一点的三条棱的长为的三边长，则正确．
故答案为．
【点睛】
本题考查了棱锥的结构特征与命题真假的判断问题，解题的关键是把三棱锥放入长方体中，属于难题．
26．若关于的不等式的解集为，则__________
【答案】1
【解析】
【分析】
根据二次不等式和二次方程的关系，得到是方程的两根，由根与系数的关系得到的值.
【详解】
因为关于的不等式的解集为
所以是方程的两根，
，
由根与系数的关系得，解得
【点睛】
本题考查一元二次不等式和一元二次方程之间的关系，根与系数之间的关系，属于简单题.
27．已知为正实数，且，则的最小值为______
【答案】
【解析】
【分析】
乘1法，化简，利用均值不等式解出即可。
【详解】
【点睛】
题干给了分式等式，所求最值不能直接利用基本不等式，需要进行转化。在使用基本不等式时需注意“一正二定三相等”缺一不可。
28．连续抛掷同一颗骰子3次，则3次掷得的点数之和为9的概率是____．
【答案】；
【解析】
【分析】
利用分步计数原理，连续拋掷同一颗骰子3次，则总共有：6×6×6=216种情况，再列出满足条件的所有基本事件，利用古典概型的计算公式计算可得概率.
【详解】
每一次拋掷骰子都有1，2，3，4，5，6，六种情况，
由分步计数原理：连续抛掷同一颗骰子3次，则总共有：6×6×6=216种情况，
则3次掷得的点数之和为9的基本事件为25种情况即：
(1,2,6)，(1,3,5)，(1,4,4)，(1,5,3)，(1,6,2)，
(2,1,6)，(2,2,5)，(2,3,4)，(2,4,3)，(2,5,2)，(2,6,1)，
(3,1,5)，(3,2,4)，(3,3,3)，(3,4,2)，(3,5,1)，
(4,1,4)，(4,2,3)，(4,3,2)，(4,4,1)，
(5,1,3)，(5,2,2)，(5,3,1)，
(6,1,2)，(6,2,1)，共25个基本事件，所以.
【点睛】
本题考查分步计数原理和古典概型概率计算，计数过程中如果前两个数固定，则第三个数也相应固定.
29．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为
．
【答案】
【解析】
试题分析：当时，不等式变形为，解集为，符合题意；
当时，依题意可得，
综上可得．
考点：一元二次不等式．
【易错点睛】本题主要考查不等式中的一元二次不等式问题，难度一般．有很多同学做此题时直接考虑为一元二次不等式，其二次函数应开口向下且与轴至多有一个交点，而忽略二次项系数为0时的情况导致出现错误．当二次项系数含参数时一定要讨论是否为0，否则极易出错．
30．设x、y∈R+，S=x+y，P=xy，以下四个命题中正确命题的序号是_________．
（把你认为正确的命题序号都填上）
①若P为定值m，则S有最大值；
②若S=P，则P有最大值4；
③若S=P，则S有最小值4；
④若S2≥kP总成立，则k的取值范围为k≤4．
【答案】③④
【解析】
【分析】
四个命题中,分别利用基本不等式求出最值，从而可得结果.
【详解】
对于①，当为定值时，，即应有最小值，①不正确；对于②，时，得出，②不正确；
对于③，由，③正确；
对于④，，因为
，所以，④正确，故答案为③④.
【点睛】
本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.
三、解答题
31．如图所示，四棱锥V－ABCD的底面为边长等于2
cm的正方形，顶点V与底面正方形中心的连线为棱锥的高，侧棱长VC＝4
cm，求这个四棱锥的体积.
【答案】
【解析】
试题分析：连AC、BD相交于点O，连VO，求出VO，则VV-ABCD=SABCD?VO，由此能求出这个四棱锥的体积．
试题解析：
如图，连接AC、BD相交于点O，连接VO，
∵AB＝BC＝2
cm，在正方形ABCD中，求得CO＝cm，又在直角三角形VOC中，
求得VO＝cm，∴VV－ABCD＝SABCD·VO＝×4×＝
(cm3)．
故这个四棱锥的体积为cm3.
32．在底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积．
【答案】．
【解析】
【详解】
试题分析：由已知中底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，我们可计算出圆柱的底面半径，代入圆柱表面积公式，即可得到答案．
解：设圆柱的底面半径为r，表面积为S，
底面半径为2母线长为4的圆锥的高为=2，
则圆柱的上底面为中截面，可得r=1
∴2，
∴．
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．
33．如图所示，半径为R的半圆内（其中）的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一个几何体，求该几何体的表面积及体积。
【答案】
【解析】
【分析】
根据旋转体的定义，得到该平面图形旋转后是一个球挖去两个同底的圆锥，利用球和圆锥的表面积和体积公式，准确计算，即可求解．
【详解】
如图所示，过C作于，在半圆中可得，
又，，∴，，，
∴，，
∴，
∴旋转所得到的几何体的表面积为.
又，，，
∴.
【点睛】
本题主要考查了旋转体的概念，以及球的表面积与体积和圆锥的表面积公式的应用，其中解答中根据旋转体的定义确定出几何体的结构特征，准确利用公式计算是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及运算与求解能力，属于基础题．
34．在三棱锥中，和是边长为的等边三角形，，分别是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证:平面；
（3）求三棱锥的体积.
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）.
【解析】
【分析】
由三角形中位线定理，得出，结合线面平行的判定定理，可得平面PAC；等腰和等腰中，证出，而，由勾股定理的逆定理，得，结合，可得平面ABC；由易知PO是三棱锥的高，算出等腰的面积，再结合锥体体积公式，可得三棱锥的体积．
【详解】
，D分别为AB，PB的中点，
又平面PAC，平面PAC
平面
如图，连接OC
，O为AB中点，，
，且．
同理，，
又，
，得．
．
、平面ABC，，
平面
平面ABC，为三棱锥的高，
结合，得棱锥的体积为
【点睛】
本题给出特殊三棱锥，求证线面平行、线面垂直并求锥体体积，考查了线面平行、线面垂直的判定与性质和锥体体积公式等知识，属于中档题．
35．已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）设过两点的直线的斜率为，其中、为曲线上的任意两点，并且，若恒成立，证明：.
【答案】（1）（2）见解析（3）见解析
【解析】
试题分析：（1）由导数几何意义得切线斜率为,再根据点斜式求切线方程（2）因为导函数为,所以根据，讨论:，在上递增；递增；递减．（3）由（2）知的单调性，又，所以由恒成立得,利用斜率公式化简得,转化为利用导数证明，易证.
试题解析：解：（1）当时，，
对函数求导得，
，又，
曲线在处的切线方程为：；
（2）求导得．
若，，在上递增；
若，当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
（3）由（2）知，若，在上递增，
又，故不恒成立．
若，当时，递减，，不合题意．
若，当时，递增，，不合题意．
若，在上递增，在上递减，
，合题意．
故，且（当且仅当时取“=”）．
设，
，
因此，.
36．已知直线，.
(1)若，求的值；
(2)若，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用两条直线垂直的条件，结合两条直线的方程可得1×（m﹣2）+m×3＝0，由此求得m的值．
（2）利用两直线平行的条件，结合两条直线的方程可得，由此求得得m
的值．
【详解】
（1）∵直线l1：x+my+6＝0，l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0，
由l1⊥l2
，可得
1×（m﹣2）+m×3＝0，解得．
（2）由题意可知m不等于0,
由l1∥l2
可得，解得
m＝﹣1．
【点睛】
本题主要考查两直线平行、垂直的条件，属于基础题．
37．已知等差数列{an}中，a1=1，a3=﹣3．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{an}的前k项和Sk=﹣35，求k的值．
【答案】（Ⅰ）an=1+（n﹣1）×（﹣2）=3﹣2n（Ⅱ）k=7
【解析】
试题分析：（I）设出等差数列的公差为d，然后根据首项为1和第3项等于﹣3，利用等差数列的通项公式即可得到关于d的方程，求出方程的解即可得到公差d的值，根据首项和公差写出数列的通项公式即可；
（II）根据等差数列的通项公式，由首项和公差表示出等差数列的前k项和的公式，当其等于﹣35得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，根据k为正整数得到满足题意的k的值．
解：（I）设等差数列{an}的公差为d，则an=a1+（n﹣1）d
由a1=1，a3=﹣3，可得1+2d=﹣3，解得d=﹣2，
从而，an=1+（n﹣1）×（﹣2）=3﹣2n；
（II）由（I）可知an=3﹣2n，
所以Sn==2n﹣n2，
进而由Sk=﹣35，可得2k﹣k2=﹣35，
即k2﹣2k﹣35=0，解得k=7或k=﹣5，
又k∈N+，故k=7为所求．
点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道基础题．
38．如图，已知四棱锥中，底面为矩形且，平面平面，是等边三角形，点是的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求直线与平面所成的角的正弦值．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用角的关系证出，再证明出，得到平面，进而证明可得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面．即直线与平面所成的角为，然后求出与，即可求解
【详解】
（Ⅰ）∵为矩形且，为的中点，
∴和都是等腰直角三角形，
∴，∴，∴．
连接，是等边三角形，是的中点，所以．
又平面平面，平面，平面平面.
所以平面．又平面，所以．
又，平面．所以平面．
又平面，所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面．
即直线与平面所成的角为．
设，则在中，，所以．
在等边中，，所以．
在中，，.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【点睛】
本题考查线线垂直和线面角的求解，解题关键在于，在图形中找出线面所成的角，属于基础题
39．在中，，，已知，是方程的两个根，且．
（1）求角的大小；
（2）求的长．
【答案】,
【解析】
试题分析：解：（1），所以
（2）由题意得
∴
=
∴
考点：本题考查余弦定理，三角函数的诱导公式的应用
点评：解决本题的关键是用一元二次方程根与系数之间关系结合余弦定理来解决问题
40．在平面直角坐标系中，点,圆的半径为2，圆心在直线上
（1）若圆心也在圆上，过点作圆的切线，求切线的方程．
（2）若圆上存在点，使,求圆心的纵坐标的取值范围．
【答案】（1）或
（2）或
【解析】
试题分析：（1）建立方程组圆心（2，-2），设切线方程，再由点到直线的距离公式解得或所求切线方程为或
（2）设点，由点在以为圆心，以为半径的圆上，由圆C与圆D有公共点或.
试题解析：（1）解得，所以圆心（2，-2），设切线方程为，即，，解得或，所求切线方程为或
（2）设圆的方程为，设点，因为,所以，化简得，所以点在以为圆心，以8为半径的圆上，由题意知点在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则，即，所以，解得或
