11.1 余弦定理
学
习
任
务
核
心
素
养
1．掌握余弦定理及其推论．(重点)2．掌握正、余弦定理的综合应用．(重点)3．能应用余弦定理判断三角形的形状．(易错点)
1．借助余弦定理的推导过程，提升逻辑推理素养．2．通过余弦定理的应用，提升数学运算素养．
如图，在△ABC中，若角A，B，C的对边分别为a，b，c，你能用平面向量的知识推导出边a，b，c与角A之间的数量关系吗？
知识点1 余弦定理
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．
即a2＝b2＋c2－2bccos
A，
b2＝c2＋a2－2cacos
B，
c2＝a2＋b2－2abcos
C．
1．根据勾股定理，若△ABC中，C＝90°，则c2＝a2＋b2＝a2＋b2－2abcos
C．
①
试验证①式对等边三角形还成立吗？你有什么猜想？
[提示] 当a＝b＝c时，C＝60°，
a2＋b2－2abcos
C＝c2＋c2－2c·ccos
60°＝c2，
即①式仍成立，据此猜想，对一般△ABC，都有c2＝a2＋b2－2abcos
C．
1．在△ABC中，若b＝1，c＝，A＝，则a＝________．
1 [a＝＝1．]
知识点2 余弦定理的变形
(1)余弦定理的变形
cos
A＝，
cos
B＝，
cos
C＝．
(2)余弦定理与勾股定理的关系
在△ABC中，c2＝a2＋b2?C为直角；c2>a2＋b2?C为钝角；c2
2．勾股定理和余弦定理有何联系与区别？
[提示] 二者都反映了三角形三边之间的平方关系；其中余弦定理反映了任意三角形中三边平方间的关系，勾股定理反映了直角三角形中三边平方间的关系，是余弦定理的特例．
2．在△ABC中，a＝3，b＝，c＝2，则B＝________．
60° [∵cos
B＝＝＝，∴B＝60°．]
3．在△ABC中，若b2＋c2－a2<0，则△ABC必为________三角形．
钝角 [∵cos
A＝<0，
∴A∈(90°，180°)．
∴△ABC为钝角三角形．]
知识点3 解三角形
(1)一般地，我们把三角形的三个角和三条边叫作三角形的元素．
(2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形．
4．在△ABC中，若a＝5，c＝4，cos
A＝，则b＝________．
6 [由余弦定理可知
25＝b2＋16－2×4bcos
A，
即b2－b－9＝0，
解得b＝6(舍负)．]
类型1 已知两边与一角解三角形
【例1】 (1)在△ABC中，已知b＝60
cm，c＝60
cm，A＝，则a＝________
cm；
(2)在△ABC中，若AB＝，AC＝5，且cos
C＝，则BC＝________．
(1)60 (2)4或5 [(1)由余弦定理得：
a＝
＝60(cm)．
(2)由余弦定理得：()2＝52＋BC2－2×5×BC×，
所以BC2－9BC＋20＝0，解得BC＝4或BC＝5．]
1．已知两边和夹角求第三边，直接利用余弦定理计算，已知两边和其中一边所对的角，求第三边，利用余弦定理列方程求解．
2．已知三角形的两边及一角解三角形的方法，
先利用余弦定理求出第三边，然后利用余弦定理的推论求出其余角．
[跟进训练]
1．在△ABC中，a＝2，c＝＋，B＝45°，解这个三角形．
[解] 根据余弦定理得，
b2＝a2＋c2－2accos
B＝(2)2＋(＋)2－2×2×(＋)×cos
45°＝8，∴b＝2．
又∵cos
A＝＝＝，
∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°．
类型2 已知三边解三角形
【例2】 在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C．
[解] 根据余弦定理，cos
A＝
＝＝．
∵A∈(0，π)，
∴A＝．
cos
C＝
＝＝，
∵C∈(0，π)，∴C＝．
∴B＝π－A－C＝π－－＝，
∴A＝，B＝，C＝．
1．已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一．
2．若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解．
[跟进训练]
2．已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，求△ABC中各角的度数．
[解] 已知a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，
令a＝2k，b＝k，c＝(＋1)k(k＞0)，
由余弦定理的推论，得cos
A＝
＝＝．
∵0°cos
B＝
＝＝，
∵0°∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°．
∴A＝45°，B＝60°，C＝75°．
类型3 余弦定理的综合应用
【例3】 (对接教材P87例5)在△ABC中，若(a－ccos
B)·b＝(b－ccos
A)·a，判断△ABC的形状．
从余弦定理的变形入手，化角为边，便可以得到a，b，c的关系，进而可判断三角形的形状.
[解] ∵(a－ccos
B)·b＝(b－ccos
A)·a，
∴由余弦定理可得：
·b＝·a，
整理得：(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)a2，
即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，
∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2．
∴a2＋b2＝c2或a＝b．
故△ABC为直角三角形或等腰三角形．
(变条件)将例题中的条件“(a－ccos
B)·b＝(b－ccos
A)·a”换为“acos
A＋bcos
B＝ccos
C”，其它条件不变，试判断三角形的形状．
[解] 由余弦定理知cos
A＝，cos
B＝，cos
C＝，代入已知条件得a·＋b·＋c·＝0，通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，展开整理得(a2－b2)2＝c4．
∴a2－b2＝±c2，
即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2．
根据勾股定理知△ABC是直角三角形．
判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.
[跟进训练]
3．在△ABC中，b＝ccos
A，则△ABC一定为( )
A．等边三角形
B．等腰三角形或直角三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
C [由b＝ccos
A和余弦定理可知b＝c·，即a2＋b2＝c2，
∴△ABC一定是直角三角形，故选C．]
1．在△ABC中，a2＝b2＋c2－bc，则A＝( )
A．
B．
C．
D．
B [∵a2＝b2＋c2－bc，
∴b2＋c2－a2＝bc，
∴2bccos
A＝bc，
∴cos
A＝，
又A∈(0，π)，
∴A＝，故选B．]
2．在△ABC中，若a＝4，b＝5，c＝6，则△ABC是( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．不能确定
A [∵a＝4，b＝5，c＝6，∴a2＋b2－c2＝16＋25－36>0，即最大角的余弦cos
C>0，故△ABC为锐角三角形，故选A．]
3．在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为( )
A．
B．
C．
D．
B [由三角形边角关系可知，角C为△ABC的最小角，则cos
C＝＝＝，所以C＝，故选B．]
4．在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c＝________．
2 [根据余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos
C＝16＋36－2×4×6cos
120°＝76，c＝2．]
5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝C，2b＝a，则cos
A＝________．
[由B＝C，2b＝a，可得b＝c＝a，
所以cos
A＝＝＝．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．用余弦定理可以解决哪几种解三角形的题型？
[提示] (1)已知三边解三角形；
(2)已知两边及一角解三角形．
2．余弦定理常见的变形有哪些？
[提示] 如(1)a2＋b2－c2＝2abcos
C；
(2)a2＝(b＋c)2－2bc－2bccos
A；
(3)cos
A＝．
3．如何利用余弦定理判断三角形的形状？
[提示] (1)若已知三边a，b，c的长，可以利用限制最大角的方式判断，如若a>b>c，则
b2＋c2－a2>0，则△ABC为锐角三角形；
b2＋c2－a2＝0，则△ABC为直角三角形；
b2＋c2－a2<0，则△ABC为钝角三角形．
(2)若已知等量关系，可以借助余弦定理及其变形，化角为边处理．
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-11.2 正弦定理
第1课时 正弦定理(1)
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核
心
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养
1．通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明．(难点)2．能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．(重点)
1．通过对正弦定理的推导及应用正弦定理判断三角形的形状，培养逻辑推理的核心素养．2．借助利用正弦定理求解三角形的边长或角的大小的学习，培养数学运算的核心素养．
如图，在Rt△ABC中，，，各自等于什么？对于斜三角形类似关系成立么？
知识点1 正弦定理
三角形的各边与它所对角的正弦的比相等，即＝＝．
(1)正弦定理的适用范围是什么？
(2)正弦定理的主要功能是什么？
[提示] (1)正弦定理对任意三角形都成立．
(2)正弦定理实现了三角形中边角关系的转化．
1．在△ABC中，下列式子与的值相等的是( )
A．
B．
C．
D．
C [由正弦定理得，＝，所以＝．]
知识点2 应用正弦定理解三角形
应用正弦定理可以解两类三角形：
(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角．
2．在△ABC中，已知A＝30°，B＝60°，a＝10，则b等于( )
A．5
B．10
C．
D．5
B [由正弦定理得，b＝＝＝10．]
类型1 定理证明
【例1】 在钝角△ABC中，∠A为钝角，证明正弦定理．
[证明] 如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，D是BA延长线上一点，
根据正弦函数的定义知：
＝sin∠CAD＝sin(180°－A)＝sin
A，＝sin
B．
∴CD＝bsin
A＝asin
B．
∴＝．
同理，＝．
故＝＝．
用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使理解更深刻，记忆更牢固．
[跟进训练]
1．(对接教材P95T10)已知△ABC的外接圆O的直径长为2R，试借助△ABC的外接圆推导出正弦定理．
[解] 如图，连接BO并延长交圆O于点D，连接CD，则∠BCD＝90°，∠BAC＝∠BDC，在Rt△BCD中，BC＝BD·sin∠BDC，所以a＝2Rsin
A，即＝2R，同理＝2R，＝2R，
所以＝＝＝2R．
类型2 用正弦定理解三角形
【例2】 已知△ABC中，a＝10，A＝30°，C＝45°，求角B，边b，c．
[解] ∵A＝30°，C＝45°，
∴B＝180°－(A＋C)＝105°，
又由正弦定理得：c＝＝10．
b＝＝＝20sin(60°＋45°)＝5(＋)．
∴B＝105°，b＝5(＋)，c＝10．
正弦定理实际上是三个等式：＝，＝，＝，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个．
[跟进训练]
2．已知B＝30°，b＝，c＝2，求A，C，a．
[解] 由正弦定理得：sin
C＝＝＝，
∵c>b，0°∴C＝45°或135°．
当C＝45°时，A＝105°，
a＝＝＝＋1；
当C＝135°时，A＝15°，
a＝＝＝－1．
综上，得A＝105°，C＝45°，a＝＋1或A＝15°，C＝135°，a＝－1．
类型3 三角形形状的判断
【例3】 在△ABC中，若sin
A＝2sin
Bcos
C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．
[解] 法一：(利用角的互余关系)∵sin2A＝sin2B＋sin2C，
根据正弦定理＝＝，
得a2＝b2＋c2，
∴A是直角，B＋C＝90°，
∴2sin
Bcos
C＝2sin
Bcos(90°－B)＝2sin2B＝sin
A＝1，
∴sin
B＝．
∵0°∴△ABC是等腰直角三角形．
法二：(利用角的互补关系)∵sin2A＝sin2B＋sin2C，
根据正弦定理＝＝，
得a2＝b2＋c2，∴A是直角．
∵A＝180°－(B＋C)，sin
A＝2sin
Bcos
C，
∴sin(B＋C)＝sin
Bcos
C＋cos
Bsin
C＝2sin
Bcos
C，
∴sin(B－C)＝0．
又－90°∴B－C＝0，∴B＝C，
∴△ABC是等腰直角三角形．
(变条件)将本例题条件“sin
A＝2sin
Bcos
C，且sin2A＝sin2B＋sin2C”改为“b＝acos
C”，其它条件不变，试判断△ABC的形状．
[解] ∵b＝acos
C，
由正弦定理，得
sin
B＝sin
Acos
C．(
)
∵B＝π－(A＋C)，
∴sin
B＝sin(A＋C)，从而(
)式变为
sin(A＋C)＝sin
Acos
C．
∴cos
Asin
C＝0．
又∵A，C∈(0，π)，
∴cos
A＝0，A＝，即△ABC是直角三角形．
利用正弦定理判断三角形形状的两种途径
(1)利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
提醒：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
[跟进训练]
3．在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos
Bcos
C，试判断△ABC的形状．
[解] 因为b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos
Bcos
C，
所以由正弦定理得
sin2Bsin2C＋sin2Csin2B＝2sin
Bsin
Ccos
Bcos
C，
即sin
Bsin
C＝cos
Bcos
C，cos(B＋C)＝0，
所以B＋C＝90°，所以△ABC为直角三角形．
1．在△ABC中，若sin
A>sin
B，则有( )
A．aB．a≥b
C．a>b
D．a，b的大小无法判定
C [因为＝，
所以＝．
因为在△ABC中，sin
A>sin
B>0，
所以＝>1，
所以a>b．]
2．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，b＝，B＝60°，那么A等于( )
A．135°
B．90°
C．45°
D．30°
C [由＝得sin
A＝＝＝，
∴A＝45°或135°．
又∵a∴A∴A＝45°．]
3．在△ABC中，若acos
C＋ccos
A＝bsin
B，则此三角形为( )
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
C [在△ABC中，由acos
C＋ccos
A＝bsin
B，以及正弦定理可知，sin
A
cos
C＋sin
C
cos
A＝sin2
B，即sin(A＋C)＝sin
B＝sin2
B，∵0B≠0，∴sin
B＝1，B＝，∴三角形为直角三角形，故选C．]
4．在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则sin
A∶sin
B∶sin
C等于( )
A．6∶5∶4
B．7∶5∶3
C．3∶5∶7
D．4∶5∶6
B [∵(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，
∴＝＝．
令＝＝＝k(k>0)，
则解得
∴sin
A∶sin
B∶sin
C＝a∶b∶c＝7∶5∶3．]
5．在△ABC中，若tan
A＝，C＝120°，a＝1，则c＝________．
[∵tan
A＝，A∈(0，π)，
∴sin
A＝，
由正弦定理得＝，
∴c＝×＝．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．正弦定理的表示形式有哪些？
[提示] 正弦定理的表示形式：＝＝＝2R，或a＝2Rsin
A，b＝2Rsin
B，c＝2Rsin
C(R为△ABC外接圆半径)．
2．正弦定理可以解哪几种解三角形题型？
[提示] 正弦定理的应用：①已知两角和任一边，求其他两边和一角．②已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．
3．利用正弦定理判断三角形形状的常用方法有哪些？
[提示] (1)化边为角：将题目中的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．
(2)化角为边：将题目中的条件，利用正弦定理化角为边，再根据代数恒等变换得到边的关系(如a＝b，a2＋b2＝c2等)，进而确定三角形的形状．
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-第2课时 正弦定理(2)
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心
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养
1．熟记并能应用正弦定理的有关变形公式，解决三角形中的问题．(重点)2．能根据条件，判断三角形解的个数．3．能利用正弦定理、三角恒等变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题．(难点)
1．通过三角形个数判断的学习，培养数学运算和逻辑推理的素养．2．借助求解三角形面积及正弦定理的综合应用，提升数学运算素养．
在△ABC中，分别根据所给条件作图，求满足条件的△ABC的个数．
(1)∠A＝60°，b＝4，a＝2，
(2)∠A＝60°，b＝4，a＝3．
问题：∠A＝60°，b＝4，a为何值时，作出的三角形是唯一的？
知识点1 解三角形的类型
(1)已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定．
(2)已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况．
如已知两边a，b和a的对角A，解的情况如下表：
A>
A＝
A<
a>b
一解
一解
一解
a＝b
无解
无解
一解
a无解
无解
a>bsin
A
两解
a＝bsin
A
一解
aA
无解
1．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中无解的是________；有一解的是________；有两解的是________．
①a＝7，b＝3，B＝30°；
②b＝6，c＝5，B＝45°；
③a＝15，b＝10，B＝120°；
④b＝6，c＝6，C＝60°．
①③ ④ ② [对于①，由正弦定理，得sin
A＝sin
B＝sin
30°＝>1，所以此三角形无解；
对于②，由正弦定理，得sin
C＝sin
B＝sin
45°＝<1，且c>b，所以此三角形有两解；
对于③，由正弦定理，得sin
A＝sin
B＝sin
120°＝>1，所以此三角形无解；
对于④，由正弦定理，得sin
B＝sin
C＝sin
60°＝<1，且c>b，所以B知识点2 三角形的面积公式
任意三角形的面积公式为：
(1)S△ABC＝bcsin
A＝acsin
B＝absin
C，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半．
(2)S△ABC＝ah，其中a为△ABC的一边长，而h为该边上的高的长．
(3)S△ABC＝r(a＋b＋c)＝rl，其中r，l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长．
(4)S△ABC＝，其中p为△ABC的半周长，即p＝(a＋b＋c)．该公式称为海伦－秦九韶公式，适用于三角形三边为有理数时，计算三角形的面积比较简便．
2．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a＝4，b＝3，C＝60°，则△ABC的面积为( )
A．3
B．3
C．6
D．6
B [由S＝absin
C＝×4×3×得S＝3，故选B．]
类型1 三角形解的个数的判断
【例1】 已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答．
(1)a＝10，b＝20，A＝80°；
(2)a＝2，b＝6，A＝30°．
[解] (1)a＝10，b＝20，a讨论如下：
∵bsin
A＝20sin
80°>20sin
60°＝10，
∴aA，∴本题无解．
(2)a＝2，b＝6，a∵bsin
A＝6sin
30°＝3，a>bsin
A，
∴bsin
A由正弦定理得sin
B＝＝＝，
又∵B∈(0°，180°)，∴B1＝60°，B2＝120°．
当B1＝60°时，C1＝90°，c1＝＝＝4；
当B2＝120°时，C2＝30°，c2＝＝＝2．
∴B1＝60°时，C1＝90°，c1＝4；B2＝120°时，C2＝30°，c2＝2．
已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值，或者根据该正弦值?不等于1时?在0°～180°范围内求角，一个锐角，一个钝角，只要不与三角形内角和定理矛盾，就是所求.
[跟进训练]
1．△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°．若该三角形有两解，则x的取值范围是________．
(2，2) [由asin
B类型2 三角形的面积
【例2】 在△ABC中，若a＝2，C＝，cos
＝，求△ABC的面积S．
[解] ∵cos
＝，∴cos
B＝2cos2
－1＝．
∴B∈，∴sin
B＝．
∵C＝，∴sin
A＝sin
(B＋C)
＝sin
Bcos
C＋cos
Bsin
C＝．
∵＝，
∴c＝＝×＝．
∴S＝acsin
B＝×2××＝．
已知三角形的两边和夹角可求三角形的面积，三角形的面积公式为S＝absin
C＝acsin
B＝bcsin
A．
[跟进训练]
2．(1)在△ABC中，若a＝3，cos
C＝，S△ABC＝4，则b＝________．
(2)在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积等于________．
(1)2 (2)或 [(1)∵cos
C＝，
∴C∈(0°，90°)，
∴sin
C＝＝，
又S△ABC＝absin
C＝×3×b×＝4，
∴b＝2．
(2)由正弦定理得sin
C＝＝＝，
又∵C∈(0°，180°)，
∴C＝60°或120°，
∴A＝90°或30°，
∴S△ABC＝AB·AC·sin
A＝或．]
类型3 正弦定理的综合应用
【例3】 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，m＝(sin
A，sin
B)，n＝(cos
B，cos
A)，m·n＝－sin
2C．
(1)求C的大小；
(2)若c＝2，A＝，求△ABC的面积．
?1?由m·n＝－sin
2C，利用三角恒等变换求出C的大小；
?2?由正弦定理可得b的大小，利用三角形的面积公式求解.
[解] (1)由题意知，m·n＝sin
Acos
B＋sin
Bcos
A＝－sin
2C，
即sin(A＋B)＝－sin
2C，sin
C＝－2sin
Ccos
C．
由0C>0．
所以cos
C＝－，C＝．
(2)由C＝，A＝，得B＝π－A－C＝．
由正弦定理，＝，
即＝，解得b＝2．
所以△ABC的面积S＝bcsin
A＝×2×2×sin
＝．
(变条件，变结论)将例题中的条件“m＝(sin
A，sin
B)，n＝(cos
B，cos
A)，m·n＝－sin
2C”换为“若a＋c＝2b，2cos
2B－8cos
B＋5＝0”，求角B的大小并判断△ABC的形状．
[解] ∵2cos
2B－8cos
B＋5＝0，
∴2(2cos2B－1)－8cos
B＋5＝0．
∴4cos2B－8cos
B＋3＝0，
即(2cos
B－1)(2cos
B－3)＝0．
解得cos
B＝或cos
B＝(舍去)．
∵0∵a＋c＝2b．
由正弦定理，
得sin
A＋sin
C＝2sin
B＝2sin
＝．
∴sin
A＋sin＝，
∴sin
A＋sin
cos
A－cos
sin
A＝．
化简得sin
A＋cos
A＝，
∴sin＝1．
∵0∴A＋＝．∴A＝，C＝．
∴△ABC是等边三角形．
借助正弦定理可以实现三角形中边角关系的互化，转化为角的关系后，常利用三角变换公式进行变形、化简，确定角的大小或关系，继而判断三角形的形状、证明三角恒等式.
[跟进训练]
3．在△ABC中，已知c＝10，＝＝，求a，b及△ABC的内切圆半径．
[解] 由正弦定理知＝，∴＝．
即sin
Acos
A＝sin
Bcos
B，
∴sin
2A＝sin
2B．
又∵a≠b且A，B∈(0，π)，
∴2A＝π－2B，即A＋B＝．
∴△ABC是直角三角形且C＝，
由
得a＝6，b＝8．
∴内切圆的半径为r＝＝＝2．
1．在△ABC中，sin
A＝sin
C，则△ABC是( )
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．锐角三角形
D．钝角三角形
B [由正弦定理可得sin
A＝sin
C?＝，即a＝c，所以△ABC为等腰三角形．]
2．在△ABC中，A＝30°，a＝3，b＝2，则这个三角形有( )
A．一解
B．两解
C．无解
D．无法确定
A [由b3．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a＝1，b＝，B＝60°，则△ABC的面积为( )
A．
B．
C．1
D．
B [∵a＝1，b＝，B＝60°，
∴由正弦定理可得：sin
A＝＝＝，
∵a＜b，A＜60°，∴A＝30°，C＝180°－A－B＝90°，
∴S△ABC＝ab＝×1×＝．故选B．]
4．在△ABC中，A＝，a＝c，则＝________．
1 [由＝得sin
C＝＝×＝，
又0所以C＝，B＝π－(A＋C)＝．
所以＝＝＝1．]
5．在△ABC中，若b＝5，B＝，tan
A＝2，则sin
A＝________，a＝________．
2 [由tan
A＝2，得sin
A＝2cos
A，
由sin2A＋cos2A＝1，得sin
A＝，
∵b＝5，B＝，
由正弦定理＝，
得a＝＝＝2．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．正弦定理的常见变形有哪些？
[提示] 正弦定理的常见变形：
①sin
A∶sin
B∶sin
C＝a∶b∶c；
②＝＝＝＝2R；
③a＝2Rsin
A，b＝2Rsin
B，c＝2Rsin
C；
④sin
A＝，sin
B＝，sin
C＝．
2．正弦定理及其变形体现了怎样的数学思想？
[提示] 正弦定理及其变形体现了转化化归的数学思想．具体如下：
利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化，一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决．
3．已知三角形的任意两边及一边的对角，如何判断其解的情况？
[提示] 判断方法常有两种：
法一：如下表，过点C作AB的垂线，根据边a与AB边上的高的大小关系来判断解的个数．
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsinA，或a≥b
bsin
AaA
a>b
a≤b
解的个数
一解
两解
无解
一解
无解
法二：由正弦定理＝?sin
B＝，若sin
B>1，则无解；若sin
B＝1，则一个解；若0B<1，则由三角形“大边对大角”来确定角B的范围，从而判断解的情况．
秦九韶的“三斜求积术”
你听说过“三斜求积术”吗？这是我国宋代的数学家秦九韶用实例的形式提出的，其实质是根据三角形的三边长a，b，c求三角形面积S，即
S＝．
“三斜求积术”中的“三斜”指三角形的三条边，而且三条边从小到大分别称为“小斜”“中斜”“大斜”．秦九韶是用语言叙述的相关公式，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．
事实上，利用余弦定理等内容，也可推导出“三斜求积术”，过程如下：
S2＝c2a2sin2B＝(c2a2－c2a2cos2B)，
又因为cacos
B＝，
所以
S2＝，
从而可知
S＝．
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10
-11.3 余弦定理、正弦定理的应用
学
习
任
务
核
心
素
养
1．能将实际问题转化为解三角形问题．(难点)2．能够用正、余弦定理求解与距离、高度有关的实际应用问题．(重点)
通过利用正、余弦定理求解实际问题中的距离、高度，培养直观想象及数学建模素养．
天文观测，航海和地理测量是人类认识自然的重要方面，解三角形的理论在其中发挥了重要作用．许多实际问题都可以转化为求三角形的边或角的问题．那么，如何利用这些关系解决实际问题？
知识点 测量中的有关角的概念
1．仰角和俯角：与视线在同一铅垂面内的水平线和视线的夹角．视线在水平线上方叫仰角，视线在水平线下方时叫俯角．如图(1)．
图(1)
2．方位角：从指北方向线顺时针转到目标方向线所成的水平角，如图(2)，方向线PA，PB的位角分别为40°，240°．
图(2) 图(3)
3．方向角：指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的角，叫方向角，它是方位角的另一种表示形式．如图(3)，方向线OA，OB的方向角分别为北偏东60°，南偏西30°．
类型1 正、余弦定理在物理学中的应用
【例1】 如图，墙上有一个三角形灯架OAB，灯所受的重力为10
N，且OA，OB都是细杆，只受沿杆方向的力．试求杆OA，OB所受的力(结果精确到0.1)．
[解] 如图，作＝F，将F沿A到O，O到B两个方向进行分解，即作?OCED，则＝＝F1，＝F2．由题设条件可知，||＝10，∠OCE＝50°，∠OEC＝70°，所以∠COE＝180°－50°－70°＝60°．
在△OCE中，由正弦定理，
得＝，
＝，
因此，|F1|＝≈11.3
N，
|F2|＝≈12.3
N．
即灯杆OA所受的力为11.3
N，灯杆OB所受的力为12.3
N．
在运用正弦定理、余弦定理解决力的合成与分解问题时，通常涉及平行四边形，根据题意，选择一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解.
[跟进训练]
1．作用于同一点的三个力F1，F2，F3平衡．已知F1＝30
N，F2＝50
N，F1与F2之间的夹角是60°，求F3的大小与方向(精确到0.1°)．
[解] F3应和F1，F2的合力F平衡，所以F3和F在同一直线上，并且大小相等，方向相反．如图，在△OF1F中，由余弦定理，得
F＝＝70(N)，
再由正弦定理，得
sin∠F1OF＝＝，
所以∠F1OF≈38.2°，
从而∠F1OF3≈141.8°．
即F3为70
N，F3和F1间的夹角为141.8°．
类型2 正、余弦定理在几何中的应用
【例2】 如图，在△ABC中，B＝，AC＝2，cos
C＝．
(1)求sin∠BAC的值；
(2)设BC的中点为D，求中线AD的长．
[解] (1)因为cos
C＝，且C是三角形的内角，
所以sin
C＝＝＝．
所以sin∠BAC＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)
＝sin
Bcos
C＋cos
Bsin
C
＝×＋×＝．
(2)在△ABC中，由正弦定理得，
＝，则
BC＝×sin∠BAC＝×＝6，
所以CD＝BC＝3．
又在△ADC中，AC＝2，cos
C＝，
所以由余弦定理得，
AD＝
＝＝．
三角形中几何计算问题的解题思路
(1)正确挖掘图形中的几何条件，简化运算是解题要点，善于应用正弦定理、余弦定理，只需通过解三角形，一般问题便能很快解决．
(2)此类问题突破的关键是仔细观察，发现图形中较隐蔽的几何条件．
[跟进训练]
2．如图所示，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，BD交AC于E，AB＝2．
(1)求cos∠CBE的值；
(2)求AE．
[解] (1)因为∠BCD＝90°＋60°＝150°，CB＝AC＝CD，所以∠CBE＝15°．
所以cos∠CBE＝cos(45°－30°)＝．
(2)在△ABE中，AB＝2，
由已知和(1)知∠ABE＝∠ABC－∠CBE＝45°－15°＝30°，
∠AEB＝∠ACB＋∠EBC＝90°＋15°＝105°，
由正弦定理，得＝，
∴AE＝＝＝－．
类型3 正、余弦定理在测量学中的应用
测量距离问题
【例3】 某基地进行实兵对抗演习，红方为了准确分析战场形势，从相距a(km)的军事基地C和D处测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队间的距离．
[解] 法一：∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝60°．
∵∠ACD＝60°，
∴∠DAC＝60°，
∴AD＝CD＝a(km)．
在△BCD中，∠DBC＝180°－30°－105°＝45°，
由正弦定理得＝，
得BD＝CD·＝a·＝a(km)．
在△ADB中，由余弦定理得
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB
＝a2＋－2×a×a×＝a2，
∴AB＝a(km)．
故蓝方这两支精锐部队间的距离为a(km)．
法二：在△BCD中，∠CBD＝180°－30°－105°＝45°，
由正弦定理得＝，
则BC＝＝a(km)，
在△ACD中，∠CAD＝180°－60°－60°＝60°，
所以△ACD为等边三角形．
因为∠ADB＝∠BDC，所以BD为AC的垂直平分线，
所以AB＝BC＝a(km)．
故蓝方这两支精锐部队间的距离为a(km)．
测量高度问题
【例4】 济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征．小明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端的仰角为60°，他又沿着泉标底部方向前进15.2
m，到达B点，又测得泉标顶端的仰角为80°．你能帮小明同学求出泉标的高度吗？
(精确至1
m)
[解] 如图所示，点C，D分别为泉标的底部和顶端．
依题意，得∠BAD＝60°，∠CBD＝80°，AB＝15.2
m，
则∠ABD＝100°，故∠ADB＝180°－(60°＋100°)＝20°．
在△ABD中，根据正弦定理，得＝，
∴BD＝＝≈38.5
m．
在Rt△BCD中，CD＝BDsin
80°≈38.5sin
80°≈38
m．
即泉城广场上泉标的高约为38
m．
1．解决测量高度问题的一般步骤
(1)画图：根据已知条件画出示意图；
(2)分析三角形：分析与问题有关的三角形；
(3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解．在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识，注意方程思想的运用．
2．测量距离问题分为三种类型：两点间不可通又不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达．解决此问题的方法是，选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．
提醒：解题时要注意题目条件和实际意义中的隐含信息，避免出现增解或漏解．
[跟进训练]
3．如图所示，A，B是水平面上的两个点，相距800
m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，∠ABD＝45°，其中D是点C到水平面的垂足，求山高CD．
[解] 因为CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD，
因此只需在△ABD中求出AD即可．
在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，
由正弦定理得＝，
所以AD＝＝＝800(＋1)(m)．
即山的高度CD为800(＋1)
m．
4．如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里每小时，该救援船到达D点至少需要几小时？
[解] 由题意知AB＝5(3＋)，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝45°，所以∠ADB＝105°，
所以sin
105°＝sin
45°cos
60°＋sin
60°cos
45°＝×＋×＝，
在△ABD中，由正弦定理得＝，
所以BD＝＝＝＝10，
又∠DBC＝180°－60°－60°＝60°，BC＝20，
在△DBC中，由余弦定理得
CD2＝BD2＋BC2－2×BD×BCcos
60°
＝300＋1
200－2×10×20×＝900，
所以CD＝30(海里)，则至少需要的时间t＝＝1(小时)．
即该救援船到达D点至少需要1小时．
1．若点A在点C的北偏东60°方向上，点B在点C的南偏东30°方向上，且AC＝BC，则点A在点B的( )
A．北偏东15°方向上
B．北偏西15°方向上
C．北偏东10°方向上
D．北偏西10°方向上
A [由题意，可得几何位置关系如图所示．
则∠CBE＝30°，∠ABC＝45°，所以∠ABE＝15°，故点A在点B的北偏东15°方向上．故选A．]
2．如图，在限速为90
km/h的公路AB旁有一测速站P，已知点P距测速区起点A的距离为0.08
km，距测速区终点B的距离为0.05
km，且∠APB＝60°，现测得某辆汽车从A点行驶到B点所用的时间为3
s，则此车的速度介于( )
A．60～70
km/h
B．70～80
km/h
C．80～90
km/h
D．90～100
km/h
C [由余弦定理得
AB＝＝0.07
km，则此车的速度为×3
600＝7×12＝84
km/h．故选C．]
3．身高相同的甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20
m高的旗杆，甲观测的仰角为50°，乙观测的仰角为40°，用d1，d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离，那么有( )
A．d1>d2
B．d1C．d1>20
m
D．d2<20
m
B [如图，设旗杆高为h，
则d1＝，d2＝．
因为tan
50°>tan
40°，
所以d1又因为h＝20
m，tan
45°＝1，
所以d1<20
m，d2>20
m，故选C．]
4．一艘船以4
km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2
km/h，则经过
h，该船实际航程为________
km．
6 [v实＝＝2(km/h)．所以实际航程为2×＝6(km)．]
5．某市在“旧城改造”工程中，计划在如图所示的一块三角形空地上种植草皮以美化环境．已知这种草皮价格为a元/m2，则购买这种草皮需要________元．
150a [∵S△＝×20×30×sin
150°＝×20×30×＝150(m2)，
∴购买这种草皮需要150a元．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．如图，A，B两点在河的对岸，且不可到达，如何测量其两点间的距离？
[提示] 在河岸这边选取点C，D，测得CD＝a，∠ACD＝α，∠BCD＝β，∠BDC＝γ，∠ADC＝δ，则在△ACD和△BCD中应用正弦定理可求AC，BC的长，进而在△ACB中应用余弦定理求AB．
2．如图，如何测量山顶塔AB的高？(测量者的身高忽略不记)
[提示] 测量者在山下先选择一基点P，测出此时山顶的仰角α，前进a米后，再测出此时山顶的仰角β，则借助直角三角形的边角关系可求塔顶距地面的高h，进而利用AB＝h－H求解．
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11
-第11章
解三角形
类型1 利用正、余弦定理解三角形
解三角形就是已知三角形中的三个独立元素(至少一条边)求出其他元素的过程，解三角形的一般方法如下：
(1)已知两角和一边，如已知A，B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a，b．
(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a，b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π，求另一角．
(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况．
(4)已知三边a，b，c，可应用余弦定理求A，B，C．
【例1】 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b＋c＝2acos
B．
(1)证明：A＝2B；
(2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小．
[解] (1)证明：由正弦定理得sin
B＋sin
C＝2sin
Acos
B，故2sin
Acos
B＝sin
B＋sin(A＋B)＝sin
B＋sin
Acos
B＋cos
Asin
B，于是sin
B＝sin(A－B)．
又A，B∈(0，π)，故0所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B．
(2)由S＝，得absin
C＝，根据正弦定理及(1)所求A＝2B，
故有sin
Bsin
C＝sin
2B＝sin
Bcos
B，
因为sin
B≠0，所以sin
C＝cos
B，
又B，C∈(0，π)，所以C＝±B．
当B＋C＝时，A＝；
当C－B＝时，A＝．
综上，A＝或A＝．
[跟进训练]
1．在锐角△ABC中，设角A,
B,
C所对的边长分别为a,
b,
c，且bsin
A＝a．
(1)求B的大小；
(2)若AB＝2，BC＝，点D在边AC上，________，求BD的长．
请在①AD＝DC;
②∠DBC＝∠DBA;
③BD⊥AC这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答．
[解] (1)在△ABC中，由正弦定理＝，及bsin
A＝a得，sin
Bsin
A＝sin
A．
因为△ABC为锐角三角形，所以A∈，所以sin
A>0．
所以sin
B＝．
又因为B∈，所以B＝．
(2)若选①．在△ABC中，由余弦定理，得
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos
B＝22＋－2×2××cos
＝，
所以AC＝，所以AD＝DC＝．
在△ABD中，由余弦定理，得AB2＝BD2＋DA2－2BD·DA·cos∠ADB，
即4＝BD2＋－BDcos∠ADB，
在△BDC中，由余弦定理，得BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠CDB，
即＝BD2＋－BDcos∠CDB．
又∠ADB＋∠CDB＝π，所以cos∠ADB＋cos∠CDB＝0．
所以4＋＝2BD2＋，所以BD＝．
若选②．
在△ABC中，S△ABC＝S△ABD＋S△CBD，
即BA·BCsin
＝BA·BDsin
＋BD·BCsin
，
即×2××＝×2×BD×＋×BD××，解得BD＝．
若选③．在△ABC中，由余弦定理，得
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos
B＝22＋－2×2××cos
＝，
所以AC＝．
因为S△ABC＝BA·BC·sin
B＝，
又S△ABC＝BD·AC＝BD，
所以BD＝，
解得BD＝．
类型2 判断三角形的形状
判断三角形的形状，一般有以下两种途径：将已知条件统一化成边的关系，用代数方法求解；将已知条件统一化成角的关系，用三角知识求解．
【例2】 在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．
[解] 法一：(正弦定理边化角)由正弦定理，
得2sin
B＝sin
A＋sin
C．
∵B＝60°，∴A＋C＝120°．
∴2sin
60°＝sin(120°－C)＋sin
C．
展开整理得sin
C＋cos
C＝1．
∴sin(C＋30°)＝1．
∵0°∴C＋30°＝90°．
∴C＝60°，则A＝60°．
∴△ABC为等边三角形．
法二：(余弦定理法)由余弦定理，得
b2＝a2＋c2－2accos
B．
∵B＝60°，b＝，
∴＝a2＋c2－2accos
60°，
化简得(a－c)2＝0．
∴a＝c．
又B＝60°，
∴a＝b＝c．
∴△ABC为等边三角形．
[跟进训练]
2．在△ABC中，若＝，试判断△ABC的形状．
[解] 由已知＝＝＝，
得＝．
法一：(利用正弦定理，将边化角)
由正弦定理得＝，∴＝，
即sin
Ccos
C＝sin
Bcos
B，
即sin
2C＝sin
2B．
∵B，C均为△ABC的内角，
∴2C＝2B或2C＋2B＝180°．
即B＝C或B＋C＝90°．
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
法二：(利用余弦定理，将角化边)
∵＝，
∴由余弦定理得＝，
即(a2＋b2－c2)c2＝b2(a2＋c2－b2)．
∴a2c2－c4＝a2b2－b4，
即a2b2－a2c2＋c4－b4＝0．
∴a2(b2－c2)＋(c2－b2)(c2＋b2)＝0，
即(b2－c2)(a2－b2－c2)＝0．
∴b2＝c2或a2－b2－c2＝0，
即b＝c或a2＝b2＋c2．
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
类型3 正、余弦定理的实际应用
正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用．常用的有测量距离问题，测量高度问题，测量角度问题等．解决的基本思路是画出正确的示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，用哪个定理求解，并进行作答，解题时还要注意近似计算的要求．
【例3】 如图所示，某市郊外景区内有一条笔直的公路a经过三个景点A，B，C．景区管委会开发了风景优美的景点D．经测量景点D位于景点A的北偏东30°方向上8
km处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向上．已知AB＝5
km．
(1)景区管委会准备由景点D向景点B修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；
(2)求景点C与景点D之间的距离．(结果精确到0.1
km)
(参考数据：≈1.73，sin
75°≈0.97，cos
75°≈0.26，tan
75°≈3.73，sin
53°≈0.80，cos
53°≈0.60，tan
53°≈1.33，sin
38°≈0.62，cos
38°≈0.79，tan
38°≈0.78)
[解] (1)设BD＝x
km，则在△ABD中，由余弦定理得52＝82＋x2－2×8xcos
30°，即x2－8x＋39＝0，解得x＝4±3．因为4＋3>8，应舍去，所以x＝4－3≈3.9，即这条公路的长约为3.9
km．
(2)在△ABD中，由正弦定理得＝，所以sin∠ABD＝sin∠CBD＝·sin∠ADB＝＝0.8，所以cos∠CBD＝0.6．在△CBD中，sin∠DCB＝sin(∠CBD＋∠BDC)＝sin(∠CBD＋75°)＝0.8×0.26＋0.6×0.97＝0.79，由正弦定理得CD＝sin∠DBC×≈3.9．故景点C与景点D之间的距离约为3.9
km．
[跟进训练]
3．如图，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20
km和54
km处．某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波信号，8
s后监测点A,20
s后监测点C相继收到这一信号，在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5
km/s．
(1)设A到P的距离为x
km，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；
(2)求静止目标P到海防警戒线a的距离(精确到0.01
km)．
[解] (1)由题意得PA－PB＝1.5×8＝12(km)，
PC－PB＝1.5×20＝30(km)．
∴PB＝x－12，PC＝18＋x．
在△PAB中，AB＝20
km，
cos∠PAB＝＝＝．
同理cos∠PAC＝．
∵cos∠PAB＝cos∠PAC，
∴＝，
解得x＝．
(2)作PD⊥a于D，在Rt△PDA中，PD＝PAcos∠APD＝PAcos∠PAB＝x·＝≈17.71(km)．
所以静止目标P到海防警戒线a的距离为17.71
km．
类型4 与三角形有关的综合问题
三角形中的问题常与向量、函数、方程及平面几何相结合，通常可以利用正、余弦定理完成证明、求值等问题．
(1)解三角形与向量的交汇问题，可以结合向量的平行、垂直、夹角、模等知识转化求解．
(2)解三角形与其他知识的交汇问题，可以运用三角形的基础知识、正弦、余弦定理、三角形面积公式与三角恒等变换，通过等价转化或构造方程及函数求解．
【例4】 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c，已知·＝2，cos
B＝，b＝3．求：
(1)a和c的值；
(2)cos(B－C)的值．
[解] (1)由·＝2得cacos
B＝2．
又cos
B＝，所以ac＝6．
由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accos
B．
又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×6×＝13．
所以解得或
因为a＞c，所以a＝3，c＝2．
(2)在△ABC中，
sin
B＝＝eq
\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))))＝，
由正弦定理，得sin
C＝sin
B＝×＝．
因为a＞c，所以C为锐角，
因此cos
C＝＝eq
\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(2),9))))＝．
于是cos(B－C)＝cos
Bcos
C＋sin
Bsin
C
＝×＋×＝．
[跟进训练]
4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知m＝(a，c－2b)，n＝(cos
C，cos
A)，且m⊥n．
(1)求角A的大小；
(2)若＝2，求△ABC面积的最大值．
[解] (1)由m⊥n得a·cos
C＋(c－2b)·cos
A＝0，
则sin
Acos
C＋(sin
C－2sin
B)cos
A＝0，
得sin(A＋C)－2sin
Bcos
A＝0，
即sin
B－2sin
Bcos
A＝0．
由于sin
B≠0，得cos
A＝．
又A为△ABC的内角，因此A＝60°．
(2)将＝2两边平方，得4＝c2＋－≥2·c·－＝，
所以bc≤12，当且仅当b＝6，c＝2时取等号．
此时S△ABC＝bcsin
A＝bc，其最大值为3．
1．(2020·新高考全国卷Ⅰ)在①ac＝，②csinA＝3，③c＝b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin
A＝sin
B，C＝，________？
[解] 方案一：选条件①．
由C＝和余弦定理得＝．
由sin
A＝sin
B及正弦定理得a＝b．
于是＝，由此可得b＝c．
由①ac＝，解得a＝，b＝c＝1．
因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c＝1．
方案二：选条件②．
由C＝和余弦定理得＝．
由sin
A＝sin
B及正弦定理得a＝b．
于是＝，由此可得b＝c，B＝C＝，A＝．
由②csin
A＝3，所以c＝b＝2，a＝6．
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2．
方案三：选条件③．
由C＝和余弦定理得＝．
由sin
A＝sin
B及正弦定理得a＝b．
于是＝，由此可得b＝c．
由③c＝b，与b＝c矛盾．
因此，选条件③时问题中的三角形不存在．
2．(2020·江苏高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a＝3，c＝，B＝45°．
(1)求sin
C的值；
(2)在边BC上取一点D，使得cos∠ADC＝－，求tan
∠DAC的值．
[解] (1)因为a＝3，c＝，B＝45°．
由余弦定理可得：
b＝＝＝，
由正弦定理可得＝，
所以sin
C＝·sin
45°＝×＝，
所以sin
C＝．
(2)因为cos∠ADC＝－，
所以sin∠ADC＝＝，
在三角形ADC中，易知C为锐角，
由(1)可得cos
C＝＝，
所以在三角形ADC中，
sin∠DAC＝sin(∠ADC＋∠C)＝sin∠ADCcos∠C＋cos∠ADCsin∠C＝，
因为∠DAC∈，
所以cos∠DAC＝＝，
所以tan∠DAC＝＝．
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