人教版八年级上册：11.2 与三角形有关的角 同步练习 （word版，含解析）

11.2 与三角形有关的角 同步练习
一．选择题
1．已知∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角，下列条件不能确定△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠A＝40°，∠B＝50° B．∠A＝90°
C．∠A+∠B＝∠C D．∠A+∠B＝2∠C
2．若△ABC的三个内角的比为3：5：2，则△ABC是（　　）
A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
3．如图，在△ABC中，∠A＝50°，则∠1+∠2的度数是（　　）
A．180° B．230° C．280° D．无法确定
4．如图，直线DE经过点A，DE∥BC，∠B＝44°，∠C＝57°，则∠BAC的度数是（　　）
A．89° B．79° C．69° D．90°
5．如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝50°，如果AD平分∠BAC，那么∠ADB的度数是（　　）
A．35° B．70° C．85° D．95°
6．如图，已知CD和BE是△ABC的角平分线，∠A＝60°，则∠BOC＝（　　）
A．60° B．100° C．120° D．150°
7．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，它们相交于点O，∠AOB＝125°，则∠CAD的度数为（　　）
A．20° B．30° C．45° D．50°
8．如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的三等分线交于点E、D，若∠E＝90°，则∠BDC的度数为（　　）
A．120° B．125° C．130° D．135°
二．填空题
9．在△ABC中，∠A＝35°，∠B＝45°，则∠C为 　 　．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝48°，点D是AB延长线上的一点，则∠CBD的度数是 　 　°．
11．如图，AD平分∠BAC，其中∠B＝35°，∠ADC＝82°，则∠C＝　 　度．
12．如图，AD平分∠EAC，∠B＝70°，∠C＝60°，求∠CAD＝　 　．
13．一副三角板如图摆放，其中一块三角板的直角边EF落在另一块三角板的斜边AC上，边BC与DF交于点O，则∠BOD的度数是 　 　．
14．如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线，CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是∠A2BD的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线，若∠A1＝α，则∠A2021为　 　．
三．解答题
15．如图，在△ABC中，∠B＝80°，∠C＝30°，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，求∠EAD的度数．
16．如图，FA⊥EC，垂足为E，∠F＝40°，∠C＝20°，求∠FBC的度数．
17．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB，F为边BC上一点，连接AF交CE于点G，∠CGF＝∠CFG．求证：AF平分∠BAC．
18．互动学生课堂上，某小组同学对一个课题展开了探究．
小亮：已知，如图三角形ABC，点D是三角形ABC内一点，连接BD，CD，试探究∠BDC与∠A、∠1、∠2之间的关系．
小明：可以用三角形内角和定理去解决．
小丽：用外角的相关结论也能解决．
（1）请你在横线上补全小明的探究过程：
∵∠BDC+∠DBC+∠BCD＝180°，（　 　）
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠BCD，（等式性质）
∵∠A+∠1+　 　+∠DBC+∠BCD＝180°，
∴∠A+∠1+∠2＝180°﹣　 　﹣∠BCD，
∴∠BDC＝∠A+∠1+∠2． （　 　）
（2）请你按照小丽的思路完成探究过程．
19．（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：∠A+∠B＝∠C+∠D．
（2）如图②，AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，求∠P的度数．
（3）如图（3），直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的数量关系是 　 　；
（4）如图（4），直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的数量关系是 　 　．
20．如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．
（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．
参考答案
一．选择题
1．解：选项A：∵∠A＝40°，∠B＝50°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°．
∴△ABC是直角三角形．
选项B：∵∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
选项C：∵∠A+B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C＝180°．
∴∠C＝90°．
∴△ABC是直角三角形．
选项D：∵∠A+∠B＝2∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴3∠C＝180°．
∴∠C＝60°．
∴∠A+∠B＝120°．
∴无法确定△ABC是直角三角形．
故选：D．
2．解：∵△ABC的三个内角的比为3：5：2可设此三角形的三个内角分别为2x，3x，5x，
∴2x+3x+5x＝180°，解得x＝18°，
∴5x＝5×18°＝90°．
∴此三角形是直角三角形．
故选：C．
3．解：∵∠1＝∠A+∠ACB，∠2＝∠A+∠ABC，
∴∠1+∠2＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝（∠A+∠ACB+∠ABC）+∠A．
又∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝50°，
∴∠1+∠2＝180°+50°＝230°．
故选：B．
4．解：∵∠B＝44°，∠C＝57°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝79°．
故选：B．
5．解：∵在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣60°﹣50°＝70°．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC＝35°．
∵在△ABD中，∠BDA＝180°﹣∠B﹣∠BAD．
∴∠BDA＝180°﹣60°﹣35°＝85°
故选：C．
6．解：∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°，
∵CD和BE是△ABC的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝120°，
故选：C．
7．解：∵∠AOB＝125°，
∴∠OAB+∠OBA＝55°，
∵AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，它们相交于点O，
∴∠BAC+∠ABC＝2（∠OAB+∠OBA）＝110°，
∴∠C＝70°，
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝20°，
即∠CAD的度数是20°．
故选：A．
8．解：在△BEC中，
∵∠BEC＝90°，
∴∠EBC+∠ECB＝90°，
∵∠ABC、∠ACB的三等分线交于点E、D，
∴∠DBC＝∠EBC，∠DCB＝∠ECB，
∴∠DBC+∠DCB＝×90°＝45°，
∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝135°，
故选：D．
二．填空题
9．解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣35°﹣45°＝100°．
故答案为：100°．
10．解：∵∠ACB＝90°，∠A＝48°，
∴∠CBD＝∠ACB+∠A＝90°+48°＝138°，
故答案为138．
11．解：∵∠ADC是△ABD的一个外角，
∴∠BAD＝∠ADC﹣∠B＝82°﹣35°＝47°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAD＝94°，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝51°，
故答案为：51．
12．解：∵∠EAC＝∠B+∠C，∠B＝70°，∠C＝60°，
∴∠EAC＝70°+60°＝130°，
∵AD是∠EAC的平分线，
∴∠CAD＝∠EAC＝65°，
故答案是：65°．
13．解：△COF中，∵∠CFO＝45°，∠FCO＝30°，
∴∠COF＝180°﹣∠CFO﹣∠FCO＝180°﹣45°﹣30°＝105°，
∵∠COF＝∠BOD，
∴∠BOD＝105°，
故答案为：105°．
14．解：∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，
∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，
又∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC+∠A1，
∴（∠A+∠ABC）＝∠ABC+∠A1，
∴∠A1＝∠A，
同理理可得∠A2＝∠A1，∠A3＝∠A2，……
则∠A2021＝∠A1＝．
故答案为：．
三．解答题
15．解：∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∠B＝80°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣80°＝70°；
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵∠DAC＝180°﹣∠ADC﹣∠C，∠C＝30°，
∴∠DAC＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE＝35°，
∵∠EAD＝∠DAC﹣∠EAC，
∴∠EAD＝25°．
16．解：在△AEC 中，FA⊥EC，
∴∠AEC＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠C＝70°．
∴∠FBC＝∠A+∠F＝70°+40°＝110°．
17．解：∵∠ACB＝90°，∠CAF+∠ACB+∠CFG＝180°，
∴∠CAF+∠CFG＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∵∠AEC+∠AGE+∠FAE＝180°，
∴∠AGE+∠FAE＝90°，
∵∠AGE＝∠CGF＝∠CFG，
∴∠CAF＝∠FAE，
∴AF平分∠BAC．
18．解：（1）∵∠BDC+∠DBC+∠BCD＝180°，（三角形内角和定理）
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠BCD，（等式性质）
∵∠A+∠1+∠2+∠DBC+∠BCD＝180°，
∴∠A+∠1+∠2＝180°﹣∠DBC﹣∠BCD，
∴∠BDC＝∠A+∠1+∠2 （等量代换），
故答案为：三角形内角和定理；∠2；∠DBC；等量代换；
（2）如图，延长BD交AC于E，
由三角形的外角性质可知，∠BEC＝∠A+∠1，∠BDC＝∠BEC+∠2，
∴∠BDC＝∠A+∠1+∠2．
19．解：（1）∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，
∴∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD．
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D．
（2）∵AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，
∴∠BAP＝∠PAD，∠BCP＝∠PCD，
由（1）的结论得，∠P+∠BCP＝∠ABC+∠BAP，①，
∠P+∠PAD＝∠ADC+∠PCD②，
①+②得，2∠P+∠BCP+∠PAD＝∠BAP+∠PCD+∠ABC+∠ADC，
∴2∠P＝∠ABC+∠ADC，
∵∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，
∴∠P＝26°．
（3）∵直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠PAB＝∠PAD，∠PCB＝∠PCE，
∴2∠PAB+∠B＝180°﹣2∠PCB+∠D，
∴180°﹣2（∠PAB+∠PCB）+∠D＝∠B，
∵∠P+∠PAD＝∠PCB+∠AOC＝∠PCB+∠B+2∠PAD，
∴∠P＝∠PAD+∠B+∠PCB＝∠PAB+∠B+∠PCB，
∴∠PAB+∠PCB＝∠P﹣∠B，
∴180°﹣2（∠P﹣∠B）+∠D＝∠B，即∠P＝90°+（∠B+∠D）．
故答案为：∠P＝90°+（∠B+∠D）．
（4）∵直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠FAP＝∠PAO，∠PCE＝∠PCB，
在四边形APCB中，（180°﹣∠FAP）+∠P+∠PCB+∠B＝360°①，
在四边形APCD中，∠PAD+∠P+（180°﹣∠PCE）+∠D＝360°②，
①+②得：2∠P+∠B+∠D＝360°，
∴∠P＝180°﹣（∠B+∠D）．
故答案为：∠P＝180°﹣（∠B+∠D）．
20．（1）解：∵∠A＝80°．
∴∠ABC+∠ACB＝100°，
∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，
∴∠P＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×100°＝130°，
（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，
∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）
＝（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）
＝（180°+∠A）
＝90°+∠A
∴∠Q＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A；
（3）延长BC至F，
∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF＝2∠ECF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBC，
∵∠ECF＝∠EBC+∠E，
∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，
即∠ACF＝∠ABC+2∠E，
又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，
∴∠A＝2∠E，即∠E＝∠A；
∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ
＝∠ABC+∠MBC
＝（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．
如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：
①∠EBQ＝2∠E＝90°，则∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；
②∠EBQ＝2∠Q＝90°，则∠Q＝45°，∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；
③∠Q＝2∠E，则90°﹣∠A＝∠A，解得∠A＝60°；
④∠E＝2∠Q，则∠A＝2（90°﹣∠A），解得∠A＝120°．
综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．