人教版 九年级数学上册 21.2.2解一元二次方程——公式法 同步练习（Word版 含解析）

21.2.2解一元二次方程——公式法
一、单选题
1．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（
）
A．
B．
C．且
D．
2．方程的根为（
）
A．
B．
C．
D．
3．若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
4．一元二次方程4x2＋1＝﹣4x的根的情况是（
）
A．只有一个实数根
B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根
D．没有实数根
5．下列方程中，有实数解的是（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知关于的一元二次方程，其中，在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（
）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．只有一个实数根
7．若直角三角形的两边长分别是方程的两根，则该直角三角形的面积是（
）
A．6
B．12
C．12或
D．6或
8．关于的方程有实数根，则的取值范围是（
）
A．且
B．且
C．
D．
9．关于x的一元二次方程有实数根，则点在（　　）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
10．将4个数、、、排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义．例如．则方程的根的情况为（
）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．只有一个实数根
二、填空题
11．关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是__．
12．关于的一元二次方程有两个不相等实数根，则的值为____________．
13．在实数范围内定义一种运算“
”，其规则为a
b=a2-b2，根据这个规则，方程（x+1）
3=0的解为______．
14．关于x的一元二次方程（a+1）x2+bx+1＝0有两个相等的实数根，则代数式8a﹣2b2+6的值是__．
15．若一元二次方程无解，则c的取值范围为_________．
三、解答题
16．解下列一元二次方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
17．关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根为负数，求m的取值范围．
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0．
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）等腰三角形ABC中，AB=3，若AC、BC为方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0的两个实数根，求k的值．
19．如图四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，是和边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根；
（3）若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求面积．
20．如图，正方形ABCD和正方形AEFG有公共点A，点B在线段DG上．
（1）判断DG与BE的位置关系，并说明理由；
（2）若正方形ABCD的边长为1，正方形AEFG的边长为，求BE的长．
参考答案
1．D
解：由关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，可得：
，
解得：；
故选D．
2．D
解：，
变形得：，
开方得：，
故选：D．
3．A
解：∵关于x的一元二次方程x2+k-3=0没有实数根，
∴Δ=02-4×1×（k-3）=-4k+12＜0，
∴k的取值范围是k＞3；
故选：A．
4．C
解：方程4x2+1=-4x化为一般形式为4x2+4x+1=0，
∴Δ=42-4×4×1=0，
∴该方程有两个相等的实数根，
故选：C．
5．D
解：，
，
，
无实数解；
，
，
，
无实数解；
，
△，
无实数解；
，
解得，
有实数解，
故选：D．
6．A
解：由数轴可知：，；
∴；
∴有两个不相等的实数根
故选：A
7．D
解：解方程得，
当3和4分别为直角三角形的直角边时，面积为；
当4为斜边，3为直角边时根据勾股定理得另一直角边为，面积为；
则该直角三角形的面积是6或，
故选：D．
8．D
解：当方程为一元二次方程时，
∵关于的方程有实数根，
∴，且
，
解得，且，
当方程为一元一次方程时，k=1，方程有实根
综上，
故选：D．
9．B
解：∵是一元二次方程，且有实数根，
∴m-1≠0且，
解得：且m≠1，
∴m-3＜0，-m+4＞0，
∴在第二象限，
故选B．
10．B
解：∵
∴x2-6x=-9，即x2-6x+9=0
∵△=（-6）2-4×9×1=0
∴该方程有两个相等的实数根．
故选：B．
11．m≤2且m≠1
解：∵要保证方程为二次方程故m-1≠0得m≠1，
又∵方程有实数根，
∴，
解得m≤2，
故答案为：m≤2且m≠1．
12．且
解：根据题意得，
解得：且．
故答案为：且．
13．x1=2，x2=-4
解：根据新运算规则，可化为
∴
∴或
∴，
故答案为，
14．-2
解：根据题意得a＋1≠0且△＝b2?4×（a＋1）＝0，即b2?4a?4＝0，
∴b2?4a＝4，
∴原式＝?2（b2?4a）＋6＝?2×4＋6＝?2，
故答案为?2．
15．
解：关于x的一元二次方程无解，
∵，，，
∴，
解得，
∴的取值范围是．
故答案为：．
16．（1）；（2）；（3）；（4）
解：（1），
∴，
∴或，
解得：；
（2），
∵a=2，b=-4，c=-7，
∴△=16-4×2×（-7）=72，
∴x=，
解得：；
（3），
∵a=1，b=1，c=-1，
∴△=1-4×1×（-1）=5，
∴x=，
解得：；
（4），
∴，
∴或，
解得：．
17．（1）见解析；（2）
（1）证明：
．
∵，
∴方程总有两个实数根．
（2）解：∵，
∴
∵方程有一个根为负数，
∴m
<
0．
18．（1）见解析；（2）k=3
解：（1）∵△=[﹣(k+1)]2﹣4×1×(2k﹣3)
=k2+2k+1﹣8k+12
=(k-3)2+4，
∵无论k为何实数，(k-3)2≥0，
∴(k-3)2+4＞0，
∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵AC、BC为方程x2﹣(k+1)x+2k﹣3=0的两个实数根，
由（1）可得，AC≠BC，
∵△ABC为等腰三角形，
∴AC=AB=3或BC=AB=3，
∴方程x2﹣(k+1)x+2k﹣3＝0必有一根为x=3，
∴32﹣3(k+1)+2k﹣3=0，
解得k=3．
19．（1）；（2）见解析；（3）4
解：（1）当，，时
勾系一元二次方程为；
（2）证明：根据题意，得
△
即△，
勾系一元二次方程必有实数根；
（3）当时，有，即，
，即，
，
，
，，
，
，
．
20．（1）DG⊥BE，理由见解析；（2）BE的长为．
（1）DG⊥BE，
理由如下：∵四边形ABCD，四边形AEFG是正方形，
∴AB＝AD，∠DAB＝∠GAE，AE＝AG，∠ADB＝∠ABD＝45°，
∴∠DAG＝∠BAE，
在△DAG和△BAE中，
，
∴△DAG≌△BAE（SAS）．
∴DG＝BE，∠ADG＝∠ABE＝45°，
∴∠ABD+∠ABE＝90°，即∠GBE＝90°．
∴DG⊥BE；
（2）连接GE，
∵正方形ABCD的边长为1，正方形AEFG的边长为，
∴BD＝，GE＝2，设BE＝x，
∵DG=BE，
∴BG＝x﹣，
在Rt△BGE中，利用勾股定理可得：,
∴
∴x＝或x＝（舍去），
∴BE的长为．