2.4 解直角三角形同步练习（含答案）
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第二章 直角三角形的边角关系
4 解直角三角形
知识能力全练
知识点一 解直角三角形
1.如图所示，△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB，则cosA＝（ ）
A. B. C. D.
2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠C＝90°，a＝2，b＝1，则cosA＝_________，tan B＝__________.
3.如图所示，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝15，tanA＝，则AB＝__________.
4.在Rt△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B和∠C的对边，∠C＝90°.根据下列条件解直角三角形（边长精确到0.1，角度精确到1°）.
（1）c＝10，∠A＝30°； （2）b＝4，∠B＝72°； （3）a＝4，∠B＝36°；
（4）a＝5，c＝7； （5）a＝5，b＝12.
5.如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，AD＝6，tanB＝，试计算
Rt△ABC的面积.
6.数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现:一副三角板中，含45°角的三角板的斜边与含30°角的三角板的长直角边相等.于是，小陆同学提出了一个问题:如图所示，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上若BC＝2，求AF的长.
请你运用所学的数学知识解决这个问题.
知识点二 解非直角三角形
7.如图所示，在△ABC中，CA＝CB＝4，cosC＝，则sinB的值为（ ）
A. B. C. D.
8.在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，AC＝2，则BC的值为__________.
9.如图所示，在△ABC中，BC＝，∠C＝45°，AB＝AC，则AC的长为_________.
10.如图所示，在△ABC中，BC＝9，tanB＝，cosC＝，求△ABC的面积.
11.在一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A、B两个凉亭之间的距离，如图所示，现测得AC＝30m，BC＝70m，∠CAB＝120°，请计算A、B两个凉亭之间的距离.
12.某片绿地的形状如图所示，其中∠A＝60°，AB⊥BC于B，AD⊥CD于D，AB＝200m，CD＝100m，求AD，BC的长.（精确到1m，3≈1.732
13.已知:如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，cosB＝，D，E分别是AB，
BC边上的中点，AE与CD相交于点G.
（1）求CG的长；
（2）求tan∠BAE的值.
14将一副三角尺按如图①所示的方式摆放在起，连接AD，其示意图如图②所示，试求∠BAD的正切值.
巩固提高全练
15.下列说法中，正确的有（ ）
①a为锐角，则sina＋cosa＞1；
②cos31°＋cos41°＝cos72°；
③在直角三角形中，只要已知除直角外的两个元素就可以解这个三角形；
④坡度越大，则坡角越大，坡越陡；
⑤sinA＝＝30°；
⑥当Rt△ABC的三边长分别扩大到原来的2倍时，sinA的值也相应扩大到原来的2倍.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
16.解直角三角形:在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知a＝5，∠B＝60°.
17.在△ABC中，已知∠C＝90°，b＋c＝30，∠A-∠B＝30°，解这个直角三角形.
18.已知:如图所示，在△ABC中，BC＝AC，∠BCA＝135°，求tanA的值.
19.如图所示，在△ABC中，SinB＝，anC＝2，AB＝3，则AC的长为（ ）
A. B. C. D.2
20.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CD＝，求AB的长.
21.如图所示，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC，BC.测得BC＝221 m，∠ACB＝45°，∠ABC＝58°.根据测得的数据，求AB的长（结果取整数）.
参考数据:sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60.
22.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，AB＝5，BD＝1，tanB＝.
（1）求AD的长；
（2）求sina的值.
23.如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，∠AEC＝45°，若AC＝2，tan∠ACB＝，则AB的长为__________.
24.在直角三角形中，除直角外的5个元素中，已知2个元素（其中至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素对于任意三角形，我们需要知道几个元素就可以求出其余的未知元素呢？
思考并解答下列问题:
（1）观察图①～④，根据图中三角形的已知元素，可以求出其余未知元素的序号是__________.
（2）如图⑤，在△ABC中，已知∠A＝37°，AB＝12，AC＝10，能否求出BC的长度？如果能，请求出BC的长度；如果不能，请说明理由.（参考数据:sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
参考答案
1.D 2.； 3.17
4.解析（1）在R△ABC中，∵∠C＝90°，c＝10，∠A＝30，
∴∠B＝90°-∠A＝90-30＝60°，a＝c＝5.
b＝c·cosA＝10×cos30°＝10×＝5.
（2）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，b＝4，∠B＝72°，
∴∠A＝90°-∠B＝90°-72°＝18°，，.
（3）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，a＝4，∠B＝36°，
∴∠A＝90-∠B＝90°-36°＝54°，，
.
（4）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，a＝5，c＝7，∴，
∵，∴∠A≈46°，∴∠B＝90°-∠A＝90°-46°＝44°.
（5）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，a＝5，b＝12，
∴.∵tanA＝，∴∠A≈23°.
∴∠B＝90°-∠A＝90°-23°＝67°.
5.解析: ∵AD⊥BC，∠ADB＝90°.∴∠B＋∠BAD＝90°.
又∵∠BAD＋∠DAC＝∠BAC＝90°，∴∠B＝∠DAC.
∴tanB＝tan∠DAC＝，∴，即.
∴BD＝8， CD＝.∴BC＝BD＋CD＝8＋＝.
∴Rt△ABC的面积＝BC·AD＝××6＝.
6.解析 在Rt△ABC中，BC＝2，∠A＝30°，∴AC＝，
∴EF＝AC＝2.
在Rt△EFC中，∠E＝45°∴FC＝EF·sinE＝2×＝.
∴AF＝AC-FC＝2-.
7.D 8. 9. 2
10.解析 如图，过点A作AD⊥BC于D.
在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，cosC＝，设CD＝4x，则AC＝5x.
∴AD＝＝3x.
在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，tanB＝，∴DB＝5x.
∵BC＝BD＋DC，即9＝5x＋4x，∴x＝1.∴AD＝3.
∴△ABC的面积＝BC·AD＝×9×3＝.
11.解析 如图，过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D.
在Rt△CDA中，AC＝30 m，∠CAD＝180°-∠CAB＝180°-120°＝60°，
∴CD＝AC·sin∠CAD＝30sin60°＝15（m），
AD＝AC·cos∠CAD＝30co60°＝15（m）
在Rt△CDB中，BC＝70m，BD2＝BC2-CD2，
∴BD＝＝65（m）.∴AB＝BD-AD＝65-15＝50（m）.
答:A、B两个凉亭之间的距离为50 m.
12.解析 如图所示，延长AD，交BC的延长线于点E.
在Rt△ABE中，由AB＝200m，∠A＝60°，
得BE＝AB·tanA＝200m，AE＝＝400 m.
在Rt△CDE中，由CD＝100 m，∠CED＝90°-∠A＝30°，
得CE＝2CD＝200 m，DE＝＝100m.
∴AD＝AE-DE＝400-100≈227（m），BC＝BE-CE＝200-200≈146（m）.
答:AD的长约为227m，BC的长约为146m.
13.解析（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，BC＝12，cosB＝，
∴AB＝＝18.∵D是AB边上的中点，∴CD＝AB＝9.
又∵点E是BC边上的中点，∴点G是△ABC的重心.∴CG＝CD＝×9＝6.
（2）∵点E是BC边上的中点，∴BE＝BC＝6.
如图，过点E作EF⊥AB，垂足为F.
在Rt△BEF中，∵cosB＝，BF＝BE·cosB＝6×＝4.
∴EF＝.
∵AF＝AB-BF＝18-4＝14.∴tan∠BAE＝.
14.解析 如图，过点D作DE⊥AB，交AB的延长线于点E.
∵∠DBC＝90°，∠ABC＝45°，∴∠DBE＝180°-90°-45°＝45°.
∴△BED是等腰直角三角形.
设DE＝x（x＞0），则BE＝x，BD＝x.
在Rt△BCD中，BC＝BD＝×x＝x.
∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝BC＝x.
∴AE＝AB＋BE＝x＋x.∴tan∠BAD＝.
15.B
16.解析 ∵∠C＝90°，∠B＝60°，a＝5，
∴∠A＝90°-60°＝30°，，.
17.解析 ∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，
∵∠A-∠B＝30°，∴∠A＝60°，∠B＝30°.
∵，，∴c＝20，b＝10.
∴.
18.解析 如图，过B点作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，由题意得∠BCD＝45°.
∴.∵，∴BD＝CD＝AC.
∴tanA＝.
19.B
20.解析 在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，∴∠A＝30°.
∴∠ABC＝60°.∵BD是∠ABC的平分线，∴∠CBD＝30°.
又∵CD＝，∴BC＝＝3.
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴AB＝＝6.
21.解析 如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D.
∵∠ACB＝45°，AD＝CD.设AB＝x（x＞0）m，
在Rt△ADB中，AD＝AB·sin58°≈0.85x m，BD＝AB·cos58°≈0.53x m.
∵BC＝221 m，即CD＋BD＝221 m，∴0.85x＋0.53x＝221，∴x≈160.
答:AB的长约为160 m.
22.解析 （1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵tanB＝，∴设AC＝3x，BC＝4x，x＞0.
由勾股定理，得AC2＋BC2＝AB2，即（3x）2＋（4x）2＝52，解得x＝-1（舍去）或x＝1.
∴AC＝3，BC＝4.∵BD＝1，∴CD＝3.∴AD＝.
（2）如图，过点D作DE⊥AB于点E.
∵，即，∴.∴.
23.
24.解析 （1）根据全等三角形的判定可知题③，题图④的三角形唯一确定，因此可以求出其余未知元素，故填③④.
（2）能过点C作CD⊥AB于点D，如图所示.
在Rt△ADC中，∠A＝37°，AC＝10，∴CD＝AC·sinA＝10×sin37°≈10×0.60＝6，
AD＝AC·cosA＝10×cos37°≈10×0.80＝8.
∴BD＝AB-AD＝12-8＝4.
∴在R△CDB中，BC＝，
即BC的长度为2.
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第二章 直角三角形的边角关系
4 解直角三角形
知识能力全练
知识点一 解直角三角形
1.如图所示，△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB，则cosA＝（ ）
A. B. C. D.
2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠C＝90°，a＝2，b＝1，则cosA＝_________，tan B＝__________.
3.如图所示，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝15，tanA＝，则AB＝__________.
4.在Rt△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B和∠C的对边，∠C＝90°.根据下列条件解直角三角形（边长精确到0.1，角度精确到1°）.
（1）c＝10，∠A＝30°； （2）b＝4，∠B＝72°； （3）a＝4，∠B＝36°；
（4）a＝5，c＝7； （5）a＝5，b＝12.
5.如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，AD＝6，tanB＝，试计算
Rt△ABC的面积.
6.数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现:一副三角板中，含45°角的三角板的斜边与含30°角的三角板的长直角边相等.于是，小陆同学提出了一个问题:如图所示，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上若BC＝2，求AF的长.
请你运用所学的数学知识解决这个问题.
知识点二 解非直角三角形
7.如图所示，在△ABC中，CA＝CB＝4，cosC＝，则sinB的值为（ ）
A. B. C. D.
8.在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，AC＝2，则BC的值为__________.
9.如图所示，在△ABC中，BC＝，∠C＝45°，AB＝AC，则AC的长为_________.
10.如图所示，在△ABC中，BC＝9，tanB＝，cosC＝，求△ABC的面积.
11.在一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A、B两个凉亭之间的距离，如图所示，现测得AC＝30m，BC＝70m，∠CAB＝120°，请计算A、B两个凉亭之间的距离.
12.某片绿地的形状如图所示，其中∠A＝60°，AB⊥BC于B，AD⊥CD于D，AB＝200m，CD＝100m，求AD，BC的长.（精确到1m，3≈1.732
13.已知:如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，cosB＝，D，E分别是AB，
BC边上的中点，AE与CD相交于点G.
（1）求CG的长；
（2）求tan∠BAE的值.
14将一副三角尺按如图①所示的方式摆放在起，连接AD，其示意图如图②所示，试求∠BAD的正切值.
巩固提高全练
15.下列说法中，正确的有（ ）
①a为锐角，则sina＋cosa＞1；
②cos31°＋cos41°＝cos72°；
③在直角三角形中，只要已知除直角外的两个元素就可以解这个三角形；
④坡度越大，则坡角越大，坡越陡；
⑤sinA＝＝30°；
⑥当Rt△ABC的三边长分别扩大到原来的2倍时，sinA的值也相应扩大到原来的2倍.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
16.解直角三角形:在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知a＝5，∠B＝60°.
17.在△ABC中，已知∠C＝90°，b＋c＝30，∠A-∠B＝30°，解这个直角三角形.
18.已知:如图所示，在△ABC中，BC＝AC，∠BCA＝135°，求tanA的值.
19.如图所示，在△ABC中，SinB＝，anC＝2，AB＝3，则AC的长为（ ）
A. B. C. D.2
20.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CD＝，求AB的长.
21.如图所示，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC，BC.测得BC＝221 m，∠ACB＝45°，∠ABC＝58°.根据测得的数据，求AB的长（结果取整数）.
参考数据:sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60.
22.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，AB＝5，BD＝1，tanB＝.
（1）求AD的长；
（2）求sina的值.
23.如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，∠AEC＝45°，若AC＝2，tan∠ACB＝，则AB的长为__________.
24.在直角三角形中，除直角外的5个元素中，已知2个元素（其中至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素对于任意三角形，我们需要知道几个元素就可以求出其余的未知元素呢？
思考并解答下列问题:
（1）观察图①～④，根据图中三角形的已知元素，可以求出其余未知元素的序号是__________.
（2）如图⑤，在△ABC中，已知∠A＝37°，AB＝12，AC＝10，能否求出BC的长度？如果能，请求出BC的长度；如果不能，请说明理由.（参考数据:sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
参考答案
1.D 2.； 3.17
4.解析（1）在R△ABC中，∵∠C＝90°，c＝10，∠A＝30，
∴∠B＝90°-∠A＝90-30＝60°，a＝c＝5.
b＝c·cosA＝10×cos30°＝10×＝5.
（2）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，b＝4，∠B＝72°，
∴∠A＝90°-∠B＝90°-72°＝18°，，.
（3）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，a＝4，∠B＝36°，
∴∠A＝90-∠B＝90°-36°＝54°，，
.
（4）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，a＝5，c＝7，∴，
∵，∴∠A≈46°，∴∠B＝90°-∠A＝90°-46°＝44°.
（5）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，a＝5，b＝12，
∴.∵tanA＝，∴∠A≈23°.
∴∠B＝90°-∠A＝90°-23°＝67°.
5.解析: ∵AD⊥BC，∠ADB＝90°.∴∠B＋∠BAD＝90°.
又∵∠BAD＋∠DAC＝∠BAC＝90°，∴∠B＝∠DAC.
∴tanB＝tan∠DAC＝，∴，即.
∴BD＝8， CD＝.∴BC＝BD＋CD＝8＋＝.
∴Rt△ABC的面积＝BC·AD＝××6＝.
6.解析 在Rt△ABC中，BC＝2，∠A＝30°，∴AC＝，
∴EF＝AC＝2.
在Rt△EFC中，∠E＝45°∴FC＝EF·sinE＝2×＝.
∴AF＝AC-FC＝2-.
7.D 8. 9. 2
10.解析 如图，过点A作AD⊥BC于D.
在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，cosC＝，设CD＝4x，则AC＝5x.
∴AD＝＝3x.
在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，tanB＝，∴DB＝5x.
∵BC＝BD＋DC，即9＝5x＋4x，∴x＝1.∴AD＝3.
∴△ABC的面积＝BC·AD＝×9×3＝.
11.解析 如图，过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D.
在Rt△CDA中，AC＝30 m，∠CAD＝180°-∠CAB＝180°-120°＝60°，
∴CD＝AC·sin∠CAD＝30sin60°＝15（m），
AD＝AC·cos∠CAD＝30co60°＝15（m）
在Rt△CDB中，BC＝70m，BD2＝BC2-CD2，
∴BD＝＝65（m）.∴AB＝BD-AD＝65-15＝50（m）.
答:A、B两个凉亭之间的距离为50 m.
12.解析 如图所示，延长AD，交BC的延长线于点E.
在Rt△ABE中，由AB＝200m，∠A＝60°，
得BE＝AB·tanA＝200m，AE＝＝400 m.
在Rt△CDE中，由CD＝100 m，∠CED＝90°-∠A＝30°，
得CE＝2CD＝200 m，DE＝＝100m.
∴AD＝AE-DE＝400-100≈227（m），BC＝BE-CE＝200-200≈146（m）.
答:AD的长约为227m，BC的长约为146m.
13.解析（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，BC＝12，cosB＝，
∴AB＝＝18.∵D是AB边上的中点，∴CD＝AB＝9.
又∵点E是BC边上的中点，∴点G是△ABC的重心.∴CG＝CD＝×9＝6.
（2）∵点E是BC边上的中点，∴BE＝BC＝6.
如图，过点E作EF⊥AB，垂足为F.
在Rt△BEF中，∵cosB＝，BF＝BE·cosB＝6×＝4.
∴EF＝.
∵AF＝AB-BF＝18-4＝14.∴tan∠BAE＝.
14.解析 如图，过点D作DE⊥AB，交AB的延长线于点E.
∵∠DBC＝90°，∠ABC＝45°，∴∠DBE＝180°-90°-45°＝45°.
∴△BED是等腰直角三角形.
设DE＝x（x＞0），则BE＝x，BD＝x.
在Rt△BCD中，BC＝BD＝×x＝x.
∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝BC＝x.
∴AE＝AB＋BE＝x＋x.∴tan∠BAD＝.
15.B
16.解析 ∵∠C＝90°，∠B＝60°，a＝5，
∴∠A＝90°-60°＝30°，，.
17.解析 ∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，
∵∠A-∠B＝30°，∴∠A＝60°，∠B＝30°.
∵，，∴c＝20，b＝10.
∴.
18.解析 如图，过B点作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，由题意得∠BCD＝45°.
∴.∵，∴BD＝CD＝AC.
∴tanA＝.
19.B
20.解析 在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，∴∠A＝30°.
∴∠ABC＝60°.∵BD是∠ABC的平分线，∴∠CBD＝30°.
又∵CD＝，∴BC＝＝3.
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴AB＝＝6.
21.解析 如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D.
∵∠ACB＝45°，AD＝CD.设AB＝x（x＞0）m，
在Rt△ADB中，AD＝AB·sin58°≈0.85x m，BD＝AB·cos58°≈0.53x m.
∵BC＝221 m，即CD＋BD＝221 m，∴0.85x＋0.53x＝221，∴x≈160.
答:AB的长约为160 m.
22.解析 （1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵tanB＝，∴设AC＝3x，BC＝4x，x＞0.
由勾股定理，得AC2＋BC2＝AB2，即（3x）2＋（4x）2＝52，解得x＝-1（舍去）或x＝1.
∴AC＝3，BC＝4.∵BD＝1，∴CD＝3.∴AD＝.
（2）如图，过点D作DE⊥AB于点E.
∵，即，∴.∴.
23.
24.解析 （1）根据全等三角形的判定可知题③，题图④的三角形唯一确定，因此可以求出其余未知元素，故填③④.
（2）能过点C作CD⊥AB于点D，如图所示.
在Rt△ADC中，∠A＝37°，AC＝10，∴CD＝AC·sinA＝10×sin37°≈10×0.60＝6，
AD＝AC·cosA＝10×cos37°≈10×0.80＝8.
∴BD＝AB-AD＝12-8＝4.
∴在R△CDB中，BC＝，
即BC的长度为2.
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