13.1 基本立体图形
13.1.1 棱柱、棱锥和棱台
学
习
任
务
核
心
素
养
1．通过观察实例，概括出棱柱、棱锥、棱台的定义．(重点)2．掌握棱柱、棱锥、棱台的结构特点及相关概念．(易错、易混点)3．能运用这些结构特点描述现实生活中简单物体的结构．(难点)
1．通过观察棱柱、棱锥、棱台的生成过程，抽象出对应的定义，进一步提升数学抽象素养．2．借助于具体空间图形来解决问题，提升直观想象的数学素养．
1．我们生活中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？
2．观察下列几何体，它们有什么共同特点？
3．上述几何体分别由怎样的平面图形，按什么方向平移而得？
知识点1 棱柱的相关概念及特点
(1)棱柱的相关概念
一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间图形叫作棱柱．平移起止位置的两个面叫作棱柱的底面，多边形的边平移所形成的面叫作棱柱的侧面，相邻侧面的公共边叫作侧棱．
(2)棱柱的特点
棱柱的两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形．
1．如图所示的几何体中，为棱柱的是________．(填写所有正确的序号)
① ② ③
④ ⑤
③⑤ [棱柱有三个特征：(1)有两个面相互平行；(2)其余各面是平行四边形；(3)侧棱相互平行．故答案是③⑤．]
知识点2 棱锥的概念及特点
(1)棱锥的相关概念
当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的空间图形叫作棱锥．
顶点：由棱柱的一个底面收缩而成的点；
侧棱：相邻侧面的公共边；
底面：棱柱的未收缩为一个点的底面；
(2)棱锥的特点
棱锥的底面是多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．
2．如图所示的几何体中，为棱锥的是( )
① ②
③
④
A．①③
B．①③④
C．①②④
D．①②
C [棱锥的特征是有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形．根据棱锥的结构特征可以判断，①②④是棱锥；③侧棱没有交于一点，不是棱锥．故选C．]
知识点3 棱台的概念及特点
(1)棱台的相关概念
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分称之为棱台．
侧棱：相邻侧面的公共边．
(2)棱台的特点
棱台的两个底面是相似的多边形，侧面都是梯形，侧棱延长后都相交于一点．
3．如图所示的几何体中，为棱台的是( )
A B C D
C [棱台的特征是两底面互相平行且相似，侧棱延长后相交于一点．A、D的侧棱延长线不交于一点，所以不是棱台；B中两个底面不平行，不是棱台；只有C符合棱台的特征，故选C．]
知识点4 多面体的概念
棱柱、棱锥和棱台都是由一些平面多边形围成的空间图形．由若干个平面多边形围成的空间图形叫作多面体．
多面体有几个面就称为几面体，如三棱锥是四面体．
4．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)棱柱的侧面是平行四边形．
( )
(2)棱台的侧棱延长后不一定交于一点．
( )
(3)棱台的侧面是梯形．
( )
(4)面数最少的多面体是四面体．
( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√
类型1 棱柱、棱锥和棱台的概念
【例1】 (1)下列命题中，正确的是________．
①五棱柱中五条侧棱长度相同；
②三棱柱中底面三条边长度都相同；
③三棱锥的四个面可以都是钝角三角形；
④棱台的上底面的面积与下底面的面积之比一定小于1．
(2)下列说法正确的是________．
①棱锥的侧面不一定是三角形；②棱锥的各侧棱长一定相等；③棱台的各侧棱的延长线交于一点．
(3)下列三个命题，其中不正确的是________．
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；
②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．
(1)①③④ (2)③ (3)①②③ [(1)由棱柱的特点知命题①正确；三棱柱的底面不一定为等边三角形，所以命题②不正确；如图所示，取以点O为端点的三条线段OA，OB，OC，使得∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝100°，且OA＝OB＝OC，这时△AOB，△BOC，△COA都是钝角三角形，只有△ABC为等边三角形，可让点C沿OC无限靠近点O，则∠ACB就可趋近于100°，所以每个面都可以是钝角三角形，故命题③正确；由棱台的定义知，棱台是由棱锥截得的，截面是棱台的上底面，故上底面的面积一定小于下底面的面积，所以命题④正确．
综上所述，可知①③④正确．
(2)棱锥的侧面是有公共顶点的三角形，但是各侧棱不一定相等，故①②不正确；棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到的，故各个侧棱的延长线一定交于一点，③正确．
(3)必须用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分才是棱台，故①不正确；两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体并不能说明各条侧棱是否交于一点，故不能判定②正确；有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体不一定是棱台，③不正确．]
对于判定关于棱柱、棱锥、棱台的命题真假的问题，求解的关键是抓住棱柱、棱锥、棱台的概念与特征.除此之外，还可以利用举例或找反例的方法来判断.
[跟进训练]
1．给出下列命题，其中真命题是________．
①棱柱的侧面不可能是三角形；
②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点；
③多面体至少有4个面；
④将一个正方形沿不同方向平移得到的空间图形都是正方体．
①②③ [①②均为真命题；对于③，一个图形要成为空间图形，则它至少需有4个顶点，3个顶点只能构成平面图形，当有4个顶点时，可围成4个面，所以一个多面体至少应有4个面，而且这样的面必是三角形，故③也是真命题；对于④，当正方形沿与其所在平面垂直的方向平移，且平移的长度恰好等于正方形的边长时，得到的空间图形才是正方体，故④不正确．故填①②③．]
类型2 简单多面体的结构特点及截面
【例2】 如图，四边形AA1B1B为边长为3的正方形，CC1＝2，CC1∥AA1，CC1∥BB1，请你判断这个空间图形是棱柱吗？若是棱柱，指出是几棱柱．若不是棱柱，请你试用一个平面截去一部分，使剩余部分是一个侧棱长为2的三棱柱，并指出截去的空间图形的特征，在立体图中画出截面．
[解] (1)因为这个空间图形的所有面中没有两个互相平行的面，所以这个空间图形不是棱柱．
(2)在四边形ABB1A1中，在AA1上取E点，使AE＝2；
在BB1上取F点，使BF＝2；
连接C1E，EF，C1F，
则过C1，E，F的截面将空间图形分成两部分，其中一部分是三棱柱ABC?EFC1，其侧棱长为2；
截去部分是一个四棱锥C1?EA1B1F．
认识一个空间图形，需要看它的结构特征，并且要结合它各面的具体形状，棱与棱之间的关系，分析它是由哪些空间图形组成的组合体，并能用平面分割开.
[跟进训练]
2．如图所示，已知长方体ABCD?A1B1C1D1．
(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
(2)用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的空间图形是棱柱吗？如果是，是几棱柱？并指出底面．如果不是，请说明理由．
[解] (1)是棱柱，并且是四棱柱．因为它可以看成由四边形ADD1A1沿AB方向平移至四边形BCC1B1形成的空间图形，符合棱柱的定义．
(2)截面BCFE右边的部分是三棱柱BEB1?CFC1，其中△BEB1与△CFC1是底面．截面BCFE左边的部分是四棱柱ABEA1?DCFD1，其中四边形ABEA1和四边形DCFD1是底面．
类型3 多面体及多面体的表面展开
【例3】 画出如图所示的空间图形的表面展开图．
(1) (2)
结合图形，以多面体的棱为切入点，剪开，想象，得空间图形的表面展开图.
[解] 表面展开图如图所示．
(1)
(2)
多面体表面展开图问题的解题策略
(1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图．
(2)已知展开图：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．同一个空间图形的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图．
[跟进训练]
3．给出如图所示的正三角形纸片，要求剪拼成一个正三棱柱模型，使它的表面积与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标在图中，并写出简要说明．
[解] 如图，在正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，
其较长的一组邻边长为三角形边长的，有一组对角为直角，余下的部分沿虚线折起，可成为一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好可以拼成这个正三棱柱的上底．
1．下列四个命题中正确的是( )
A．棱柱的底面一定是平行四边形
B．棱锥的底面一定是三角形
C．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥
D．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱
D [A中棱柱的底面可以是任何平面多边形，B中棱锥的底面可以是任何平面多边形，C中棱锥被经过顶点和底面的平面分成的两部分都是棱锥，D中棱柱被平行于底面的平面分成两个棱柱．]
2．关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是( )
A．棱柱的侧棱长都相等
B．四棱锥有五个顶点
C．三棱台的上、下底面是相似三角形
D．有的棱台的侧棱长都相等
B [由棱锥顶点的定义可知，四棱锥仅有一个顶点．故选B．]
3．如图所示的空间图形中，________是棱柱，________是棱锥，________是棱台．
①③④ ⑥ ⑤ [由棱柱、棱锥和棱台的定义知，①③④符合棱柱的定义，⑥符合棱锥的定义，②是一个三棱柱被截去了一段，⑤符合棱台的定义．故①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台．]
4．下列叙述是棱台性质的是________．
①两底面相似；
②侧面都是梯形；
③侧棱都平行；
④侧棱延长后交于一点．
[答案] ①②④
5．如图所示，不是正四面体的展开图的是________．
① ② ③ ④
③④ [可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折成正四面体，③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．观察下面四个空间图形，这些空间图形都是多面体吗？怎样定义多面体？
(1)
(2) (3) (4)
[提示] 这四个空间图形都是多面体，多面体是由若干个平面多边形围成的空间图形．
2．棱柱有哪些结构特征？
[提示] 棱柱的结构特征：
①有两个面互相平行；
②其余各面都是四边形，且相邻两个四边形的公共边都互相平行．
3．棱柱、棱台、棱锥之间有什么关系？
[提示]
正方体的截面形状的探究
①截面可以是三角形：一般三角形、等腰三角形、等边三角形．
②截面一定是锐角三角形，不可能是直角三角形、钝角三角形．
③截面可以是四边形：等腰梯形、平行四边形、矩形、正方形等．截面为四边形时，至少有一组对边平行．
④截面不能是直角梯形．
⑤截面可以是五边形，截面为五边形时必有两组分别平行的边，同时有两个角相等，截面五边形不可能是正五边形．
⑥截面可以是六边形，截面为六边形时必有三组分别平行的边，同时有三组对角分别相等．截面六边形可以是等角的六边形．特别地，可以是正六边形．
对应的截面图形如图所示．
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-13.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球
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1．了解圆柱、圆锥、圆台、球的概念．(重点)2．通过与棱柱、棱锥、棱台的类比进一步认识圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征．(难点、易混点)3．了解复杂空间图形的组成情况，学会分析并掌握它们是由哪些简单空间图形组合而成．(难点)
1．借助圆柱、圆锥、圆台的形成过程得到对应定义，培养数学抽象的核心素养．2．借助具体的空间图形来解决问题，提升直观想象的数学核心素养．
仔细观察下面的空间图形，它们有什么共同特点或生成规律？
知识点1 圆柱、圆锥和圆台的概念
(1)圆柱、圆锥和圆台的定义
将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的空间图形分别叫作圆柱、圆锥、圆台．
(2)与圆柱、圆锥、圆台有关的概念
绕着旋转的这条直线叫作轴．垂直于轴的边旋转而成的圆面叫作底面．不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫作侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫作母线．
1．圆锥的母线有( )
A．1条
B．2条
C．3条
D．无数条
D [圆锥的顶点和底面圆周上任意一点的连线都是圆锥的母线，所以圆锥的母线有无数条．]
2．如图所示的图形中有( )
(1) (2) (3)
A．圆柱、圆锥和圆台
B．圆柱和圆锥
C．圆柱和圆台
D．棱柱、棱锥和圆锥
B [根据题中图形可知，(1)是圆柱，(2)是圆锥，(3)不是圆台，故选B．]
知识点2 球的定义及其有关的概念
半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫作球面，球面围成的空间图形叫作球体，简称球，如图所示．
球和球面的区别？
[提示] 球与球面是完全不同的两个概念，球是指球面及其围成的空间构成的空间图形，而球面只指球的表面部分．
3．下列说法中正确的是( )
A．半圆弧以其直径为轴旋转所成的曲面叫球
B．空间中到定点的距离等于定长的所有点的集合叫球面
C．球面和球是同一个概念
D．经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆
B [半圆弧以其直径为轴旋转所成的曲面叫球面，球面围成的空间图形，叫球，A不正确；B正确；球面和球是两个不同的概念，C错误；若球面上不同的两点恰好为最大的圆的直径的端点，则过此两点的大圆有无数个，故D错误．]
知识点3 旋转体
定义
图示
旋转面
一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面
旋转体
封闭的旋转面围成的空间图形称为旋转体
圆柱、圆锥、圆台和球都是特殊的旋转体．
4．将选项中所示的三角形绕直线l旋转一周，可以得到如图所示的空间图形的是( )
A B C D
[答案] B
类型1 旋转体的结构特征
【例1】 下列说法：
①以直角梯形的一腰所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆台；
②分别以矩形两条相邻边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周，所得到的两个圆柱可能是不同的圆柱；
③用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．
其中正确说法的序号是________．
② [①错误．若以直角梯形的不垂直于底边的腰为轴旋转一周形成的旋转体不是圆台，是圆锥和圆台的组合体．
②正确．若矩形的两邻边长不相等，则其旋转形成的曲面或圆面的半径也不一样，故所得圆柱也不同．
③错误．当此平面与圆锥的底面平行时，才能截得一个圆锥和一个圆台，否则不能得到．]
准确掌握圆柱、圆锥、圆台、球的生成过程及其结构特征是解决此类概念问题的关键.要注意定义中的关键字眼，对于似是而非的问题，可以通过动手操作来解决.
[跟进训练]
1．(多选题)给出以下四个命题，其中正确的是( )
A．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线
B．圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线
C．在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线
D．圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的
BD [A不正确，因为这两点的连线不一定与圆柱的旋转轴平行；B正确，符合圆锥母线的定义；C不正确，结合圆台母线的定义可知，母线与旋转轴的延长线应交于一点，而从圆台上、下底面圆周上各取一点，其连线未必满足这一条；D正确，符合圆柱母线的性质．]
类型2 简单组合体的结构特征
【例2】 (1)下列说法：
①球面上四个不同的点一定不在同一平面内；
②球的半径是球面上任意一点和球心的连线段；
③球面上任意三点可能在一条直线上；
④用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面．
其中正确的序号是________．
(2)已知AB是直角梯形ABCD与底边垂直的一腰(如图)．分别以AB，BC，CD，DA为轴旋转，试说明所得空间图形是由哪些简单空间图形构成的？
(1)②④ [作球的一个大圆，在大圆上任取四点，则这四点就在球面上，且共面，故①错误；根据球的半径的定义可知②正确；球面上任意三点一定不共线，故③错误；用一个平面去截球，一定截得一个圆面，故④正确．]
(2)[解] ①以AB边为轴旋转所得旋转体是圆台．如图(1)所示．
②以BC边为轴旋转所得旋转体是一组合体：下部为圆柱，上部为圆锥．如图(2)所示．
③以CD边为轴旋转所得旋转体为一组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥．如图(3)所示．
④以AD边为轴旋转得到一个组合体，它是一个圆柱上部挖去一个圆锥．如图(4)所示．
(1) (2)
(3)
(4)
关于平面图形绕固定轴旋转后得到的空间图形的组成问题，可采用如下方法解决：
[跟进训练]
2．如图所示，画出下列图形绕直线旋转一周后所形成的空间图形，并说出这些空间图形是由哪些旋转体组合而成的．
(1) (2)
[解] 旋转后的图形草图分别如图(a)(b)所示，(a)是由圆锥、圆柱组合而成的．(b)是由圆柱中间挖去一个圆锥组合而成的．
(a) (b)
类型3 有关旋转体的计算问题
【例3】 圆台的上、下底面半径分别为6和12，平行于底面的截面自上而下分母线为2∶1的两部分，求截面的面积．
画出圆台，将圆台还原成圆锥，利用比例关系求截面的半径即可.
[解] 如图所示，将圆台还原成圆锥，其中P为圆锥顶点，CD、AB、EF分别为圆台的上、下底面以及截面圆的半径．
显然CD∥EF∥AB，
所以＝＝＝，
所以PD＝DB＝PB．
又＝2，所以DF＝DB＝PB．
所以PF＝PD＋DF＝PB．所以＝＝，所以EF＝AB＝10，所以截面的面积为π·EF2＝π·102＝100π．
圆柱、圆锥、圆台问题要抓住它们的轴截面及其中线段与底面半径、高、母线之间的关系，构造矩形、直角三角形求解.
[跟进训练]
3．圆锥母线长为8，底面半径为2，A为底面圆周上一点，从A出发将绳子绕圆锥侧面一周后，再回到A，则绳长最短为________．
8 [如图所示，将圆锥沿过A点的母线展开，设A点展开后另一点为A′点，则绳子最短长度为线段AA′的长度．因为底面半径为2，所以弧长＝2π×2＝4π．因为展开图对应的扇形半径R＝8，所以圆心角α＝＝，即△A′OA为等腰直角三角形．
所以AA′＝＝8．]
1．下列命题中正确的是( )
A．圆柱上底面圆上任一点与下底面上任一点的连线都是圆柱的母线
B．一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的空间图形是圆台
C．圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形
D．在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球
C [A错，由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴；B错，直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的空间图形是由一个圆柱与一个圆锥组成的空间图形；C正确；D错，点的集合应为球面．]
2．(多选题)下面空间图形的截面可能是圆面的是( )
A．圆台
B．球
C．圆柱
D．棱柱
ABC [截面可以从各个不同的部位截取，截得的截面可能是圆面的空间图形是ABC．]
3．一个直角三角形绕斜边所在直线旋转360°形成的空间几何体为( )
A．一个圆锥
B．一个圆锥和一个圆柱
C．两个圆锥
D．一个圆锥和一个圆台
C [此直角三角形被斜边上的高线分成两个小的直角三角形，绕斜边所在直线旋转360°，相当于绕小直角三角形的直角边所在直线旋转360°，得到的空间几何体是两个同底的圆锥．故选C．]
4．一个圆台的母线长为12
cm，两底面面积分别为4π
cm2和25π
cm2．则此圆台还原成圆锥的母线长为________cm．
20 [圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示)．由已知可得上底面半径O1A＝2(cm)，下底面半径OB＝5(cm)，又因为腰长为12
cm，
如图所示，延长BA，OO1，CD交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由△SAO1∽△SBO可得＝，解得l＝20
(cm)，即截得此圆台的圆锥的母线长为20
cm．
]
5．下列各命题：
①圆锥的轴截面是等腰三角形，且只有一个；
②球的任意截面都是圆面；
③圆台所有母线的延长线交于一点．
其中正确命题的序号是________．(写出所有正确命题的序号)
②③ [圆锥的轴截面是等腰三角形，但其轴截面有无数个，故①错误；由球的特征性质可知②正确；由圆台的特征性质可知③正确．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．圆柱、圆锥、圆台平行于底面的截面是什么样的图形？圆柱、圆锥、圆台过轴的截面(简称轴截面)分别是什么样的图形？
[提示] 它们平行于底面的截面都是圆面．它们的轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形．
2．同一平面图形绕不同的旋转轴旋转所得的旋转体相同吗？
[提示] 旋转体的形状关键是看旋转体是由平面图形绕哪条直线旋转得到的，同一个平面图形绕不同的旋转轴旋转所得的旋转体不同．例如，直角三角形绕不同的直角边所在的直线旋转一周形成的圆锥不一定相同，如图(1)，图(2)．若绕斜边所在的直线旋转一周，则形成两个同底的圆锥的组合体，如图(3)．
图(1) 图(2) 图(3)
3．圆柱、圆锥、圆台之间有什么关系？
[提示]
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-13.1.3 直观图的斜二测画法
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1．了解斜二测画法的概念．(重点)2．会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图．(难点、易错点)3．会根据平面图形及空间图形的直观图还原出平面图形及空间图形．(难点)
1．通过对用斜二测画法画直观图的学习，培养直观想象素养．2．借助于斜二测画法的相关计算，培养数学运算素养．
图(1)(2)是从不同角度拍摄同一个魔方的照片，哪个图更能给人立体感？
(1) (2)
知识点1 水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法规则
(1)画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O．画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．
(2)画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．
(3)取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
画平面图形直观图的关键和注意点是什么？
[提示] (1)画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．
(2)用斜二测画法画直观图要掌握水平长度不变，垂线长度减半，直角画45°(或135°)．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变．
( )
(2)原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的．
( )
(3)画与直角坐标系xOy对应的坐标系x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45°．
( )
(4)在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同．
( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√
2．下列说法正确的是( )
A．相等的角，在直观图中仍相等
B．长度相等的线段，在直观图中长度仍相等
C．若两条线段平行，在直观图中对应的线段仍平行
D．若两条线段垂直，在直观图中对应的线段仍垂直
C [由斜二测画法规则知，角度、长度都可能改变，平行性不变，所以A、B、D错误，C正确．]
知识点2 空间图形的直观图的斜二测画法规则
(1)在空间图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于O点，再取z轴，使∠xOz＝90°，且∠yOz＝90°．
(2)画直观图时把它们画成对应的x′轴、y′轴和z′轴，它们相交于O′，并使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，x′轴和y′轴所确定的平面表示水平面．
(3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段．
(4)已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
3．已知两个圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2
cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3
cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为______
cm．
5 [由空间直观图的画法知，在z轴上或平行于z轴的线段长度保持不变，所以两顶点间的距离为2
cm＋3
cm＝5
cm．]
类型1 画水平放置的平面图形的直观图
【例1】 画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图．
[解] 画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，
建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°．
(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD．
(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图．
1．在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．
2．画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段．
[跟进训练]
1．画一个锐角为45°的平行四边形的直观图(尺寸自定)．
[解] 如图(1)在平行四边形上建立坐标系xOy，再建立坐标系x′O′y′，如图(2)在x′轴上截取O′A′＝OA，O′B′＝OB．
(1) (2)
在y′轴上截取O′D′＝OD，过D′作线段D′C′＝DC且D′C′∥A′B′，连接B′C′，A′D′，则四边形A′B′C′D′即为?ABCD的直观图．
类型2 画空间图形的直观图
【例2】 有一个正三棱锥，底面边长为3
cm，高为3
cm，画出这个正三棱锥的直观图．
[解] (1)先画出水平放置的边长为3
cm的正三角形的直观图，如图(1)所示．
(2)过正三角形中心O′建立z′轴，画出正三棱锥顶点V′，使V′O′＝3
cm，连接V′A′，V′B′，V′C′，如图(2)所示．
(3)擦去辅助线，遮住部分用虚线表示，得到正三棱锥的直观图，如图(3)．
(1) (2) (3)
1．用斜二测画法作空间图形的直观图时，应建立适当的空间直角坐标系，常寻找原图中共点且互相垂直的三条直线为坐标轴，或利用图形的对称性建系．
2．在画棱柱、棱台的直观图时，可确定下底面的直观图，确定好高度后，把坐标系平移上来，再画上底面的直观图即可．
3．z′轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致．
[跟进训练]
2．用斜二测画法画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图．
[解] (1)画轴：画x′轴、y′轴、z′轴，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°．
(2)画底面：在平面x′O′y′内，画出正六边形的直观图ABCDEF．
(3)画侧棱：过A，B，C，D，E，F分别作z′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE′，FF′都等于侧棱长．
(4)成图：顺次连接A′，B′，C′，D′，E′，F′，并加以整理就得到正六棱柱的直观图，如图(2)所示．
(1) (2)
类型3 将直观图还原为原平面图形
【例3】 如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的直观图，将其还原成平面图形．
以斜二测画法规则为切入点，思考直观图与平面图之间的内在联系，然后定出关键点，成图即可.
[解] (1)画直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；
(2)过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于D′，如图(1)所示．在OA上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，且使DB＝2D′B′；
(3)连接AB，BC，得△ABC．
则△ABC即为△A′B′C′对应的平面图形，如图(2)所示．
(1) (2)
由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴，y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长度的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可.
[跟进训练]
3．已知△ABC的直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，求原△ABC的面积．
[解] 建立如图所示的坐标系xOy′，△A′B′C′的顶点C′在y′轴上，A′B′边在x轴上，
把y′轴绕原点逆时针旋转45°得y轴，在y轴上取点C，使OC＝2OC′，A，B点即为A′，B′点，长度不变．
已知A′B′＝A′C′＝a，C′D′为△A′B′C′边A′B′上的高，C′D′＝a，∴OC′＝×a＝a，∴OC＝a，
故S△ABC＝A′B′·OC＝a·a＝a2．
1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是( )
A．原来相交的仍相交
B．原来垂直的仍垂直
C．原来平行的仍平行
D．原来共点的仍共点
B [根据斜二测画法，原来垂直的未必垂直．]
2．把△ABC按斜二测画法得到△A′B′C′(如图所示)，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么△ABC是一个( )
A．等边三角形
B．直角三角形
C．底边与腰不相等的等腰三角形
D．三边互不相等的三角形
A [根据斜二测画法还原三角形在直角坐标系中的图形，如图所示，
由图易得AB＝BC＝AC＝2，故△ABC为等边三角形，故选A．]
3．用斜二测画法画水平放置的圆，得到的图形形状是________．
[答案] 椭圆
4．如图是水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′，A′B′∥y′轴，则△ABC的形状是________三角形．
直角 [由斜二测画法规则知，在直观图中，AB⊥BC，所以△ABC是直角三角形．]
5．给出下列说法：
①正方形的直观图是一个平行四边形，其相邻两边长的比为1∶2(或2∶1)，有一内角为45°；
②水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变，高为原三角形高的一半的三角形；
③不等边三角形水平放置的直观图是不等边三角形；
④水平放置的平面图形的直观图是平面图形．
其中，正确的说法是________．(填序号)
④ [对于①，若以该正方形的一组邻边所在的直线为x轴、y轴，则结论正确，但若以该正方形的两条对角线所在的直线为x轴、y轴，由于此时该正方形的各边均不在坐标轴上，则其直观图中相邻两边长不一定符合“横不变，纵减半”的规则；对于②，水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变，高比原三角形高的一半还要短的三角形；对于③，只要坐标系选取恰当，不等边三角形水平放置的直观图可以是等边三角形．④正确．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．用斜二测画法画直观图要掌握的基本规则是什么？
[提示] 用斜二测画法画直观图要掌握：
“一斜”——把直角坐标系xOy变为斜坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°或135°；
“二测”——平行于x轴、z轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度减半，即“横原纵半竖原”．
2．水平放置的直角三角形的直观图还是直角三角形吗？
[提示] 不一定．因为用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，角度和长度可能会发生变化，所以水平放置的直角三角形的直观图一般为斜三角形．
3．画空间几何体的直观图的注意事项？
[提示] ①转化为画平面图形的直观图；
②为增强立体感，被挡住的部分通常用虚线表示；
③画图时紧紧把握斜二测画法的基本原则(“一斜”“二测”)；
④斜二测画法保持了原图形的平行性、共线性，保持了平行线段的长度比．
直观图的其他常用画法
直观图一般用作数学教学或设计，分为平行投影下画出的直观图和中心投影下画出的直观图．
一、平行投影画法
观察图1，太阳光线(太阳光线可以看成是平行的)把一个矩形的窗框投影到地板上，窗框的影子变成了平行四边形．框边的长度、框边之间的夹角有所改变，但框边的平行性没有改变．另外还可看到，平行直线段或同一条直线上的两条线段的比也没有改变．图1中，一条线段的中点投射的影子，仍是这条线段的中点．正是这些不变性质，使我们能够从一个空间图形在平面上的投影来获得原来图形的大致形象．
图1
在立体几何中，一般都是根据平行投影的性质，用平面图形来表示空间图形．我们已经学过的斜二测画法是一种平行投影画法．下面再介绍另一种平行投影画法：正等测画法．
圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆．圆的直观图，一般不用斜二测画法，而用正等测画法．具体步骤是：
(1)如图2(1)，取互相垂直的直线Ox，Oy作为已知图形⊙O所在平面直角坐标系的x轴、y轴；画直观图时，把它们画成对应的O′x′，O′y′，使∠x′O′y′＝120°(或60°)(如图2(2))．O′x′，O′y′确定的平面表示水平平面．
(1)
(2)
(3)
图2
(2)已知图形上平行于x轴或y轴的线段，在直观图中，分别画成平行于x′轴或y′轴的线段，且保持长度都不变．
(3)光滑连接线段端点，并擦去辅助线，得到⊙O的直观图(如图2(3))．
这样得到的圆的直观图是椭圆，这样画椭圆往往比较麻烦，我们在实际画圆的直观图时，通常使用不同尺寸的椭圆模板(如图3)．
图3 图4
会画圆的直观图，就能画出圆柱、圆锥、圆台的直观图．先画出底面，再用类似斜二测画法的方法画其余部分，如图4．
二、中心投影画法
实际生活中，我们还会遇到许多不平行的光线．比如，电灯泡发出的光线，可以近似地看成从一个点发出的光线．图5表示一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影．
图5
下面的两幅照片都是物体在平面上的中心投影．
从图5可以看到，空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交线，如照片中由近到远，物体之间的距离越来越近，最后相交于一点．中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多，但直观性强，看起来与人的视觉效果一致，最像原来的物体．所以画家常用中心投影的方法绘画，使画出来的美术作品与人们的视觉效果一致，但在立体几何中很少用中心投影原理来画图．
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