13.2 基本图形位置关系
13.2.1 平面的基本性质
学
习
任
务
核
心
素
养
1．了解平面的概念、画法，会用图形与字母表示平面．(重点)2．会用符号语言规范地表述空间点、直线、平面之间的位置关系．(易错点)3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实，理解三个基本事实的地位与作用．(重点、难点)
1．通过对空间点、线、面位置关系的学习，培养直观想象素养．2．借助于三个基本事实与推论的应用，培养逻辑推理素养．
一望无尽的草原、平静的湖面给我们以平面的形象，它们的共同特征主要有哪些？你能想象数学中“平面”的描述吗？生活中用两个合页和一把锁就可以将一扇门固定，为什么？木匠师傅将一把直尺置于桌面上，通过是否漏光就能检查桌面是否平整，你能从数学的角度加以解释么？
知识点1 平面的概念及表示
(1)平面的概念
平面是从现实世界中抽象出来的几何概念．它没有厚薄，是无限延展的．
(2)平面的表示方法
①图形表示
平面通常用平行四边形来表示，当平面水平放置的时候，一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图(如图所示)．
②字母表示
平面通常用希腊字母α，β，γ，…表示，也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面α、平面AC等．
(3)点、线、面位置关系的符号表示
位置关系
符号表示
点P在直线AB上
P∈AB
点C不在直线AB上
C?AB
点M在平面AC内
M∈平面AC
点A1不在平面AC内
A1?平面AC
直线AB与直线BC交于点B
AB∩BC＝B
直线AB在平面AC内
AB?平面AC
直线AA1不在平面AC内
AA1?平面AC
1．(多选题)如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面可以记为( )
A．平面MN
B．平面NQP
C．平面α
D．平面MNPQ
BCD [MN是平行四边形MNPQ的一条边，不是对角线，所以不能记作平面MN．]
知识点2 平面的基本事实
(1)平面的基本事实
①基本事实1：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
基本事实1也可简单地说成，不共线的三点确定一个平面．
②基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
用符号表示为：?AB?α．
③基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
用符号表示为：?α∩β＝l且P∈l．
(2)基本事实的推论
①推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．
②推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
③推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
2．下列说法正确的是( )
A．三点可以确定一个平面
B．一条直线和一个点可以确定一个平面
C．四边形是平面图形
D．两条相交直线可以确定一个平面
D [A错误，不共线的三点可以确定一个平面．
B错误，一条直线和直线外一个点可以确定一个平面．
C错误，四边形不一定是平面图形．
D正确，两条相交直线可以确定一个平面．]
类型1 三种语言的转换
【例1】 (1)如图所示，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．
① ②
(2)用符号语言表示语句：“平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC”，并画出图形．
[解] (1)①α∩β＝l，m?α，n?β，l∩n＝P，l∥m．
②α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，a∩b∩c＝O，a∩γ＝O．
(2)符号语言表示：
平面ABD∩平面BDC＝BD，
平面ABC∩平面ADC＝AC．
图形表示如图．
1．用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．
2．要注意符号语言的意义．如点与直线的位置关系只能用“∈”或“?”表示，直线与平面的位置关系只能用“?”或“?”表示．
3．由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．
[跟进训练]
1．根据图形，写出图形中点、直线和平面之间的关系．
(1) (2)
图(1)可以用几何符号表示为________________．
图(2)可以用几何符号表示为________________．
[答案] (1)α∩β＝AB，a?α，b?β，a∥AB，b∥AB，a∥b
(2)α∩β＝l，m∩α＝A，m∩β＝B，A?l，B?l
类型2 点线共面问题
【例2】 已知一条直线与另外三条互相平行的直线都相交，证明：这四条直线共面．
[证明] 如图．
法一：∵a∥b，
∴a，b确定平面α．
又∵l∩a＝A，l∩b＝B，
∴l上有两点A，B在α内，即直线l?α．
∴a，b，l共面．
同理，a，c，l共面，即c也在a，l确定的平面内．
故a，b，c，l共面．
法二：∵a∥b，
∴过a，b确定平面α，
又∵A∈a，B∈b，
∴AB?α，即l?α．
又∵b∥c，
∴过b，c确定平面β，
而B∈b，C∈c，
∴BC?β，即l?β．
∴b，l?α，b，l?β，而b∩l＝B，
∴α与β重合，故a，b，c，l共面．
证明多线共面的两种方法
(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内．
确定一个平面的方法有：
①直线和直线外一点确定一个平面；
②两条平行线确定一个平面；
③两条相交直线确定一个平面．
(2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合．
[跟进训练]
2．证明：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．
[解] 已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C．
求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．
法一：∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α．
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2．
又∵l2?α，∴B∈α．同理可证C∈α．
又∵B∈l3，C∈l3，∴l3?α．
∴直线l1，l2，l3在同一平面内．
法二：∵l1∩l2＝A，
∴l1，l2确定一个平面α．
∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β．
∵A∈l2，l2?α，∴A∈α．
∵A∈l2，l2∈β，∴A∈β．
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β．
∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内．
∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．
类型3 共线共点问题
【例3】 如图所示，在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3，求证：EF，GH，BD交于一点．
[证明] ∵E，G分别为BC，AB的中点，
∴GE∥AC，GE＝AC．
又DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3，
∴FH∥AC，FH＝AC．
∴FH∥GE，FH≠GE．
∴四边形EFHG是一个梯形，GH和EF交于一点O．
∵O在平面ABD内，又在平面BCD内，
∴O在这两平面的交线上．
而这两个平面的交线是BD，且交线只有这一条，
∴点O在直线BD上．
∴EF，GH，BD交于一点．
证明点共线、线共点的关键是构造相交平面后，证明点在相交平面的交线上，即由基本事实3完成证明，即先说明两直线共面交于一点，然后说明该点在两个平面内，从而该点又在这两个平面的交线上.
[跟进训练]
3．如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，P，Q，R分别在棱AB，BB1，CC1上，且DP，RQ相交于点O．求证：O，B，C三点共线．
[证明] 如图，可知平面AC∩平面BC1＝BC．
∴O为平面BC1与平面AC的公共点．
又∵平面AC∩平面BC1＝BC，∴O∈BC，
即O，B，C三点共线．
1．已知点A，直线a，平面α，以下命题表述不正确的个数是( )
①A∈a，a?α?A?α；②A∈a，a∈α?A∈α；
③A?a，a?α?A?α；④A∈a，a?α?A?α．
A．1
B．2
C．3
D．4
D [①不正确，如a∩α＝A；②不正确，“a∈α”表述错误；③不正确，如图所示，A?a，a?α，但A∈α；④不正确，“A?α”表述错误．]
2．(多选题)下列命题正确的是( )
A．梯形一定是平面图形
B．若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行
C．两两相交的三条直线最多可以确定三个平面
D．若两个平面有三个公共点，则这两个平面重合
AC [对于A，由于两条平行直线确定一个平面，所以梯形可以确定一个平面，故A正确；对于B，两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行或相交，故B错误；对于C，两两相交的三条直线最多可以确定三个平面，故C正确；对于D，若两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故D错误．故选AC．]
3．下列图形中不一定是平面图形的是( )
A．三角形
B．菱形
C．梯形
D．四边相等的四边形
D [四边相等的四边形可能四边不共面．]
4．空间三条直线a，b，c，若它们两两平行，则最多能确定平面的个数为________．
3 [当三条直线不共面时确定平面个数最多，为3个．]
5．如图所示，用符号可表达为________．
α∩β＝m，n?α且m∩n＝A [由题图可知平面α与平面β相交于直线m，且直线n在平面α内，且与直线m相交于点A，故用符号可表示为：α∩β＝m，n?α且m∩n＝A．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．任何三点都可以确定一个平面吗？
[提示] 不是，只有不共线的三点，才可以确定一个平面．
2．如何证明一条直线在一个平面内？
[提示] 只要证明直线l上的任意两点在此平面内即可．
3．证明三点共线的常用方法有哪些？
[提示] 方法一：首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据基本事件3可知，这些点都在两个平面的交线上；
方法二：选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上．
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-13.2.2 空间两条直线的位置关系
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1．会判断空间中直线与直线的位置关系．(重点)2．能应用基本事实4和等角定理解决简单的立体几何问题．(难点)3．了解异面直线所成的角的概念，能借助长方体模型说明异面直线所成的角．(难点)
1．通过对空间两条直线位置关系和异面直线概念的学习，培养直观想象素养．2．通过计算异面直线所成的角，培养数学运算素养．
在平面几何中，两条直线的位置关系有哪些？观察教室中的墙角线、日光灯所在的直线，说说空间两条直线有哪些位置关系？在空间，平行于同一条直线的两条直线仍然互相平行么？如何求没有公共点且不共面的直线所成的角？
知识点1 空间两条直线的位置关系
1．如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________．
(1)平行 (2)异面 (3)相交 (4)异面 [(1)在长方体ABCD?A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，所以A1B∥D1C．(2)A1B∩平面BB1C＝B，B?B1C，所以直线A1B与直线B1C的位置关系是异面．(3)直线D1D与直线D1C相交于点D1．(4)AB∩平面BB1C＝B，B?B1C，所以直线AB与直线B1C的位置关系是异面．]
知识点2 基本事实4及等角定理
(1)基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．
符号表示：?a∥c．
(2)等角定理：如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．
2．已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝30°，则∠PQR等于________．
30°或150° [∠ABC的两边与∠PQR的两边分别平行，但方向不能确定是否相同，所以∠PQR＝30°或150°．]
知识点3 异面直线的判定及其所成的角
(1)异面直线的判定定理
定理
文字语言
符号表示
图形语言
异面直线的判定定理
过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线
若l?α，A?α，B∈α，B?l，则直线l与A
B是异面直线
不在同一平面内的两条直线是否是异面直线？
[提示] (1)异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件．异面直线既不相交，也不平行．
(2)不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线，如图中，虽然有a?α，b?β，即a、b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝O，所以a与b不是异面直线．
(2)异面直线所成的角
①定义：a与b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′和b′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a，b所成的角或夹角．
②异面直线所成的角θ的取值范围：0°<θ≤90°．
③当θ＝时，a与b互相垂直，记作a⊥b．
3．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)如果a⊥b，b⊥c，则a∥c．
( )
(2)如果a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c也是异面直线．
( )
(3)如果a，b相交，b，c相交，则a，c也相交．
( )
(4)如果a，b共面，b，c共面，则a，c也共面．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
4．已知a，b是异面直线，直线c∥直线a，则c与b的位置关系是________．
相交或异面 [a，b是异面直线，直线c∥直线a，因而c不平行于b，若c∥b，则a∥b，与已知矛盾，因而c不平行于b，即c与b相交或异面．]
类型1 空间中直线的位置关系
【例1】 (1)下列命题中正确的有________．(填序号)
①两条直线无公共点，则这两条直线平行；
②两条不重合的直线若不是异面直线，则必相交或平行；
③过平面外一点与平面内一点的直线与平面内的任意一条直线均构成异面直线；
④和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线．
(2)a，b，c是空间中三条直线，给出下列说法：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②a∥b是指直线a，b在同一平面内且没有公共点；
③若a，b分别在两个相交平面内，则这两条直线不可能平行．
其中正确的有________．(填序号)
(1)② (2)①② [(1)对于①，空间两直线无公共点，则可能平行，也可能异面，因此①不正确；对于②，因为空间两条不重合的直线的位置关系只有三种：平行、相交或异面，所以②正确；对于③，过平面外一点与平面内一点的直线和过平面内这点的直线是相交直线，因此③不正确；对于④，和两条异面直线都相交的两直线可能是相交直线，也可能是异面直线，因此④不正确．
(2)由基本事实4知①正确；由平行线的定义知②正确；若α∩β＝l，a?α，b?β，a∥l，b∥l，则a∥b，③错误．]
空间两直线的位置关系为相交、平行、异面，若两直线有交点则为相交，若两直线共面且无交点则为平行，若以上情况均不满足则为异面.
[跟进训练]
1．如图所示，正方体ABCD?A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：
①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；
②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；
③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；
④直线AB与直线B1C的位置关系是________．
①平行 ②异面 ③相交 ④异面 [直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行”；点A1，B，B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C异面．同理，直线AB与直线B1C异面，所以②④都应该填“异面”；直线D1D与直线D1C显然相交于点D1，所以③应该填“相交”．]
类型2 基本事实4与等角定理的应用
【例2】 (对接教材P159例2)如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别为棱AD，AB，B1C1，C1D1的中点．
求证：∠EA1F＝∠E1CF1．
[证明] 如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，取A1B1的中点M，连接BM，MF1，
则BF＝A1M＝AB．
又BF∥A1M，
∴四边形A1FBM为平行四边形，∴A1F∥BM．
而F1，M分别为C1D1，A1B1的中点，则F1MC1B1．
而C1B1BC，
∴F1M∥BC，且F1M＝BC．
∴四边形F1MBC为平行四边形，
∴BM∥F1C．
又BM∥A1F，
∴A1F∥CF1．
同理取A1D1的中点N，连接DN，E1N，则A1NDE，
∴四边形A1NDE为平行四边形，∴A1E∥DN．
又E1N∥CD，且E1N＝CD，
∴四边形E1NDC为平行四边形，
∴DN∥CE1，
∴A1E∥CE1．
∴∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行．
即A1E∥CE1，A1F∥CF1，且∠EA1F与∠E1CF1均为锐角，∴∠EA1F＝∠E1CF1．
运用基本事实4的关键是寻找“中间量”即第三条直线.证明角相等的常用方法是等角定理，另外也可以通过证明三角形相似或全等来实现.
[跟进训练]
2．如图，已知棱长为a的正方体ABCD?A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．
(1)求证：四边形MNA1C1是梯形；
(2)求证：∠DNM＝∠D1A1C1．
[证明] (1)在△ADC中，
∵M，N分别是CD，AD的中点，
∴MN是△ADC的中位线．
∴MNAC．
由正方体性质知，ACA1C1，
∴MNA1C1，即MN≠A1C1．
∴四边形MNA1C1是梯形．
(2)由(1)可知MN∥A1C1，又因为ND∥A1D1，
而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的锐角，
∴∠DNM＝∠D1A1C1．
类型3 求异面直线所成的角
【例3】 如图，正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小．
先根据异面直线所成角的定义找出角，再在三角形中求解.
[解] 法一：如图(1)，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G，则OG∥B1D，EF∥A1C1，∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角．
(1)
∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点．∴GO⊥A1C1．
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°．
法二：如图(2)，连接A1D，取A1D的中点H，连接HE，HF，则HE∥DB1，且HE＝DB1．
(2)
于是∠HEF为异面直线DB1与EF所成的角或补角．
设AA1＝1．则EF＝，HE＝，取A1D1的中点I，连接IF，IH，则HI⊥IF，
∴HF2＝HI2＋IF2＝，∴HF2＝EF2＋HE2．
∴∠HEF＝90°，∴异面直线DB1与EF所成的角为90°．
(3)
法三：如图(3)，在原正方体的右侧补上一个全等的正方体，连接DQ，B1Q，则B1Q∥EF．
于是∠DB1Q为异面直线DB1与EF所成的角或其补角．
设AA1＝1，则DQ＝＝，B1D＝＝，B1Q＝＝，所以B1D2＋B1Q2＝DQ2，从而异面直线DB1与EF所成的角为90°．
求两条异面直线所成角的步骤
(1)恰当选点，用平移法构造出一个相交角．
(2)证明这个角就是异面直线所成的角(或补角)．
(3)把相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，通过解三角形求出所构造的角的度数．
(4)若求出的平面角是锐角或直角，则它就是两条异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角才是两条异面直线所成的角．
[跟进训练]
3．如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为________．
[连接BC1，易证BC1∥AD1，
则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角．
连接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，
易得A1C1＝，
A1B＝BC1＝，
故cos∠A1BC1＝
＝，
即异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为．]
1．分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是( )
A．平行
B．相交
C．异面
D．以上皆有可能
[答案] D
2．如图，空间四边形ABCD的对角线AC，BD相等，顺次连接各边中点E，F，G，H，则四边形EFGH一定是( )
A．矩形
B．正方形
C．菱形
D．梯形
C [利用E，F，G，H分别为各边中点，可得四边形EFGH是平行四边形．又由对角线AC，BD相等，可得四边形EFGH一定是菱形．故选C．]
3．在各棱长均相等的直三棱柱ABC?A1B1C1中，已知M是棱BB1的中点，N是棱AC的中点，则异面直线A1M与BN所成角的正切值为( )
A．
B．1
C．
D．
C [如图，取AA1的中点P，连接PN，PB，则由直三棱柱的性质可知A1M∥PB，则∠PBN为异面直线A1M与BN所成的角(或其补角)．
设三棱柱的棱长为2，则PN＝，PB＝，BN＝，所以PN2＋BN2＝PB2，所以∠PNB＝90°，在Rt△PBN中，tan∠PBN＝＝＝，故选C．]
4．空间中有一个∠A的两边和另一个∠B的两边分别平行，∠A＝70°，则∠B＝________．
70°或110° [∵∠A的两边和∠B的两边分别平行，
∴∠A＝∠B或∠A＋∠B＝180°，又∠A＝70°，
∴∠B＝70°或110°．]
5．已知棱长为a的正方体ABCD?A′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点，则MN与A′C′的位置关系是________．
平行 [如图所示，MNAC，
又∵ACA′C′，∴MNA′C′．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．空间任意两条直线有几种位置关系？
[提示] 相交、平行和异面．
2．如何判定两条直线是异面直线？
[提示] (1)定义法：不同在任何一个平面内的两条直线；
(2)判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线．
3．求异面直线所成的角常分几个步骤？
[提示] 四个，即“一作”“二证”“三求”“四结论”．
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-13.2.3 直线与平面的位置关系
第1课时 直线与平面平行
学
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任
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心
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1．理解并掌握直线与平面的位置关系及线面平行的判定定理．(重点)2．理解并会证明直线与平面平行的性质定理．(难点)3．会用图形语言和符号语言描述直线和平面平行的判定定理和性质定理．(重点、易错点)
1．通过对直线与平面平行判定定理和性质定理的推导与应用，培养逻辑推理素养．2．借助于线面平行的判定定理和性质定理的理解，培养直观想象素养．
1．观察你手中的笔所在直线和作业本所在的平面可能的位置关系，概括空间直线和平面的三种位置关系．
2．观察长方体ABCD?A1B1C1D1，说出棱AB所在的直线与长方体六个面所在平面的位置关系，并说明理由．
知识点1 直线和平面的位置关系
位置关系
直线a在平面α内
直线a与平面α相交
直线a与平面α平行
公共点
有无数个公共点
有且只有一个公共点
没有公共点
符号表示
a?α
a∩α＝A
a∥α
图形表示
1．直线在平面外是指( )
A．直线与平面没有公共点
B．直线与平面相交
C．直线与平面平行
D．直线与平面最多只有一个公共点
[答案] D
知识点2 直线与平面平行的判定定理
(1)自然语言：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．
(2)图形语言：如图所示．
(3)符号语言：?a∥α．
2．能保证直线a与平面α平行的条件是______(填序号)．
①b?α，a∥b；
②b?α，c∥α，a∥b，a∥c；
③b?α，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BD；
④a?α，b?α，a∥b．
④ [由线面平行的判定定理可知④正确．]
知识点3 直线与平面平行的性质定理
(1)自然语言：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行．
(2)图形语言：如图所示．
(3)符号语言：
?l∥m．
3．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α．
( )
(2)若直线a在平面α外，则a∥α．
( )
(3)若直线a∩b＝?，b?α，则a∥α．
( )
(4)若直线a∥平面α，则直线a平行于平面α内的无数条直线．
( )
[提示] (1)l也可能在平面α内．(2)直线a也可能和平面α相交．(3)a∥α或a?α或a与平面α相交．
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
类型1 直线与平面的位置关系
【例1】 (1)下列说法中，正确的有________．(填序号)
①如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；
②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内无数条直线垂直；
③过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行；
④一条直线上有两点到平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面．
(2)下列命题中，a，b，l表示直线，α表示平面．
①若a?α，b?α，且a，b不相交，则a∥b；
②若a?α，b?α，a∩b＝A，l?α，且l和a，b均不相交，则l∥α；
③若点A?a，则过点A可以作无数个平面与a平行；
④若a与α内的无数条直线不相交，则a∥α．
其中正确的命题有________．(把你认为正确的序号都填上)
(1)② (2)③ [(1)如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的直线平行或异面，所以①错误；如果一条直线与一个平面相交，在这个平面内作过交点的直线垂直于这条直线，那么在这个平面内与所作直线平行的直线都与已知直线垂直，且有无数条，所以②正确；③显然错误；而④也有可能相交，所以错误．
(2)①错误．如图(a)，满足a?α，b?α，且a，b不相交，但a与b不平行．
②错误．如图(b)，满足a?α，b?α，a∩b＝A，l?α，且l和a，b均不相交，但l与α相交．
③正确．如图(c)，点A?a，过点A可以作无数个平面与a平行．
④错误．当a与α相交时，也有a与α内的无数条直线不相交．]
空间中直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种.,在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏.另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断.
[跟进训练]
1．下列命题中正确的是________(填序号)．
①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；
②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行；
③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；
④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点．
④ [①中，l可与α相交，故①错．②中，α内的直线可能与l异面，故②错．③中，另一条直线可能在这个平面内，故③错．④中，由l与α平行的定义知④正确．]
类型2 直线与平面平行的判定定理的应用
【例2】 如图，M，N分别是底面为矩形的四棱锥P?ABCD的棱AB，PC的中点，求证：MN∥平面PAD．
[证明] 如图所示，取PD的中点E，连接AE，NE．
∵N是PC的中点，
∴ENDC．
又∵AMCD，
∴NEAM．
∴四边形AMNE是平行四边形．
∴MN∥AE．
又∵AE?平面PAD，MN?平面PAD，
∴MN∥平面PAD．
利用判定定理证明直线与平面平行的关键是找平面内与已知直线平行的直线.可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.
[跟进训练]
2．如图，S是平行四边形ABCD平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且＝．
求证：MN∥平面SBC．
[证明] 连接AN并延长交BC于P，连接SP，
∵AD∥BC，
∴＝，
又∵＝，
∴＝，∴MN∥SP，
又MN?平面SBC，SP?平面SBC，∴MN∥平面SBC．
类型3 线面平行的性质定理的应用
【例3】 如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH．求证：PA∥GH．
要证线线平行，先证线面平行，再证另一线为过已知直线的平面与已知平面的交线.
[证明] 如图，连接AC交BD于点O，连接MO，MB．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点．
又M是PC的中点，
∴AP∥OM．
根据直线和平面平行的判定定理，则有PA∥平面BMD．
∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，
根据直线和平面平行的性质定理，∴PA∥GH．
证明与平行有关的问题时，线面平行的判定定理、性质定理、基本事实4常结合起来使用，并常利用下面的关系：
运用线面平行的性质定理时，应寻找过已知直线的平面与已知平面的交线，有时为了得到交线需作出辅助平面.
[跟进训练]
3．如图所示，已知两条异面直线AB与CD，平面MNPQ与AB，CD都平行，且点M，N，P，Q依次在线段AC，BC，BD，AD上，求证：四边形MNPQ是平行四边形．
[证明] ∵AB∥平面MNPQ，且过AB的平面ABC交平面MNPQ于MN，
∴AB∥MN．
又过AB的平面ABD交平面MNPQ于PQ，
∴AB∥PQ，
∴MN∥PQ．
同理可证NP∥MQ．
故四边形MNPQ是平行四边形．
1．下面的命题正确的是( )
A．若直线l与平面α内的一条直线平行，则直线l与平面α平行
B．若直线l与平面α内无数条直线都平行，则直线l与平面α平行
C．若直线l与平面α内的无数条直线不平行，则直线l与平面α可能平行
D．若直线l与平面α平行，则直线l与平面α内的所有直线平行
C [对于选项A，直线l有可能在平面α内；对于选项B，直线l有可能在平面α内；对于选项C，当直线l与平面α平行时，在平面α内有无数条直线与直线l不平行(异面)，故C正确；对于选项D，若直线l与平面α平行，则直线l与平面α内的直线是平行或异面的．故选C．]
2．若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为( )
A．都平行
B．都相交且一定交于同一点
C．都相交但不一定交于同一点
D．都平行或交于同一点
A [因为直线l∥平面α，所以根据直线与平面平行的性质定理知l∥a，l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥…．]
3．以下说法(其中a，b表示直线，α表示平面)正确的个数为________．
①若a∥b，b?α，则a∥α；
②若a∥α，b∥α，则a∥b；
③若a∥b，b∥α，则a∥α；
④若a∥α，b?α，则a∥b．
0 [①错，a∥α或a?α；②错，a与b也可能相交；③错，a∥α或a?α；④错，a与b也可能异面．]
4．长方体ABCD?A1B1C1D1中，E为AA1的中点，F为BB1的中点，与EF平行的长方体的面有________个．
3 [如图，∵EF∥A1B1，
∴EF∥平面A1B1C1D1．
同理EF∥平面ABCD，EF∥平面DD1C1C．]
5．如图所示的三棱柱ABC?A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，则DE与AB的位置关系是________．
平行 [∵ABC?A1B1C1是三棱柱，∴A1B1∥AB．
又∵A1B1?平面ABC，AB?平面ABC，
∴A1B1∥平面ABC．
∵A1B1?平面A1B1ED，平面A1B1ED∩平面ABC＝DE，∴A1B1∥DE，∴DE∥AB．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．判断直线与平面平行的常见方式有哪些？
[提示] (1)a∩α＝?；
(2)?a∥α；
(3)a∥b，a?α，且b∥α?a∥α．
2．线面平行的判定和性质定理，体现了什么样的数学思想？
[提示] 转化与化归的思想，即线线平行线面平行．
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9
-第2课时 直线与平面垂直
学
习
任
务
核
心
素
养
1．能正确判断直线与平面垂直的位置关系．(重点)2．了解点到平面的距离和直线与平面间的距离．(难点)3．理解直线与平面垂直的判定定理和性质定理．(重点、难点)4．了解直线与平面垂直的概念及直线与平面所成角的概念．(重点)
1．借助直线与平面垂直、直线与平面所成的角以及点到平面的距离的定义，培养数学抽象素养．2．通过直线与平面垂直的判定定理和性质定理的应用，培养逻辑推理素养．
学校操场上的旗杆与地面是怎样的位置关系？教室的两墙面的交线与地面是怎样的位置关系？如何判断一条直线和一个平面垂直？如何刻画一条平面的斜线与平面所成的空间角？
知识点1 直线与平面垂直的定义
如果直线a与平面α内的任意一条直线都垂直，那么称直线a与平面α垂直，记作a⊥α．直线a叫作平面α的垂线，平面α叫作直线a的垂面，垂线和平面的交点称为垂足．
图形表示：
1．下列命题中，所有正确命题的序号是________．
①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；
②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；
③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；
④过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条．
③④ [当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以①不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以④正确．]
知识点2 直线与平面垂直的判定定理
文字语言
图形语言
符号语言
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直
?a⊥α
2．给出下列条件(其中l为直线，α为平面)：
①l垂直于α内的一五边形的两条边；
②l垂直于α内三条不都平行的直线；
③l垂直于α内无数条直线；
④l垂直于α内正六边形的三条边．
其中能够推出l⊥α的所有条件的序号是________．
②④ [如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．①③都有可能垂直的是平行直线，不能推出l⊥α．故选②④．]
知识点3 直线与平面垂直的性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
垂直于同一个平面的两条直线平行
?a∥b
3．已知直线l⊥平面α，直线m?α，则( )
A．l⊥m
B．l∥m
C．l，m异面
D．l，m相交而不垂直
A [根据线面垂直的定义，无论l与m是异面，还是相交，都有l⊥m，故选A．]
知识点4 距离及直线与平面所成的角
(1)距离
①点到平面的距离
从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫作这个点到这个平面的距离．
②直线和平面的距离
一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫作这条直线和这个平面的距离．
(2)直线与平面所成的角
一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫作这个平面的斜线，斜线与平面的交点叫作斜足，斜线上一点与斜足间的线段叫作这个点到平面的斜线段．
平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫作这条直线与这个平面所成的角．
特别地，如果一条直线垂直于平面，那么称它们所成的角是直角；如果一条直线与平面平行或在平面内，那么称它们所成的角是0°角．
4．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，已知AB＝1，则点C到平面B1BDD1的距离为________，AB到平面A1B1CD的距离为________．
[连接AC，BD，则AC⊥BD，又BB1⊥AC，故AC⊥平面B1BDD1，所以点C到平面B1BDD1的距离为AC＝，AB到平面A1B1CD距离等于A到该平面的距离，等于．]
5．如图所示，三棱锥P?ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角等于________．
45° [∵PA⊥平面ABC，
∴∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角，
在Rt△PAB中，PA＝AB，
∴∠PBA＝45°．]
类型1 线面垂直的定义及判定定理的应用
【例1】 (对接教材P174T9)如图所示，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E，求证：AE⊥平面PBC．
[证明] ∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥BC．
又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC．而PA∩AC＝A，
∴BC⊥平面PAC．
又∵AE?平面PAC，
∴BC⊥AE．
∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，
∴AE⊥平面PBC．
1．用线面垂直的判定定理判断一条直线与此平面垂直时，需在平面内找两条相交直线，证明一条直线同时垂直于这两条相交直线，这是证明线面垂直的一个常用方法．
2．线线垂直与线面垂直的转化关系
[跟进训练]
1．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O．
[证明] ∵E，F分别是棱AB，BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AC．
∵ABCD为正方形，∴AC⊥BO，EF⊥BO．
又∵BB1⊥平面ABCD，EF?平面ABCD，
∴EF⊥BB1．
又BO∩BB1＝B，∴EF⊥平面BB1O．
类型2 线面垂直性质定理的应用
【例2】 如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC．求证：EF∥BD1．
[证明] 如图所示，
连接AB1，B1C，BD，B1D1，
∵DD1⊥平面ABCD，
AC?平面ABCD，
∴DD1⊥AC．
又AC⊥BD，BD∩DD1＝D，
∴AC⊥平面BDD1B1，
又BD1?平面BDD1B1，
∴AC⊥BD1．
同理可证BD1⊥B1C，
∴BD1⊥平面AB1C．
∵EF⊥AC，EF⊥A1D，
又A1D∥B1C，∴EF⊥B1C．
又B1C∩AC＝C，
∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1．
空间中证明两条直线平行的方法
(1)利用线线平行定义证两线无公共点；
(2)若a∥b，b∥c，则a∥c(基本事实4)；
(3)利用线面平行的性质定理把证线线平行转化为证线面平行；
(4)若a⊥α，b⊥α，则a∥b(线面垂直的性质定理)．
[跟进训练]
2．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，
M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．
求证：MN∥AD1．
[证明] ∵在正方体ABCD?A1B1C1D1中，四边形ADD1A1为正方形，
∴A1D⊥AD1．
又∵CD⊥平面ADD1A1，AD1?平面ADD1A1，
∴CD⊥AD1．
∵A1D∩CD＝D，A1D?平面A1DC，CD?平面A1DC，
∴AD1⊥平面A1DC．
又∵MN⊥平面A1DC，∴MN∥AD1．
类型3 距离问题及直线与平面所成角的求法
【例3】 如图所示，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M，N分别是A1B，B1C1的中点．
(1)求证：MN⊥平面A1BC；
(2)求直线BC1与平面A1BC所成的角的大小．
?1?连接AB1，AC1，以三角形中位线为切入点，思考MN与AC1的关系，进而证明MN⊥平面A1BC；
?2?结合AC1与平面A1BC的关系，思考直线BC1与平面A1BC所成的角，并求解.
[解] (1)证明：如图所示，由已知BC⊥AC，BC⊥CC1，AC∩CC1＝C，得BC⊥平面ACC1A1．
连接AC1，
则BC⊥AC1．
由已知可知侧面ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1．
又BC∩A1C＝C，
所以AC1⊥平面A1BC．
因为侧面ABB1A1是矩形，M是A1B的中点，连接AB1，则点M是AB1的中点．
又点N是B1C1的中点，则MN是△AB1C1的中位线，
所以MN∥AC1．故MN⊥平面A1BC．
(2)因为AC1⊥平面A1BC，设AC1与A1C相交于点D，连接BD，
则∠C1BD为直线BC1与平面A1BC所成的角．
设AC＝BC＝CC1＝a，
则C1D＝a，BC1＝a．
在Rt△BDC1中，sin∠C1BD＝＝，
所以∠C1BD＝30°，
故直线BC1与平面A1BC所成的角为30°．
求直线与平面所成角的步骤
(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；
(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；
(3)把该角归结到某个三角形中，通过解三角形，求出该角．
[跟进训练]
3．如图，正四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面边长为1，侧棱长为2，E，F分别为CC1，DD1的中点．
(1)求证：A1F⊥平面BEF；
(2)求直线A1B与平面BEF所成角的正弦值．
[解] (1)证明：连接AF．
∵E，F分别为CC1，DD1的中点，
∴EF∥AB且EF＝AB，
∴四边形ABEF为平行四边形．
又在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，
AB⊥平面AA1D1D，A1F?平面AA1D1D，
∴AB⊥A1F，
∴EF⊥A1F．
由已知，得AF＝，A1F＝，AA1＝2，
∴A1F2＋AF2＝AA，
∴AF⊥A1F．
又AF∩EF＝F，
∴A1F⊥平面ABEF，
即A1F⊥平面BEF．
(2)∵A1F⊥平面BEF．
∴A1B在平面BEF上的射影为BF，
∴∠A1BF为直线A1B与平面BEF所成的角．
由已知，得A1F＝，A1B＝，
∴sin∠A1BF＝，
即A1B与平面BEF所成角的正弦值为．
1．下列条件中，能判定直线l⊥平面α的是( )
A．l与平面α内的两条直线垂直
B．l与平面α内的无数条直线垂直
C．l与平面α内的某一条直线垂直
D．l与平面α内的任意一条直线垂直
D [由直线与平面垂直的定义及判定定理知D正确．]
2．已知a，b是平面α内的两条直线，l是空间中的一条直线．则“直线l⊥a且l⊥b”是“l⊥α”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B [“l⊥α，a，b?α”?“l⊥a，l⊥b”；反之不一定成立，例如a∥b时，l不一定垂直平面α．所以“直线l⊥a且l⊥b”是“l⊥α”的必要不充分条件．故选B．]
3．(多选题)一正方体的平面展开图如图所示，在这个正方体中，有下列四个命题，其中正确的是( )
A．
AF⊥GC
B．
BD与GC成异面直线且夹角为60°
C．BD∥MN
D．
BG与平面ABCD所成的角为45°
AB [将平面展开图还原成正方体(如图所示)．
对于A，由图形知AF与GC异面垂直，故A正确；
对于B，BD与GC显然成异面直线．如图，连接EB，ED，则BE∥GC，所以∠EBD即为异面直线BD与GC所成的角(或其补角)．在等边△BDE中，∠EBD＝60°，
所以异面直线BD与GC所成的角为60°，故B正确；
对于C，BD与MN为异面垂直，故C错误；
对于D，由题意得，GD⊥平面ABCD，所以∠GBD是BG与平面ABCD所成的角．但在Rt△BDG中，∠GBD不等于45°，故D错误．综上可得AB正确．]
4．已知平面α外两点A，B到平面α的距离分别是2和4，则A，B的中点P到平面α的距离是________．
1或3 [A，B在α同一侧时，P到α的距离为3；A，B在α异侧时，P到α的距离为1．]
5．如图所示，三棱锥P?ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成角的度数为________；点Q在PB的延长线上，则直线QB与平面ABC所成角的度数为________．
45° 45° [因为PA⊥平面ABC，所以斜线PB在平面ABC上的射影为AB，所以∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角．在△PAB中，∠BAP＝90°，PA＝AB，所以∠PBA＝45°，即直线PB与平面ABC所成的角等于45°；直线QB与直线PB共线，所以直线QB与平面ABC所成的角等于45°．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．判定直线l与平面α垂直的方式有哪些？
[提示] ①若a∥l，且a⊥α，则l⊥α；
②若?l⊥α．
2．求直线与平面所成角的步骤是什么？
[提示] 三步：“一作”“二证”“三求解”．
3．如何求直线到平面的距离？
[提示] 若直线与平面平行，则可以转化为直线上任一点到平面的距离．
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12
-13.2.4 平面与平面的位置关系
第1课时 两平面平行
学
习
任
务
核
心
素
养
1．了解平面与平面的两种位置关系，了解两个平面间的距离的概念．(重点)2．理解空间中面面平行的判定定理和性质定理，并能灵活应用．(重点、难点)
1．通过对平面和平面平行的判定定理和性质定理的推导和应用，培养逻辑推理素养．2．通过利用平面和平面平行的判定定理和性质定理进行相关的计算，培养数学运算素养．
我们在生活中看到，工人师傅将水平尺(如图)在桌面上交叉放置两次，如果水平尺的气泡两次都在中央，就能判断桌面是水平的，这是为什么呢？
知识点1 平面与平面之间的位置关系
位置关系
平面α与平面β相交
平面α与平面β平行
公共点
有一条公共直线
没有公共点
符号表示
α∩β＝a
α∥β
图形表示
1．若点M∈平面α，点M∈平面β，则α与β的位置关系是( )
A．平行
B．相交
C．异面
D．不确定
[答案] B
知识点2 两个平面平行的判定定理
自然语言
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行
符号语言
a?α，b?α，a∩b＝A，a∥β，b∥β?α∥β
图形语言
2．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若平面α内的两条直线分别与平面β平行，则α与β平行．
( )
(2)若平面α内的两条不平行的直线分别与平面β平行，则α与β平行．
( )
(3)若平面α内有一条直线平行于平面β，平面β内也有一条直线平行于α，则α与β平行．
( )
(4)若平面α内的任何直线都与平面β平行，则α与β平行．
( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
知识点3 两个平面平行的性质定理
自然语言
两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行
符号语言
α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b
图形语言
两平行平面内的直线是否相互平行？
[提示] (1)已知两个平面平行，显然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线．
(2)该定理提供了证明线线平行的另一种方法，应用时要紧扣与两个平行平面都相交的第三个平面．
3．若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的两条直线( )
A．平行
B．异面
C．相交
D．平行或异面
[答案] D
知识点4 两个平行平面间的距离
(1)公垂线与公垂线段
与两个平行平面都垂直的直线，叫作这两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的线段，叫作这两个平行平面的公垂线段．
(2)两个平行平面间的距离
两个平行平面的公垂线段都相等．公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离．
4．如图，在四棱锥P?ABCD中，E，F，G，H分别为PA，PB，PC，PD的中点，PA⊥平面AC，若PA＝2，则平面EFGH与平面ABCD的距离为________．
1 [∵E，F，G，H为PA，PB，PC，PD的中点，
∴平面EFGH∥平面ABCD，
∵PA⊥平面AC，∴PA⊥平面EG，
∴AE为平面AC与平面EG的公垂线段，
∴AE＝PA＝1．]
类型1 面面平行判定定理的应用
【例1】 如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点．
求证：(1)E，F，B，D四点共面；
(2)平面MAN∥平面EFDB．
[证明] (1)连接B1D1．
∵E，F分别是边B1C1，C1D1的中点，
∴EF∥B1D1．
而BD∥B1D1，
∴BD∥EF．
∴E，F，B，D四点共面．
(2)易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，
∴MN∥BD．
又MN?平面EFDB，BD?平面EFDB，
∴MN∥平面EFDB．连接MF．
∵M，F分别是A1B1，C1D1的中点，
∴MF∥A1D1，MF＝A1D1．
∴MF∥AD，MF＝AD．
∴四边形ADFM是平行四边形，
∴AM∥DF．
又AM?平面EFDB，DF?平面EFDB，
∴AM∥平面EFDB．
又∵AM∩MN＝M，
∴平面MAN∥平面EFDB．
证明两平面平行的主要方法是用判定定理，即将“面面平行”转化为“线面平行”再转化为“线线平行”，具体操作就是在其中一个面内寻找出两条相交直线，均平行于另一个平面，而寻找这两条相交直线时，应结合条件，常用到中位线定理、平行四边形的性质、比例线段等平面几何知识.
[跟进训练]
1．如图，已知四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD．求证：平面MNQ∥平面PBC．
[证明] ∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，
∴MQ∥AD，NQ∥BP．
∵BP?平面PBC，NQ?平面PBC，
∴NQ∥平面PBC．
又底面ABCD为平行四边形，
∴BC∥AD，
∴MQ∥BC，
∵BC?平面PBC，MQ?平面PBC，
∴MQ∥平面PBC．
又MQ∩NQ＝Q，根据平面与平面平行的判定定理，得平面MNQ∥平面PBC．
类型2 面面平行性质定理的应用
【例2】 如图所示，平面α∥平面β，△ABC，△A′B′C′分别在α，β内，线段AA′，BB′，CC′共点于O，O在α，β之间，若AB＝2，AC＝1，∠BAC＝90°，OA∶OA′＝3∶2．求△A′B′C′的面积．
[解] 相交直线AA′，BB′所在平面和两平行平面α，β分别相交于AB，A′B′．
由面面平行的性质定理可得AB∥A′B′．
同理相交直线BB′，CC′确定的平面和平行平面α，β分别相交于BC，B′C′，从而BC∥B′C′．
同理易证AC∥A′C′．
∴∠BAC与∠B′A′C′的两边对应平行且方向相反，
∴∠BAC＝∠B′A′C′．
同理∠ABC＝∠A′B′C′，∠BCA＝∠B′C′A′．
∴△ABC与△A′B′C′的三内角分别相等，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∵AB∥A′B′，AA′∩BB′＝O，
∴在平面ABA′B′中，△AOB∽△A′OB′．
∴＝＝．
而S△ABC＝AB·AC＝×2×1＝1．
∴＝，
∴S△A′B′C′＝S△ABC＝×1＝．
通过面面平行的性质定理将面面平行转化得到线线平行，这是直接利用面面平行的性质定理.利用面面平行的关键是要找到过已知的直线与已知的直线平行的平面.
[跟进训练]
2．如图所示，已知三棱柱ABC?A1B1C1，D是BC的中点，D1是B1C1的中点，设平面A1D1B∩平面ABC＝l1，平面ADC1∩平面A1B1C1＝l2．求证：l1∥l2．
[证明] 连接D1D(图略)，
∵D与D1分别是BC与B1C1的中点，∴DD1BB1．又BB1AA1，
∴DD1AA1，∴A1D1∥AD．
又平面A1B1C1∥平面ABC，
且平面A1B1C1∩平面A1D1B＝A1D1，
平面A1D1B∩平面ABC＝l1，
∴A1D1∥l1．
同理可证AD∥l2，
又A1D1∥AD，即A1D1∥l2，
∴l1∥l2．
类型3 面面平行关系的综合应用
【例3】 如图所示，AB，CD是夹在平行平面α，β之间的线段，且A，C∈α，B，D∈β，点E，F分别在线段AB，CD上，且＝．求证：EF∥平面β．
利用面面平行的性质，将证明线面平行转化为证明面面平行.
[证明] 如图所示，连接BC并在BC上取一点G，使得＝，则在△BAC中，EG∥AC，而AC?平面α，EG?平面α，
∴EG∥α．
又α∥β，∴EG∥β．
同理可得GF∥BD，而BD?β，GF?β，
∴GF∥β．
又EG∩GF＝G，
∴平面EGF∥β．
又EF?平面EGF，
∴EF∥平面β．
线面平行与面面平行性质定理着重体现了平行间的转化思想.转化是综合应用的关键.
[跟进训练]
3．如图所示，在三棱柱ABC?A1B1C1中，E是AC的中点，求证：AB1∥平面BEC1．
[证明] 如图，取A1C1的中点F，连接AF，B1F．
∵E为AC的中点，∴AF∥C1E．
∵AF?平面BEC1，C1E?平面BEC1，∴AF∥平面BEC1．
连接EF，由E，F分别是AC，A1C1的中点，
可知EFAA1BB1，
∴BE∥B1F，
又B1F?平面BEC1，BE?平面BEC1，
∴B1F∥平面BEC1，∵B1F∩AF＝F，
∴平面BEC1∥平面AB1F．
∵AB1?平面AB1F，
∴AB1∥平面BEC1．
1．设直线l，m，平面α，β，下列条件能得出α∥β的是( )
A．l?α，m?α，且l∥β，m∥β
B．l?α，m?β，且l∥m
C．l⊥α，m⊥β，且l∥m
D．l∥α，m∥β，且l∥m
C [A不正确，α与β有可能相交，也有可能平行；
B不正确，α与β有可能相交，也有可能平行；
C正确，∵l⊥α，l∥m，∴m⊥α，又m⊥β，∴α∥β；
D不正确，α与β有可能相交，也有可能平行．]
2．两个平行平面与另两个平行平面相交所得四条直线的位置关系是( )
A．两两相互平行
B．两两相交于一点
C．两两相交但不一定交于同一点
D．两两相互平行或交于同一点
A [根据面面平行的性质定理，可知四条直线两两相互平行．故选A．]
3．如图所示，已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为3，点E在A1B1上，且B1E＝1，记图中阴影平面为平面α，且平面α∥平面BC1E．若平面α∩平面AA1B1B＝A1F，则AF的长为( )
A．
B．1
C．
D．2
B [因为平面α∥平面BC1E，且平面α∩平面AA1B1B＝A1F，平面BC1E∩平面AA1B1B＝BE，所以A1F∥BE．又A1E∥BF，所以四边形A1EBF是平行四边形，所以A1E＝BF．又因为AB＝A1B1＝3，B1E＝1，所以AF＝B1E＝1．故选B．]
4．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面的位置关系是________．
平行或相交 [有无数条直线平行于另一个平面并不能保证平面内没有一条直线与另一个平面相交．]
5．若不共线的三点到平面α的距离相等，则这三点确定的平面β与α之间的关系是________．
平行或相交 [若三点在平面α的同侧，则α∥β；若三点在平面α的异侧，则α与β相交．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．判断两个平面平行的方式有哪些？
[提示] (1)定义法：α∩β＝?；
(2)定理法：?α∥β．
2．三种平行关系是如何转化的？
[提示]
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-第2课时 两平面垂直
学
习
任
务
核
心
素
养
1．了解二面角的概念，能在常见空间图形中度量二面角．(难点)2．理解并掌握面面垂直的判定定理．(难点、重点)3．掌握面面垂直的性质定理及其应用方法．(难点、重点)
1．通过对二面角和平面与平面垂直定义的理解，培养数学抽象素养．2．通过应用平面与平面垂直的判定定理和性质定理，培养逻辑推理素养．
1970年4月24日，我国用自制“长征一号”运载火箭，在酒泉卫星发射中心成功地发射了第一颗人造地球卫星——“东方红一号”，这标志着我国在征服太空的道路上迈出了巨大的一步，跻身于世界航天先进国家之列．同学们，你知道吗？“东方红一号”轨道的倾斜角是68.5°，也就是卫星轨道平面与地球赤道平面所成的二面角是68.5°．那么二面角是如何刻画的呢？研究二面角又有何重要作用呢？
知识点1 与二面角有关的概念
(1)平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面．一般地，一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，每个半平面叫作二面角的面．棱为AB，面为α，β的二面角，记作二面角α?AB?β．
(2)一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角．
(3)二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．我们约定，二面角α的大小范围是0°≤α≤180°．平面角是直角的二面角叫作直二面角．一般地，如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直．
1．下列命题：
①两个相交平面组成的图形叫作二面角；
②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；
③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；
④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．
其中正确的是________．
[答案] ②④
知识点2 平面与平面垂直的判定定理
自然语言
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直
符号语言
l⊥α，l?β?α⊥β
图形语言
2．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两平面相交，如果所成的二面角是直角，则这两个平面垂直．
( )
(2)一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面一定垂直．
( )
(3)一条直线与两个平面中的一个平行，与另一个垂直，则这两个平面垂直．
( )
(4)一个平面与两平行平面中的一个垂直，则与另一个平面也垂直．
( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)√
知识点3 平面与平面垂直的性质定理
自然语言
两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直
符号语言
α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β
图形语言
3．设平面α⊥平面β，在平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则( )
A．直线a必垂直于平面β
B．直线b必垂直于平面α
C．直线a不一定垂直于平面β
D．过a的平面与过b的平面垂直
C [当b＝α∩β时，必有a⊥β；当b不是α与β的交线时，直线a不一定垂直于平面β．]
类型1 面面垂直的判定定理的应用
【例1】 已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD，M，N分别是AB，PC的中点．求证：平面MND⊥平面PCD．
[证明] 如图，取PD的中点E，连接AE，NE．
∵E，N分别是PD，PC的中点，
∴ENCD．
又ABCD，AM＝AB，
∴ENAM，
∴四边形AMNE是平行四边形，
∴MN∥AE．
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．
又CD⊥AD，PA∩AD＝A，
∴CD⊥平面PAD，
∴CD⊥AE．
在等腰直角三角形PAD中，AE是斜边PD上的中线，
∴AE⊥PD．又CD∩PD＝D，
∴AE⊥平面PCD．
又MN∥AE，∴MN⊥平面PCD．
∵MN?平面MND，
∴平面MND⊥平面PCD．
面面垂直的判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只需转证线面垂直，关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直.
[跟进训练]
1．如图，三棱柱ABC?A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∠ACB＝90°，AA1＝2AC，D是棱AA1的中点．求证：平面BDC1⊥平面BDC．
[证明] 由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，
∴BC⊥平面ACC1A1．
又∵DC1?平面ACC1A1，
∴DC1⊥BC．
由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，
∴∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC．
又∵DC∩BC＝C，
∴DC1⊥平面BDC，
∵DC1?平面BDC1，
∴平面BDC1⊥平面BDC．
类型2 面面垂直性质的应用
【例2】 如图，在三棱锥S?ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB．过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：
(1)平面EFG∥平面ABC；
(2)BC⊥SA．
[证明] (1)因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB的中点．
又因为E是SA的中点，
所以EF∥AB．
因为EF?平面ABC，AB?平面ABC，所以EF∥平面ABC．
同理EG∥平面ABC．又EF∩EG＝E，
所以平面EFG∥平面ABC．
(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB．
又AF?平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC．
因为BC?平面SBC，所以AF⊥BC．
又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF?平面SAB，AB?平面SAB，所以BC⊥平面SAB．
因为SA?平面SAB，所以BC⊥SA．
1．证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．
2．利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线．
[跟进训练]
2．如图，在四棱锥P?ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．
求证：(1)PA⊥底面ABCD；
(2)平面BEF⊥平面PCD．
[证明] (1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD．
(2)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，
所以BE⊥CD，AD⊥CD．
由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD．
又PA∩AD＝A，
所以CD⊥平面PAD，
所以CD⊥PD．
因为E和F分别是CD和PC的中点，
所以PD∥EF，
所以CD⊥EF，
又EF∩BE＝E，
所以CD⊥平面BEF．
因为CD?平面PCD，
所以平面BEF⊥平面PCD．
类型3 求二面角的大小
【例3】 如图所示，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AB＝2，BC＝，PB＝，求二面角P?BC?A的大小．
先利用二面角的平面角的定义找平面角，再通过解三角形求解.
[解] ∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC．
又∵AC⊥BC，PA∩AC＝A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，
∴BC⊥平面PAC．
又∵PC?平面PAC，
∴BC⊥PC．
又∵BC⊥AC．
∴∠PCA为二面角P?BC?A的平面角．
在Rt△PBC中，
∵PB＝，BC＝，
∴PC＝2．
在Rt△ABC中，AC＝＝，
∴在Rt△PAC中，cos∠PCA＝＝，
∴∠PCA＝45°，即二面角P?BC?A的大小为45°．
解决二面角问题的策略
[跟进训练]
3．如图(1)所示，在平面四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝a，∠B＝90°，∠BCD＝135°．沿对角线AC将四边形折成直二面角，如图(2)所示．
(1) (2)
(1)求证：平面ABD⊥平面BCD；
(2)求二面角B?AD?C的大小．
[解] (1)证明：如图，
∵∠ACD＝135°－45°＝90°，
∴CD⊥AC．由已知二面角B?AC?D是直二面角，
过B作BO⊥AC，垂足为O，
由AB＝BC知O为AC中点，
作OE⊥AC交AD于E，
则∠BOE＝90°，∴BO⊥OE．
而OE∩AC＝O，
∴BO⊥平面ACD．
又∵CD?平面ACD，
∴BO⊥CD．
又AC∩BO＝O，
∴CD⊥平面ABC．
∵AB?平面ABC，
∴AB⊥CD，由已知∠ABC＝90°，
∴AB⊥BC．而BC∩CD＝C，
∴AB⊥平面BCD．
又∵AB?平面ABD，
∴平面ABD⊥平面BCD．
(2)由(1)知BO⊥平面ACD，∴BO⊥AD．
作OF⊥AD，连接BF，则OF⊥AD．
又BO∩OF＝O，
∴AD⊥平面BOF，
∴AD⊥BF，
∴∠BFO为二面角B?AD?C的平面角．
∵AB＝BC＝a，
∴AC＝a，BO＝a．
∵CD＝a，∴OE＝，AE＝a，
∴OF＝＝＝a，
∴BF＝＝eq
\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),6)a)))＝a，
∴cos∠BFO＝＝，
∴∠BFO＝60°，
即二面角B?AD?C的大小为60°．
1．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是( )
A．m⊥n，m∥α，n∥β
B．m⊥n，α∩β＝m，n?α
C．m∥n，n⊥β，m?α
D．m∥n，m⊥α，n⊥β
C [∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又m?α，由面面垂直的判定定理得α⊥β．]
2．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则( )
A．α∥γ
B．α⊥γ
C．α与γ相交但不垂直
D．以上都有可能
D [两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面可能平行，也可能相交，故A，B，C都有可能．]
3．如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有( )
A．1对
B．2对
C．3对
D．5对
D [∵四边形ABCD是矩形，
∴DA⊥AB．
又PA⊥矩形ABCD，
∴PA⊥DA．
又AB∩PA＝A，
∴DA⊥平面PAB．
同理BC⊥平面PAB．
又易证AB⊥平面PAD，DC⊥平面PAD，
∴平面PAD⊥平面AC，平面PAB⊥平面AC，平面PBC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面PAD，平面PDC⊥平面PAD，共5对．]
4．已知l⊥α，则过l与α垂直的平面有________个．
无数 [由面面垂直的判定定理知，
凡过l的平面都垂直于平面α，这样的平面有无数个．]
5．已知三棱锥D?ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝，BC＝2，则二面角D?BC?A的大小为________．
90° [如图，由题意知AB＝AC＝BD＝CD＝，BC＝AD＝2．
取BC的中点E，连接DE，AE，则AE⊥BC，DE⊥BC，
所以∠DEA为所求二面角的平面角．易得AE＝DE＝，又AD＝2，AD2＝AE2＋DE2，所以∠DEA＝90°．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角的大小关系如何？
[提示] 关系无法确定．如图所示，平面EFDG⊥平面ABC，当平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直，所以两个二面角的大小关系不确定，因为二面角H?DG?F的大小不确定．
2．判断两个平面垂直的方式有哪些？
[提示] (1)二面角为直角；
(2)?α⊥β．
3．三种垂直关系间存在怎样的内在联系？
[提示]
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