帮你归纳总结（二十九）：数列求和的常用方法

　　　　　　　帮你归纳总结（二十九）：数列求和的常用方法
一．公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和　　　公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式：
　　　　，，
　　　　
例1、已知是首项为的等比数列，若是的前n项和，且，求数 列的前项和。
解析：若，则由，得9×3a1＝6a1，则a1＝0，不满足题意，故q≠1.
由，得9×＝，解得q＝2.
故，则.
于是数列是以1为首项，为公比的等比数列，
其前5项和为。
练习：（1）等比数列的前项和，则_____
　　　（答：）；
（2）计算机是将信息转换成二进制数进行处理的。二进制即“逢2进1”，如表
　　示二进制数，将它转换成十进制形式是，那么将二　　　　　进制转换成十进制数是_______（答：）
分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在 一起，再运用公式法求和.
例2、数列的前2 010项的和为 (　　)
A．－2 010 B．－1 005
C．2 010 D．1 005
解、法一： S2 010＝－1＋2－3＋4－…－2 007＋2 008－2 009＋2 010
＝－(1＋3＋5＋…＋2 009)＋(2＋4＋6＋…＋2 010)
＝－＋＝1 005.
法二： S2 010＝－1＋2－3＋4－5＋6－…－2 009＋2 010
＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋(－5＋6)＋…＋(－2 009＋2 010)
＝
练习：求：（答：）
倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关 联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前和公
式的推导方法），如
例3、已知是R上的奇函数，
，则数列{an}的通项公式为(　　)
A．an＝n－1 B．an＝n C．an＝n＋1 D．an＝n2
解析：∵是奇函数， ∴．
即，∴.
即只需m＋n＝1，则f(m)＋f(n)＝2，
而 ①
②
①＋②，得
∴an＝n＋1.
练习：①求证：；
　②已知，则＝___
　　（答：）
四、错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构　　　成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前和公式的推导方法）. 如
例4、设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1＝b1＝1，a3＋b5＝19， a5＋b3＝9，求数列{anbn}的前n项和Sn。
解：由条件易求出，
∴Sn＝1×1＋2×21＋3×22＋…＋n×2n－1， ①
2Sn＝1×2＋2×22＋…＋(n－1)×2n－1＋n×2n， ②
由①－②，得:
－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n×2n，
∴Sn＝2n＋1(n－1).
练习：设为等比数列，，已知，，
① 求数列的首项和公比；②求数列的通项公式.
　　　（答：①，；②）；
　　
五、裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联， 那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：
①； ②；
③，；
④；
⑤；
⑥.
例5、已知数列{an}：，＋，＋＋，…，＋＋＋…＋，…，求数列{bn} ＝{}的前n项和Sn。
解、由已知条件，可得数列的通项公式为
∴，
＝4.
例6、数列{an}的通项公式an＝(n∈N*)，若前n项和为Sn，则Sn为(　　)
A.－1 B.＋－－1
C.(－1) D.(＋－－1)
解：∵an＝＝(－)，
∴Sn＝(－1＋－＋－＋－＋…＋－
＋－＋－)
＝(－1－＋＋)＝(＋－－1).
练习：（1）求和： （答：）；
（2）在数列中，，且Sｎ＝９，则n＝_____（答：99）；