2021-2022学年湘教新版八年级上册数学《第2章 三角形》单元测试卷（word版含解析）

2021-2022学年湘教新版八年级上册数学《第2章
三角形》单元测试卷
一．选择题
1．如图所示，以BC为边的三角形共有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．如图中，三角形的个数为（　　）
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
3．已知三角形ABC三边a、b、c满足（a﹣b）2+|b﹣c|＝0，则△ABC的形状是（　　）
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．以上都不对
4．画△ABC中AC边上的高，下列四个画法中正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
5．三角形的重心是（　　）
A．三角形三条边上中线的交点
B．三角形三条边上高线的交点
C．三角形三条边垂直平分线的交点
D．三角形三条内角平分线的交点
6．下列长度的三条线段能构成三角形的是（　　）
A．3，4，8
B．3，4，7
C．5，6，10
D．5，6，11
7．如图，△ABC的面积为3，BD：DC＝2：1，E是AC的中点，AD与BE相交于点P，那么四边形PDCE的面积为（　　）
A．
B．
C．
D．
8．下列图形中，具有稳定性的是（　　）
A．
B．
C．
D．
9．如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC＝76°，∠C＝64°，则∠DAE的度数是（　　）
A．10°
B．12°
C．15°
D．18°
10．如图，直线AB∥CD，∠B＝50°，∠D＝20°，则∠E的度数是（　　）
A．20°
B．30°
C．50°
D．70°
二．填空题
11．空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是　
　．
12．数一数图中共有　
　个三角形．
13．锐角三角形的三条高都在　
　，钝角三角形有　
　条高在三角形外，直角三角形有两条高恰是它的　
　．
14．如图，在△ABC中，BD＝DC，AE＝EB，AD与CE相交于点O，若DO＝2cm，则AO＝　
　cm．
15．如图，∠α＝125°，∠1＝50°，则∠β＝　
　．
16．如图，共有　
　个三角形．
17．阅读材料，并填表：
在△ABC中，有一点P1，当P1，A，B，C没有任何三点在同一直线上时，可构成三个不重叠的小三角形（如图）．当△ABC内的点的个数增加时，若其它条件不变，三角形内互不重叠的小三角形的个数情况怎样
完成下表：
ABC内点的个数
1
2
3
…
1002
构成不重叠的小三角形的个数
3
5
…
按表格顺序填入为　
　，　
　．
18．已知D、E分别是△ABC的边BC和AC的中点，若△ABC的面积＝24cm2，则△DEC的面积为　
　．
19．设△ABC三边为a、b、c，其中a、b满足|a+b﹣6|+（a﹣b+4）2＝0，则第三边c的取值范围　
　．
20．如图，在直角三角形ABC中，点P、Q分别是AC、BC边上的两个动点，MP、NQ分别平分∠APQ和∠BQP，交AB于点M、N，MR、NR又分别平分∠BMP和∠ANQ，两条角平分线交于点R，则∠R＝　
　°．
三．解答题
21．（1）下列图形中具有稳定性是　
　；（只填图形序号）
（2）对不具有稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性．
22．【数学经验】三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积．
【经验发展】面积比和线段比的联系：
（1）如图1，M为△ABC的AB上一点，且BM＝2AM，若△ABC的面积为a，若△CBM的面积为S，则S＝　
　（用含a的代数式表示）．
【结论应用】如图2，已知△CDE的面积为1，，，求△ABC的面积．
【迁移应用】如图3，在△ABC中，M是AB的三等分点（AM＝AB），N是BC的中点，若△ABC的面积是1，请直接写出四边形BMDN的面积为　
　．
23．一个三角形有两条边相等，周长为20cm，三角形的一边长6cm，求其他两边长．
24．两条平行直线上各有n个点，用这n对点按如下的规则连接线段；
①平行线之间的点在连线段时，可以有共同的端点，但不能有其它交点；
②符合①要求的线段必须全部画出；
图1展示了当n＝1时的情况，此时图中三角形的个数为0；
图2展示了当n＝2时的一种情况，此时图中三角形的个数为2；
（1）当n＝3时，请在图3中画出使三角形个数最少的图形，此时图中三角形的个数为　
　个；
（2）试猜想当n对点时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？
（3）当n＝2006时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？
25．观察以下图形，回答问题：
（1）图②有　
　个三角形；图③有　
　个三角形；图④有　
　个三角形；…猜测第七个图形中共有　
　个三角形．
（2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有　
　个三角形（用含n的代数式表示结论）．
26．已知AD是△ABC的高，∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，求∠BAC的度数．
27．如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O．
（1）BO与OD的长度有什么关系？并证明你的结论．
（2）BC边上的中线是否一定过点O？为什么？
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：以BC为边的三角形有△BCE，△BAC，△DBC，
故选：C．
2．解：根据图示知，图中的三角形有：△ABE，△ABC，△DEC，△DBC，△EBC，共有5个．
故选：C．
3．解：根据非负数的性质，a﹣b＝0，b﹣c＝0，
解得a＝b，b＝c，
所以，a＝b＝c，
所以，△ABC是等边三角形．
故选：C．
4．解：由三角形的高线的定义，C选项图形表示△ABC中AC边上的高．
故选：C．
5．解：三角形的重心是三条中线的交点，
故选：A．
6．解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得
A中，3+4＝7＜8，不能组成三角形；
B中，3+4＝7，不能组成三角形；
C中，5+6＝11＞10，能够组成三角形；
D中，5+6＝11，不能组成三角形．
故选：C．
7．解：连接CP，
设△CPE的面积是x，△CDP的面积是y．
∵BD：DC＝2：1，E为AC的中点，
∴△BDP的面积是2y，△APE的面积是x，
∵BD：DC＝2：1，CE：AC＝1：2，
∴△ABP的面积是4x．
∴4x+x＝2y+x+y，
解得y＝x．
又∵4x+x＝，
x＝．
则四边形PDCE的面积为x+y＝．
故选：B．
8．解：根据三角形具有稳定性可得选项B具有稳定性，
故选：B．
9．解：∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠CAB＝×76°＝38°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣64°＝26°，
∴∠DAE＝∠EAC﹣∠CAD＝38°﹣26°＝12°，
故选：B．
10．解：∵AB∥CD，
∴∠BMD＝∠B＝50°，
又∵∠BMD是△CDE的外角，
∴∠E＝∠BMD﹣∠D＝50°﹣20°＝30°．
故选：B．
二．填空题
11．解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
12．解：线段AD上有4个点，
可以与E组成的三角形有×4×（4﹣1）＝6个．
故答案是：6．
13．解：锐角三角形有三条高，高都在三角形内部，且锐角三角形三条高的交点一定在三角形内部；
钝角三角形有三条高，一条高在三角形内部，另外两条高在三角形外部，
直角三角形有两条高即三角形的两条直角边，一条在内部，三条高的交点在顶点上；
故答案分别是：三角形内部；二；直角边．
14．解：∵BD＝DC，AE＝EB，AD与CE相交于点O，
∴O是△ABC的重心，
∴AO＝2DO＝2×2＝4cm．
故答案为：4．
15．解：∵∠2＝∠α﹣∠1＝75°，
∴∠β＝180°﹣∠2＝180°﹣75°＝105°．
16．解：图中有：△OAB，△OAC，△OAD，△OBC，△OCD，△OBD，共6个．
故答案为：6．
17．解：当△ABC内的点的个数是n时，三角形内互不重叠的小三角形的个数2n+1．∴按表格顺序填入为7，2005．
18．解：∵D、E分别是△ABC的边BC和AC的中点，
∴S△ABC＝2S△ADC
又∵D是△ABC的边BC的中点，S△ABC＝24cm2，
∴S△DEC＝S△ABC＝6cm2．
故答案为：6cm2．
19．解：由题意得：，
解得，
根据三角形的三边关系定理可得5﹣1＜c＜5+1，
即4＜c＜6．
故答案为：4＜c＜6．
20．解：∵∠C+∠A+∠B＝180°，∠C+∠CPQ+∠CQP＝180°，∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，∠CPQ+∠CQP＝90°，
∴∠APQ+∠BQP+∠CPQ+∠CQP＝360°，
∴∠APQ+∠BQP＝270°，
∵MP、NQ分别平分∠APQ和∠BQP，
∴∠MPQ+∠NQP＝∠APM+∠BQN＝135°，
∵∠MPQ+∠NQP+∠PMN+∠QNM＝360°，
∴∠PMN+∠QNM＝225°，
∵MR、NR又分别平分∠BMP和∠ANQ，
∴∠NMR+∠MNR＝112.5°，
∵∠NMR+∠MNR+∠R＝180°，
∴∠R＝67.5°．
故答案为67.5．
三．解答题
21．解：（1）具有稳定性的是①④⑥三个．
（2）如图所示：
22．解：（1）∵M为△ABC的AB上一点，且BM＝2AM，
∴S＝a，
故答案为a；
（2）连接BD，
∵△CDE的面积为1，，
∴S△BDC＝3S△DEC＝3，
∵，
∴S△ABC＝4S△BDC＝12；
（3）连接BD，
设S△ADM＝a，
∵M是AB的三等分点（AM＝AB），
∴S△ABD＝3a，S△BDM＝2a，
∵N是BC的中点，
∴S△ABN＝S△ACN，S△BDN＝S△CDN，
∴S△ADC＝S△ADB＝3a，
∴S△ACM＝4a，
∵AM＝AB，
∴S△CBM＝2S△ACM＝8a，
∴S△CDB＝6a，S△ABC＝12a，
∴S△BDN＝3a，
∴S四边形BMDN＝5a，
∴S四边形BMDN＝S△ABC＝×1＝，
故答案为．
23．解：（1）当6是腰时，底边＝20﹣6×2＝8cm，即其它两边是6cm，8cm，此时6+6＝12，能构成三角形；
（2）当6是底边时，腰＝（20﹣6）÷2＝7cm，此时能构成三角形，所以其它两边是7cm、7cm．
因此其它两边长分别为7cm，7cm，
综上所述两边长分别为6cm，8cm或7cm，7cm．
24．解：（1）
4个；
（2）当有n对点时，最少可以画2（n﹣1）个三角形；
（3）2×（2006﹣1）＝4010个．
答：当n＝2006时，最少可以画4010个三角形．
25．解：（1）图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；…猜测第七个图形中共有13个三角形．
（2）∵图②有3个三角形，3＝2×2﹣1；
图③有5个三角形，5＝2×3﹣1；
图④有7个三角形，7＝2×4﹣1；
∴第n个图形中有（2n﹣1）个三角形．
故答案为3，5，7，13，（2n﹣1）．
26．解：①如图1，当高AD在△ABC的内部时，
∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝70°+20°＝90°；
②如图2，当高AD在△ABC的外部时，
∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝70°﹣20°＝50°，
综上所述，∠BAC的度数为90°或50°．
27．解：（1）BO＝2OD，理由如下：
连接DE，
∵BD、CE是边AC、AB上的中线，
∴DE∥BC，DE＝BC．
∴△ODE～△OBC，
∴＝，
即BO＝2OD．
（2）BC边上的中线一定过点O，
理由是：作BC边上的中线AF，交BD于M，
连接DF，
∵BD、AF是边AC、BC上的中线，
.∴DF∥BA，DF＝BA．
∴△MDF～△MBA
∴＝＝＝，
即BD＝3DM，
BO＝BD，
∴O和M重合，
即BC边上的中线一定过点O．