13.3 空间图形的表面积和体积
13.3.1 空间图形的表面积
学
习
任
务
核
心
素
养
1．了解直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台的几何特征．(重点)2．了解柱、锥、台的表面积的计算公式．(易错点)3．会求直棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆锥和圆台的表面积．(重点、难点)
1．通过对柱、锥、台的侧面展开，培养直观想象素养．2．通过利用柱、锥、台的侧面积和表面积计算公式，培养数学运算素养．
1．在下图中，哪些图形是空间图形的展开图？
2．下图中分别是哪些空间图形的侧面展开图？
知识点1 几种特殊的多面体
(1)直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱叫作直棱柱．
(2)正棱柱：底面为正多边形的直棱柱叫作正棱柱．
(3)正棱锥：一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心，那么称这样的棱锥为正棱锥．正棱锥的侧棱长都相等，侧面均为全等的等腰三角形．
(4)正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫作正棱台．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)棱长都相等的长方体是正方体．
( )
(2)有两个相邻侧面为矩形的棱柱为直棱柱．
( )
(3)有两个侧面与底面垂直的棱柱为直棱柱．
( )
(4)底面为菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱．
( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√
知识点2 几种简单空间图形的侧面展开图与侧面积
空间图形
直观图
侧面展开图
侧面积
直(正)棱柱
S直(正)棱柱侧＝ch
正棱锥
S正棱锥侧＝ch′
正棱台
S正棱台侧＝(c＋c′)h′
圆柱
S圆柱侧＝cl＝2πrl
圆锥
S圆锥侧＝cl＝πrl
圆台
S圆台侧＝(c＋c′)l＝π(r＋r′)l
圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系？
[提示] S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π(r′＋r)lS圆锥侧＝πrl．
2．正三棱锥的底面边长为a，高为a，则此棱锥的侧面积为________．
a2 [如图，在正三棱锥S?ABC中，过点S作SO⊥平面ABC于O点，则O为△ABC的中心，连接AO并延长与BC相交于点M，连接SM，SM即为斜高h′，在Rt△SMO中，h′＝
eq
\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)a))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)a)))＝a，所以侧面积S＝3××a×a＝a2．]
3．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于________．
2π [以正方形的一边所在直线为轴旋转得到的圆柱底面半径r＝1，高h＝1，所以侧面积S＝2πrh＝2π．]
类型1 棱柱、棱锥和棱台的侧面积和表面积
【例1】 正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，高是3
cm，求它的表面积．
由S侧与S底的关系，求得斜高与底面边长之间的关系，进而求出斜高和底面边长，最后求表面积.
[解] 如图，设PO＝3(cm)，PE是斜高，
∵S侧＝2S底，
∴4××BC×PE＝2BC2．
∴BC＝PE．
在Rt△POE中，PO＝3(cm)，OE＝BC＝PE．
∴9＋＝PE2，
∴PE＝2(cm)．
∴S底＝BC2＝PE2＝(2)2＝12(cm2)．
S侧＝2S底＝2×12＝24(cm2)．
∴S表＝S底＋S侧＝12＋24＝36(cm2)．
求棱锥、棱台及棱柱的侧面积和表面积的关键是求底面边长，高，斜高，侧棱.求解时要注意直角三角形和梯形的应用.
[跟进训练]
1．已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20
cm和30
cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高．
[解] 如图所示，在三棱台ABC?A′B′C′中，O′，O分别为上、下底面的中心，D，D′分别是BC，B′C′的中点，则DD′是等腰梯形BCC′B′的高，
所以S侧＝3××(20＋30)×DD′＝75DD′(cm2)．
又A′B′＝20
cm，AB＝30
cm，则上、下底面面积之和为S上＋S下＝×(202＋302)＝325(cm2)．
由S侧＝S上＋S下，得75DD′＝325，
所以DD′＝
(cm)，
又因为O′D′＝×20＝(cm)，
OD＝×30＝5(cm)，
所以棱台的高h＝O′O＝
＝
＝4(cm)．
类型2 圆柱、圆锥和圆台的侧面积和表面积
【例2】 已知圆锥的底面半径为R，高为3R．若它的内接圆柱的底面半径为R，求该圆柱的全面积．
[解] 设圆柱底面半径为r，高为h，
由题意知r＝R，∴＝，∴h＝R，
∴S圆柱全＝2πr2＋2πrh＝2π＋2π＝πR2．
1．圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上，因此准确把握轴截面中相关量是求解旋转体表面积的关键．
2．解决柱体、锥体、台体、球体中的接、切问题，通常是作出轴截面，转化为平面问题来求解．
[跟进训练]
2．圆台的上、下底面半径分别是10
cm和20
cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积是多少？
[解] 如图所示，设圆台的上底面周长为c，因为扇环的圆心角是180°，
故c＝π·SA＝2π×10，
所以SA＝20(cm)，同理可得SB＝40(cm)，
所以AB＝SB－SA＝20(cm)，
所以S表面积＝S侧＋S上＋S下
＝π(r1＋r2)·AB＋πr＋πr
＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1
100π(cm2)．
故圆台的表面积为1
100π
cm2．
类型3 空间图形侧面积和全面积的实际应用
【例3】 用油漆涂100个圆台形水桶(桶内、外侧都要涂)，桶口直径为30
cm，桶底直径为25
cm，母线长是27.5
cm，已知每平方米需要油漆150
g，共需要多少油漆？(精确到0.1
kg)
[解] 每个水桶需要涂油漆的面积为S＝(S桶底＋S侧)×2
＝π×2
＝0.182
5π(m2)，
因此100个水桶需要油漆100×0.182
5π×0.15≈8.6(kg)．
对于有关空间图形侧面积和全面积的实际问题，求解的关键是把题设信息数学化，然后借助数学知识解决该问题．
[跟进训练]
3．一个正三棱台的两底面的边长分别为8
cm、18
cm，侧棱长是13
cm，求它的全面积．
[解] 上底面周长为c′＝3×8＝24(cm)，
下底面周长c＝3×18＝54(cm)，
斜高h′＝＝12(cm)，
所以S正棱台侧＝(c＋c′)h′＝×(24＋54)×12＝468(cm2)，
S上底面＝×82＝16(cm2)，
S下底面＝×182＝81(cm2)，
所以正三棱台的全面积为
S＝468＋16＋81＝468＋97
cm2．
1．圆台的上、下底面半径分别是3和4，母线长为6，则其表面积等于( )
A．42π
B．51π
C．58π
D．67π
D [S圆台表＝S圆台侧＋S上底＋S下底＝π(3＋4)×6＋π×32＋π×42＝67π．]
2．在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40
cm，母线长最短50
cm，最长80
cm，则斜截圆柱的侧面面积S＝( )
A．2
600
cm2
B．5
200
cm2
C．2
600π
cm2
D．5
200π
cm2
C [几何体的50
cm到80
cm处的截去的部分的面积和余下的面积相等，将几何体侧面展开，上部分面积为×40π，下部分的面积为50×40
π，由此可知，斜截圆柱的侧面面积S＝50×40π＋×40π＝2
600π，故选C．]
3．圆锥的母线长是4，侧面积是4π，则该圆锥的高为( )
A．
B．4
C．3
D．2
A [设圆锥的母线长l＝4，底面半径为r，高为h，则πrl＝4π，解得r＝1，所以h＝＝＝．故选A．]
4．一个圆柱的底面面积是S，其侧面积展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为________．
4πS [设圆柱的底面半径为R，则S＝πR2，R＝，底面周长c＝2πR．故圆柱的侧面积为S圆柱侧＝c2＝(2πR)2＝4π2＝4πS．]
5．一座仓库的屋顶呈正四棱锥形，底面的边长为2.7
m，侧棱长为2.3
m，如果要在屋顶上铺一层油毡纸，则需多少油毡纸？(精确到0.1
m2)
[解] 如图所示，设SE是侧面三角形ABS的高，则SE就是正四棱锥的斜高．
在Rt△SAE中，SA＝2.3
m，AE＝1.35
m，
所以SE＝≈1.86(m)，而底面周长＝4×2.7＝10.8(m)，
所以S棱锥侧≈×10.8×1.86≈10.0(m2)．
故需要油毡纸约10.0
m2．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．空间几何体的侧面展开图与侧面积之间存在什么关系？
[提示] 相等．
2．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间存在怎样的联系？
[提示]
3．旋转体的表面积问题通常借助哪些量求解？在求解时常化归到哪些图形中？
[提示] 旋转体的表面积问题常借助底面半径、母线长及高求解，求解时常借助轴截面化归到等腰三角形、矩形或等腰梯形中求解．
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-13.3.2 空间图形的体积
学
习
任
务
核
心
素
养
1．了解柱、锥、台和球的体积的计算公式．(重点)2．会求柱、锥、台和球的体积．(重点、易错点)3．会求简单组合体的体积及表面积．(难点)
1．通过对柱、锥、台的体积公式与球的体积、表面积公式的理解，培养直观想象素养．2．通过利用柱、锥、台和球的体积公式求几何体的体积，培养数学运算素养．
取一摞书或一摞纸张堆放在桌面上，将它按如图所示的方式改变一下形状，这时高度没有改变，每页纸的面积也没有改变，因而这摞书或纸张的体积与变形前相等．
这就是中国古代的“祖暅原理”，是我们研究空间图形的体积公式的理论基础．
知识点1 柱体、锥体、台体的体积
空间图形
体积
柱体
V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)
V圆柱＝πr2h(r为底面半径)
锥体
V锥体＝Sh(S为底面面积，h为高)
V圆锥＝r2h(r为底面半径)
台体
V台体＝h(S＋＋S′)(S′，S分别为上、下底面面积，h为高)，V圆台＝πh(r′2＋rr′＋r2)(r′，r分别为上、下底面半径)
柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？
[提示] V＝ShV＝(S′＋＋S)hV＝Sh．
1．若正方体的体对角线长为a，则它的体积为______．
a3 [设正方体的边长为x，则x＝a，故x＝，V＝a3．]
知识点2 球的体积和表面积
若球的半径为R，则
(1)球的体积V＝πR3．
(2)球的表面积S＝4πR2．
2．若球的表面积为36π，则该球的体积等于________．
36π [设球的半径为R，由题意可知4πR2＝36π，
∴R＝3．
∴该球的体积V＝πR3＝36π．]
类型1 多面体的体积
【例1】 如图，已知在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1＝AC＝4，BC＝3，AC⊥BC，点D是AB的中点，求三棱锥A1?B1CD的体积．
[解] ∵AA1＝AC＝4，BC＝3，AC⊥BC，∴AB＝A1B1＝5．
法一：由题意可知V＝S△ABC×AA1
＝×4×3×4＝24．
又V＝×S△ABC×AA1＝S△ABC×AA1＝4．
V＝×S△ABC×BB1＝S△ABC×BB1＝4．
V＝S×CC1＝8，
∴V＝V－V－V－V
＝24－4－4－8＝8．
法二：在△ABC中，过C作CF⊥AB，垂足为F，
由平面ABB1A1⊥平面ABC知，CF⊥平面A1B1BA．
又S＝A1B1·AA1＝×5×4＝10．
在△ABC中，CF＝＝＝．
∴V＝V＝S·CF
＝×10×＝8．
空间图形的体积的求法
(1)直接法：直接套用体积公式求解．
(2)等体积转化法：在三棱锥中，每一个面都可作为底面．为了求解的方便，我们经常需要换底，此法在求点到平面的距离时也常用到．
(3)分割法：在求一些不规则的空间图形的体积时，我们可以将其分割成规则的、易于求解的空间图形．
(4)补形法：对一些不规则(或难求解)的空间图形，我们可以通过补形，将其补为规则(或易于求解)的空间图形．
[跟进训练]
1．如图，在三棱锥P?ABC中，PA＝a，AB＝AC＝2a，∠PAB＝∠PAC＝∠BAC＝60°，求三棱锥P?ABC的体积．
[解] ∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC为正三角形，设D为BC的中点，连接AD，PD，作PO⊥平面ABC．
∵∠PAB＝∠PAC且AB＝AC，
∴O∈AD．
作PE⊥AB于点E，连接OE，
则OE⊥AB．
在Rt△PAE中，PE＝asin
60°
＝a，AE＝．
在Rt△AEO中，OE＝tan
30°＝a．
∴OP＝＝a．
又S△ABC＝BC·AD＝a2．
∴VP?ABC＝S△ABC·OP＝a3．
类型2 旋转体的体积
【例2】 圆台上底的面积为16π
cm2，下底半径为6
cm，母线长为10
cm，那么圆台的侧面积和体积各是多少？
[解] 如图，由题意可知，圆台的上底圆半径为4
cm，
于是S圆台侧＝π(r＋r′)l＝100π(cm2)．
圆台的高h＝BC
＝
＝＝4(cm)，
V圆台＝h(S＋＋S′)
＝×4×(16π＋＋36π)＝(cm3)．
求台体的体积关键是求高，为此常将有关计算转化为平面图形?三角形或特殊四边形?来计算.对于棱台往往要构造直角梯形和直角三角形；在旋转体中通常要过旋转轴作截面得到直角三角形、矩形或等腰梯形.
[跟进训练]
2．如图，△ABC的三边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积．
[解] 如图所示，所得的旋转体是两个底面重合的圆锥的组合体，高的和AB＝5，
底面半径DC＝＝，
故S表＝π·DC·(BC＋AC)＝π，
V＝π·CD2·DA＋π·CD2·BD
＝π·CD2·(DA＋BD)＝π．
类型3 空间图形的外接圆内切球的问题
【例3】 已知正四面体的棱长为a，四个顶点都在同一个球面上，试求这个球的表面积和体积．
正四面体的顶点都在同一个球面上，球心和正四面体的中心什么关系？球心与正四面体各顶点的距离与球的半径什么关系？
[解] 如图所示，设正四面体P?ABC的高为PO1，球的球心为O，半径为R，则
AO1＝AB＝a．
在Rt△PO1A中，
PO1＝
＝eq
\r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)a)))＝a，
在Rt△OO1A中，AO2＝AO＋OO，
即R2＝＋，解得R＝a．
所以球的表面积S＝4πR2＝4π＝πa2，
体积V＝πR3＝π＝πa3．
处理有关空间图形外接球的问题时，要注意球心的位置与空间图形的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总是在空间图形的特殊位置，比如中心、对角线中点等.该类问题的求解就是根据空间图形的相关数据求球的直径或半径.
[跟进训练]
3．已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC＝BC＝6，AB＝4，求球面面积与球的体积．
[解] 如图，设球心为O，球半径为R，作OO1⊥平面ABC于点O1，由于OA＝OB＝OC＝R，则O1是△ABC的外心，设M是AB的中点，
由于AC＝BC，则O1∈CM．
设O1M＝x，易知O1M⊥AB，
则O1A＝，O1C＝CM－O1M＝－x．
又O1A＝O1C，∴＝－x，
解得x＝．
∴O1A＝O1B＝O1C＝．
在Rt△OO1A中，O1O＝，∠OO1A＝90°，OA＝R，
由勾股定理得＋＝R2，解得R＝，
则S球＝4πR2＝54π，V球＝πR3＝27π．
1．已知棱长为a的正方体，甲球是正方体的内切球，乙球是正方体的外接球，丙球与正方体的各棱都相切，则甲、乙、丙三球的表面积之比为( )
A．1∶3∶
B．1∶3∶2
C．1∶∶
D．1∶∶
B [由甲球是正方体的内切球，设甲球的半径为R1，则2R1＝a，所以R1＝，所以甲球的表面积S1＝4πR＝4π×＝πa2．由乙球是正方体的外接球，设乙球的半径为R2，则2R2＝＝a，所以R2＝，所以乙球的表面积S2＝4πR＝4π×＝3πa2．由丙球与正方体的各棱相切，设丙球的半径为R3，则2R3＝＝a，所以R3＝，所以丙球的表面积S3＝4πR＝4π×＝2πa2．所以S1∶S2∶S3＝πa2∶3πa2∶2πa2＝1∶3∶2．故选B．]
2．圆台上底面半径为2，下底面半径为6，母线长为5，则圆台的体积为( )
A．40π
B．52π
C．50π
D．π
B [作出圆台的轴截面如图所示，过D作DE⊥NC于点E．
由已知得上底面半径MD＝2，下底面半径NC＝6，
则EC＝6－2＝4．由CD＝5得DE＝3，即圆台的高为3．所以圆台的体积V＝×3π×(22＋2×6＋62)＝52π．故选B．]
3．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等．其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台．如图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位：cm)，那么该壶的容量约为( )
A．100
cm3
B．200
cm3
C．300
cm3
D．400
cm3
B [如图，设小圆锥的高为x
cm，则＝，解得x＝6．所以该壶的容量为－＝≈200(cm3)，故选B．]
4．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2
cm，高为2
cm，内孔半径为0.5
cm，则此六角螺帽毛坯的体积是________
cm3．
12－ [此六角螺帽毛坏的体积V＝V正六棱柱－V圆柱＝6××22×2－π×2＝cm3．]
5．如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水，若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则＝________．
[由题可知，铁球的体积等于水面上升的体积，因此有πr3＝πR2r，化简可得，＝＝．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．柱体和锥体可以看作“特殊”的台体，它们的体积公式之间存在怎样的关系？
[提示]
2．常见空间几何体体积的求法有哪些？
[提示] 直接法(公式法)、割补法、等体积转化法等．
3．若正方体的边长为a，则其内切球和外接球的半径分别为多少？
[提示] 内切球的半径R＝，外接球的半径R＝a．
4．若长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则该几何体外接球的半径为多少？
[提示] R＝．
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9
-第13章
立体几何初步
类型1 空间中的平行关系
空间中的平行关系主要包括线与线的平行、线与面的平行以及面与面的平行．
1．证明线与线的平行的常用方法：
①定义；②平行线的传递性，即a∥b，a∥c，则b∥c；③线面平行的性质定理；④线面垂直的性质定理；⑤面面平行的性质定理等．
2．判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a?α?a∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a?β，a∥α?a∥β)．
3．证明面面平行的方法：(1)利用面面平行的定义；(2)利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行；(3)垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．
【例1】 如图，E，F，G，H分别是正方体ABCD?A1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点．
求证：(1)GE∥平面BDD1B1；
(2)平面BDF∥平面B1D1H．
[证明] (1)取B1D1的中点O，连接GO，OB，
易证OGB1C1，BEB1C1，
∴OGBE，四边形BEGO为平行四边形，
∴OB∥GE．
∵OB?平面BDD1B1，GE?平面BDD1B1，
∴GE∥平面BDD1B1．
(2)由正方体性质得B1D1∥BD，
∵B1D1?平面BDF，BD?平面BDF，
∴B1D1∥平面BDF．
连接HB，D1F，易证HBFD1
是平行四边形，
得HD1∥BF．
∵HD1?平面BDF，BF?平面BDF，
∴HD1∥平面BDF．
∵B1D1∩HD1＝D1，
∴平面BDF∥平面B1D1H．
[跟进训练]
1．如图，AB是圆O的直径，C是圆O上的点，P为平面ABC外一点．设Q为PA的中点，G为△AOC的重心．求证：QG∥平面PBC．
[证明] 如图，连接OG并延长，交AC于点M，连接QM，QO．由G为△AOC的重心，得M为AC的中点．
由Q为PA的中点，得QM∥PC．
又O为AB的中点，所以OM∥BC．
因为QM∩MO＝M，QM?平面QMO，MO?平面QMO，BC∩PC＝C，BC?平面PBC，PC?平面PBC，所以平面QMO∥平面PBC．
又QG?平面QMO，
所以QG∥平面PBC．
类型2 空间中的垂直关系
空间中的垂直关系主要包括线与线的垂直、线与面的垂直及面与面的垂直．
(1)判定线线垂直的方法
①计算所成的角为90°(包括平面角和异面直线所成的角)；
②线面垂直的性质(若a⊥α，b?α，则a⊥b)．
(2)判定线面垂直的方法
①线面垂直的定义(一般不易验证任意性)；
②线面垂直的判定定理(a⊥m，a⊥n，m?α，n?α，m∩n＝A?a⊥α)；
③平行线垂直平面的传递性质(a∥b，b⊥α?a⊥α)；
④面面垂直的性质定理(α⊥β，α∩β＝l，a?β，a⊥l?a⊥α)；
⑤面面平行的性质(a⊥α，α∥β?a⊥β)；
⑥面面垂直的性质(α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ?l⊥γ)．
(3)面面垂直的判定方法
①根据定义(作两平面构成二面角的平面角，计算其为90°)；
②面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β)．
【例2】 如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点．
求证：(1)DE＝DA；
(2)平面BDM⊥平面ECA；
(3)平面DEA⊥平面ECA．
[证明] (1)如图所示，取EC的中点F，连接DF，易知DF∥BC，∵EC⊥BC，∴DF⊥EC．
在Rt△DEF和Rt△DBA中，
∵EF＝EC＝BD，FD＝BC＝AB，
∴Rt△DFE≌Rt△ABD，故DE＝DA．
(2)取CA的中点N，连接MN，BN，则MNEC，
∴MN∥BD，即N点在平面BDM内．
∵EC⊥平面ABC，
∴EC⊥BN．
又CA⊥BN，EC∩CA＝C，
∴BN⊥平面ECA．
∵BN在平面MNBD内，
∴平面MNBD⊥平面ECA，
即平面BDM⊥平面ECA．
(3)∵DM∥BN，BN⊥平面ECA，∴DM⊥平面ECA．
又DM?平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA．
[跟进训练]
2．如图，四棱锥P?ABCD的底面为平行四边形，PD⊥平面ABCD，M为PC的中点．
(1)求证：AP∥平面MBD；
(2)若AD⊥PB，求证：BD⊥平面PAD．
[证明] (1)如图，连接AC交BD于点O，连接OM．
因为底面ABCD是平行四边形，所以点O为AC的中点．又M为PC的中点，所以OM∥PA．
因为OM?平面MBD，AP?平面MBD，
所以AP∥平面MBD．
(2)因为PD⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，
所以PD⊥AD．
因为AD⊥PB，PD∩PB＝P，PD?平面PBD，PB?平面PBD，所以AD⊥平面PBD．
因为BD?平面PBD，所以AD⊥BD．
因为PD⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PD⊥BD．
又因为BD⊥AD，AD∩PD＝D，AD?平面PAD，PD?平面PAD，
所以BD⊥平面PAD．
类型3 空间图形的体积及表面积
柱、锥、台、球的表面积及体积的计算中，表面积的计算要注意侧面展开图、轴截面等在计算中的作用，对于体积的计算，方法较多，主要涉及公式法、割补法、等体积转化法等．
【例3】 如图，四棱锥P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．
(1)证明：MN∥平面PAB；
(2)求四面体N?BCM的体积．
[解] (1)证明：由已知得AM＝AD＝2．
如图，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TN∥BC，TN＝BC＝2．
又AD∥BC，故TNAM，
所以四边形AMNT为平行四边形，
于是MN∥AT．
因为AT?平面PAB，MN?平面PAB，
所以MN∥平面PAB．
(2)因为PA⊥平面ABCD，N为PC的中点，
所以N到平面ABCD的距离为PA．
如图，取BC的中点E，连接AE．
由AB＝AC＝3得，
AE⊥BC，AE＝＝．
由AM∥BC得M到BC的距离为，
故S△BCM＝×4×＝2．
所以四面体N?BCM的体积VN?BCM＝×S△BCM×＝．
[跟进训练]
3．如图，在四棱锥P?ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°．
(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；
(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥P?ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．
[解] (1)证明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，
得AB⊥AP，CD⊥PD．
由于AB∥CD，故AB⊥PD，因为AP∩PD＝P，AP?平面PAD，PD?平面PAD，从而AB⊥平面PAD．
又AB?平面PAB，
所以平面PAB⊥平面PAD．
(2)如图，在平面PAD内作PE⊥AD，垂足为E．
由(1)知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PE，AB⊥AD，
可得PE⊥平面ABCD．
设AB＝x，则由已知可得AD＝x，PE＝x．
故四棱锥P?ABCD的体积VP?ABCD＝AB·AD·PE＝x3．
由题设得x3＝，故x＝2．
从而结合已知可得PA＝PD＝AB＝DC＝2，AD＝BC＝2，PB＝PC＝2．
可得四棱锥P?ABCD的侧面积为PA·PD＋PA·AB＋PD·DC＋BC2sin
60°＝6＋2．
类型4 平面图形的翻折问题
空间几何中的翻折问题是几何证明、求值问题中的重点和难点，在高考中经常考查．
(1)解决与翻折有关的问题的关键是搞清翻折前后的变化量和不变量，一般情况下，折线同一侧的线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口．
(2)在解决问题时，要综合考虑翻折前后的图形，既要分析翻折后的图形，也要分析翻折前的图形．
【例4】 如图，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC＝AP，D是AP的中点，E，F分别为PD，PC的中点，将△PCD沿CD折起得到四棱锥P?ABCD．
(1)G为线段BC上任一点，求证：平面EFG⊥平面PAD；
(2)当G为BC的中点时，求证：AP∥平面EFG．
[证明] (1)在直角梯形ABCP中，
∵BC∥AP，BC＝AP，D为AP的中点．
∴BCAD，又AB⊥AP，AB＝BC，
∴四边形ABCD为正方形，
∴CD⊥AP，CD⊥AD，CD⊥PD．
在四棱锥P?ABCD中，∵E，F分别为PD，PC的中点，
∴EF∥CD，EF⊥AD，EF⊥PD．
又PD∩AD＝D，PD?平面PAD，AD?平面PAD．
∴EF⊥平面PAD．
又EF?平面EFG，∴平面EFG⊥平面PAD．
(2)法一：∵G，F分别为BC和PC的中点，∴GF∥BP．
∵GF?平面PAB，BP?平面PAB，∴GF∥平面PAB．
由(1)知，EF∥DC，∵AB∥DC，∴EF∥AB．
∵EF?平面PAB，AB?平面PAB，
∴EF∥平面PAB．
∵EF∩GF＝F，EF?平面EFG，GF?平面EFG．
∴平面EFG∥平面PAB．∵PA?平面PAB，∴PA∥平面EFG．
法二：取AD中点H，连接GH，HE(图略)．
由(1)知四边形ABCD为正方形．
又G，H分别为BC，AD的中点，∴GH∥CD．
由(1)知，EF∥CD，∴EF∥GH．
∴四点E，F，G，H共面．
∵E，H分别为PD，AD的中点，∴EH∥PA．
∵PA?平面EFGH，EH?平面EFGH．
∴PA∥平面EFGH，即PA∥平面EFG．
[跟进训练]
4．如图(1)所示，在直角梯形ABEF中(图中数字表示线段的长度)，将直角梯形DCEF沿CD折起，使平面DCEF⊥平面ABCD，连接部分线段后围成一个空间图形，如图(2)所示．
(1) (2)
(1)求证：BE∥平面ADF；
(2)求三棱锥F?BCE的体积．
[解] (1)证明：法一：取DF的中点G，连接AG，EG，
∵CE＝DF，
∴EGCD．
又∵ABCD，
∴EGAB，
∴四边形ABEG为平行四边形，
∴BE∥AG．
∵BE?平面ADF，AG?平面ADF，
∴BE∥平面ADF．
法二：由图(1)可知BC∥AD，CE∥DF，折叠之后平行关系不变．
∵BC?平面ADF，AD?平面ADF，
∴BC∥平面ADF．
同理CE∥平面ADF．
∵BC∩CE＝C，BC，CE?平面BCE，
∴平面BCE∥平面ADF．
∵BE?平面BCE，
∴BE∥平面ADF．
(2)法一：∵VF?BCE＝VB?CEF，由图(1)可知BC⊥CD．
∵平面DCEF⊥平面ABCD，平面DCEF∩平面ABCD＝CD，BC?平面ABCD，∴BC⊥平面DCEF．
由图(1)可知DC＝CE＝1，S△CEF＝CE×DC＝，
∴VF?BCE＝VB?CEF＝×BC×S△CEF＝．
法二：由图(1)，可知CD⊥BC，CD⊥CE，
∵BC∩CE＝C，∴CD⊥平面BCE．
∵DF∥CE，点F到平面BCE的距离等于点D到平面BCE的距离为1，由图(1)，可知BC＝CE＝1，S△BCE＝BC×CE＝，∴VF?BCE＝×CD×S△BCE＝．
法三：过E作EH⊥FC，垂足为H，如图所示，由图(1)，可知BC⊥CD，∵平面DCEF⊥平面ABCD，平面DCEF∩平面ABCD＝CD，BC?平面ABCD，
∴BC⊥平面DCEF．
∵EH?平面DCEF，∴BC⊥EH，
∴EH⊥平面BCF．由BC⊥FC，
FC＝＝，
S△BCF＝BC×CF＝，在△CEF中，由等面积法可得EH＝，
∴VF?BCE＝VE?BCF＝×EH×S△BCF＝．
1．(2020·全国卷Ⅰ)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )
A．
B．
C．
D．
C [设正四棱锥的高为h，底面正方形的边长为2a，斜高为m，依题意得h2＝×2a×m，即h2＝am①，易知h2＋a2＝m2②，由①②得m＝a，所以＝＝．故选C．]
2．(2020·全国卷Ⅰ)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为( )
A．64π
B．48π
C．36π
D．32π
A [如图所示，设球O的半径为R，⊙O1的半径为r，因为⊙O1的面积为4π，所以4π＝πr2，解得r＝2，又AB＝BC＝AC＝OO1，所以＝2r，解得AB＝2，故OO1＝2，所以R2＝OO＋r2＝(2)2＋22＝16，所以球O的表面积S＝4πR2＝64π．故选A．]
3．(2020·海南高考)已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点，则三棱锥A?NMD1的体积为________．
[如图，∵正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点，
∴S△ANM＝×1×1＝，
∴V＝V＝××2＝．]
4．(2020·浙江高考)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是________．
1 [法一：设该圆锥的母线长为l，因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，其面积为2π，所以πl2＝2π，解得l＝2，所以该半圆的弧长为2π．设该圆锥的底面半径为R，则2πR＝2π，解得R＝1．
法二：设该圆锥的底面半径为R，则该圆锥侧面展开图中的圆弧的弧长为2πR．因为侧面展开图是一个半圆，设该半圆的半径为r，则πr＝2πR，即r＝2R，所以侧面展开图的面积为·2R·2πR＝2πR2＝2π，解得R＝1．]
5．(2020·江苏高考)在三棱柱ABC?A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．
(1)求证：EF∥平面AB1C1；
(2)求证：平面AB1C⊥平面ABB1．
[解] (1)证明：E，F分别是AC，B1C的中点．
所以EF∥AB1，因为EF?平面AB1C1，AB1?平面AB1C1，
所以EF∥平面AB1C1．
(2)因为B1C⊥平面ABC，AB?平面ABC，
所以B1C⊥AB，
又因为AB⊥AC，AC∩B1C＝C，AC?平面AB1C，
B1C?平面AB1C，所以AB⊥平面AB1C，
因为AB?平面ABB1，所以平面AB1C⊥平面ABB1．
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