15.1 随机事件和样本空间
学
习
任
务
核
心
素
养
1．结合具体实例，理解确定性现象和随机现象．2．结合一次试验，理解样本点、样本空间、随机事件和基本事件的概念．(重点)3．初步学会用集合语言来刻画事件之间的关系．
(重点、难点)
1．通过对确定性现象和随机现象的研究，结合随机事件、必然事件、不可能事件概念的学习，培养数学抽象素养．2．通过写出试验的样本空间，立足集合观念研究随机事件之间的相互关系，培养数学建模素养．
某种福利彩票的中奖率为20%，某人购买彩票100张，就一定有20张彩票中奖吗？带着这样的问题，我们共同学习第15章《概率》．概率论的主要任务是研究随机现象的统计规律，如何用数学语言来刻画随机事件？用怎样的数学模型来量化随机事件的发生的可能性？
知识点1 确定性现象、随机现象
(1)
在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果，这种现象就是确定性现象．
(2)在一定条件下，某种结果可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果，这种现象就是随机现象．
1．有下列现象：①连续掷一枚硬币两次，两次都出现正面向上；②异性电荷互相吸引；③在标准大气压下，水在0
℃结冰；④南通某天下雨．其中是随机现象的是( )
A．①③
B．②③
C．①④
D．③④
C [随机现象的典型特征是不能事先预料哪一种结果会出现，据此逐个分析，所以①④正确．]
知识点2 样本空间、随机事件等概念
(1)试验
对某随机现象进行的实验、观察称为随机试验，简称试验．
(2)样本点、样本空间、随机事件、基本事件的概念
把随机试验的每一个可能结果称为样本点，用ω表示；所有样本点组成的集合称为样本空间，记为Ω；样本空间的子集称为随机事件，也简称事件．事件一般用A，B，C等大写英文字母表示．当一个事件仅包含单一样本点时，称该事件为基本事件．
Ω(全集)是必然事件，?(空集)是不可能事件．
2．在10件同类商品中，有8件红色的，2件白色的，从中任意抽取3件．给出下列事件：①3件都是红色；②3件都是白色；③至少有1件红色；④至少有1件白色．其中是必然事件的序号为________．
③ [因白色商品共2件，而要抽出3件商品，故抽出的3件中至少有1件为红色的，故选③．]
知识点3 事件的构成、事件的并与交
一个事件的完整表述分为两个部分，前一部分为试验的条件，后一部分为试验的结果．
事件A、B的并(和)：对于事件A、B、C之间的关系为C＝A∪B，因此“事件A与B至少有一个发生即为事件C发生”．我们称C是A与B的并，也称C是A与B的和，记作C＝A＋B．
事件A、B的交(积)：对于事件A、B、C之间的关系为C＝A∩B，因此“事件A与B同时发生即为事件C发生”．我们称C是A与B的交，也称C是A与B的积，记作C＝AB．
3．抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A＝“出现的点数是1或2”，事件B＝“出现的点数是2或3或4”，则事件“出现的点数是2”可以记为( )
A．A∪B
B．A∩B
C．A?B
D．A＝B
B [A∪B＝{1，2，3，4}，A∩B＝{2}，故选B．]
类型1 事件的有关概念
【例1】 判断下列事件哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？
(1)抛一石块，下落；
(2)在标准大气压下且温度低于0
℃时，冰融化；
(3)某人射击一次，中靶；
(4)如果a>b，那么a－b>0；
(5)掷一枚硬币，出现正面；
(6)导体通电后，发热；
(7)从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签；
(8)某电话机在1分钟内收到2次呼叫；
(9)没有水分，种子能发芽；
(10)在常温下，焊锡熔化．
[解] (1)是必然事件，该现象是大自然的客观规律所致．
(2)是不可能事件，在标准大气压下，只有温度高于0
℃时，冰才融化．
(3)是随机事件，射击一次可能中靶，也可能不中靶．
(4)是必然事件，由不等式性质可得．
(5)是随机事件，因为将一枚硬币抛掷一次，可能出现正面向上，也可能出现反面向上．
(6)是必然事件，导体通电发热是物理现象．
(7)是随机事件，从5张标签中任取一张，每张都有被取到的可能．
(8)是随机事件，因为结果有不可预知性．
(9)是不可能事件，因为种子只有在有水分的条件下，才能发芽．
(10)是不可能事件，因为金属锡只有在高温下才能熔化．
要判定某事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的.其次再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生.一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件.
[跟进训练]
1．有下列事件：①足球运动员罚点球命中；②在自然数集合中任取一个数为偶数；③在标准大气压下，水在100
℃时沸腾；④已知A＝{1，2，3}，B＝{3，4}，则B?A；⑤光线在均匀介质中发生折射现象；⑥任意两个奇数之和为奇数．
上述事件中为随机事件的有________，为必然事件的有________，为不可能事件的有________．(填序号)
①② ③ ④⑤⑥ [①足球运动员罚点球可能命中，也可能不命中；②在自然数集合中任取一个数可能为奇数，也可能为偶数；③在标准大气压下，水在100
℃时一定沸腾；④已知A＝{1，2，3}，B＝{3，4}，则B?A是不可能的；⑤光线在均匀介质中是沿直线传播的，不可能发生折射现象；⑥任意两个奇数之和为偶数．]
2．分析下面给出的五个事件哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？
(1)某地2月3日下雪；
(2)函数y＝ax(a>0且a≠1)在定义域上是增函数；
(3)实数的绝对值不小于0；
(4)在标准大气压下，水在1
℃结冰；
(5)a，b∈R，则ab＝ba．
[解] (1)随机事件，某地在2月3日可能下雪，也可能不下雪．
(2)随机事件，函数y＝ax(a>0且a≠1)，当a>1时在定义域上是增函数，当0
(3)必然事件，实数的绝对值非负．
(4)不可能事件，在标准大气压下，水在0
℃以下结冰．
(5)必然事件，若a，b∈R，则ab＝ba恒成立．
类型2 确定一次试验的样本空间、随机事件的样本点
【例2】 (1)指出下列试验的样本空间：
①从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球；
②从1，3，6，10四个数中任取两个数(不重复)作差．
(2)
“抛掷一颗骰子，结果向上的点数为奇数”记为事件A，“抛掷一颗骰子，结果向上的点数不小于3”记为事件B，“抛掷一颗骰子，结果向上的点数为奇数或不小于3”记为事件C，
“抛掷一颗骰子，结果向上的点数为不小于3的奇数”记为事件D，写出事件A、B、C、D所包含的样本点，并用集合语言分析A、B、C、D之间的关系．
[解] (1)①样本空间Ω＝{(红球，白球)，(红球，黑球)，(白球，黑球)}．
②由题意可知：
1－3＝－2，3－1＝2，
1－6＝－5，6－1＝5，
1－10＝－9，10－1＝9，
3－6＝－3，6－3＝3，
3－10＝－7，10－3＝7，
6－10＝－4，10－6＝4．
即试验的样本空间Ω＝{－2，2，－5，5，－9，9，－3，3，－7，7，－4，4}．
(2)记“抛掷一颗骰子，结果向上的点数为k”记为ωk(k＝1，2，3，4，5，6)，
则Ω＝{ω1，ω2，ω3，ω4，ω5，ω6}，A＝{ω1，ω3，ω5}，B＝{ω3，ω4，ω5，ω6}，C＝{ω1，ω3，ω4，ω5，ω6}，D＝{ω3，ω5}．
不难发现C＝A∪B，D＝A∩B，
所以事件C是
A与B的并(和)，即C＝A＋B，
事件D是
A与B的交(积)，即D＝AB．
1．求本例(1)②中试验的样本点的总数．
[解] 样本点的总数为12．
2．在本例(1)②满足中“两个数的差大于0”的样本点有哪些？
[解] 满足“两个数的差大于0”的样本点有：2，5，9，3，7，4，共6个．
3．在本例(1)①中，从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取1个小球，记下颜色后放回，连续取两次，指出试验的样本空间．
[解] 样本空间Ω＝{(红球，红球)，(红球，白球)，(红球，黑球)，(白球，白球)，(白球，红球)，(白球，黑球)，(黑球，黑球)，(黑球，白球)，(黑球，红球)}．
4．在本例(1)②中，从1，3，6，10四个数中任取两个数(不重复)分别作为平面内点的纵横坐标，指出试验的样本空间．
[解] 由题意可知：样本空间Ω＝{(1，3)，(1，6)，(1，10)，(3，1)，(3，6)，(3，10)，(6，1)，(6，3)，(6，10)，(10，1)，(10，3)，(10，6)}．
确定样本空间的方法
(1)必须明确事件发生的条件；
(2)根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．
[跟进训练]
3．从a，b，c，d中任取两个字母，写出该试验的样本空间及其包含的样本点数．
[解] 该试验的结果中，含a的有ab，ac，ad；不含a，含b的有bc，bd；不含a，b，含c的有cd，∴Ω＝{ab，ac，ad，bc，bd，cd}，即该试验的样本点数为6．
1．下列事件不是随机事件的是( )
A．东边日出西边雨
B．下雪不冷化雪冷
C．清明时节雨纷纷
D．梅子黄时日日晴
B [B是必然事件，其余都是随机事件．]
2．下列试验：
①当x是实数时，x－|x|＝2；
②某班一次数学测试，及格率低于75%；
③从分别标有0，1，2，3，…，9这十个数字的纸团中任取一个，取出的纸团是偶数；
④体育彩票某期的特等奖号码．
其中的随机事件是( )
A．①②③
B．①③④
C．②③④
D．①②④
C [由随机事件的定义知②③④是随机事件．]
3．试验E：“任取一个两位数，观察个位数字与十位数字的和的情况”，则该试验的样本空间为( )
A．{10，11，…，99}
B．{1，2，…，18}
C．{0，1，…，18}
D．{1，2，…，10}
B [由题意可知，试验考察的是个位数字与十位数字的和的情况，因此样本空间中的样本点为和的结果，个位数字取值从0到9，十位数字取值从1到9，所以该试验的样本空间为{1，2，…，18}．]
4．某电路如图所示．用A表示事件“电灯变亮”，用B，C，D依次表示“开关Ⅰ闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”，则A＝________．(用B，C，D间的运算关系式表示)
(BC)∪(BD)(或B∩(C∪D)) [根据电路图，要想使电灯变亮，开关Ⅰ一定闭合，同时开关Ⅱ或开关Ⅲ闭合，故A＝B∩(C∪D)＝(BC)∪(BD)．]
5．从2，3，8，12中任取两个不同的数字，分别记为a，b，用(a，b)表示该试验的样本点，则事件“为有理数”可表示为________．
{(2，8)，(3，12)，(8，2)，(12，3)} [由题意，样本空间为{(2，3)，(2，8)，(2，12)，(3，8)，(3，12)，(8，12)，(3，2)，(8，2)，(12，2)，(8，3)，(12，3)，(12，8)}．根据有理数的定义，ab的算术平方根为整数，所以事件“为有理数”可表示为{(2，8)，(3，12)，(8，2)，(12，3)}．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．如何确定试验的样本空间？
[提示] 确定试验的样本空间就是写出试验的所有可能的结果，并写成Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}的形式．
2．写试验的样本空间要注意些什么？
[提示] 要考虑周全，应想到试验的所有可能的结果，避免发生遗漏和出现多余的结果．
3．事件“A＋B”、事件“AB”的含义分别是什么？
[提示] 事件A＋B表示事件A或事件B至少有一个发生；事件AB表示事件A和事件B同时发生．
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-15.2 随机事件的概率
学
习
任
务
核
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1．了解随机事件发生的不确定性及频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及概率与频率的区别．(难点)2．理解概率的统计定义，知道根据概率的统计定义计算概率的方法．(重点)3．理解等可能事件的意义，会把事件分解成等可能基本事件．(难点)4．理解古典概型的特点，掌握等可能事件的概率计算方法．(重点)
1．通过频率估计概率，培养数据分析、数学运算核心素养．2．利用古典概型的知识来解决实际问题，培养数学建模核心素养．
科学家的科学研究离不开具体大量的试验，奥地利遗传学家孟德尔通过大量的豌豆杂交试验，终于发现了生物遗传学规律：分离定律和自由组合定律．统计学中可以用样本估计总体的分布和特征数，大量的同一条件下的试验可以发现，某些随机事件发生的频率总在某个常数附近摆动，能否以随机事件的频率去估计随机事件的概率？盒子中有四张彩票，只有一张能中奖，甲从中摸出一张，中奖的可能性为，你能给出合理的解释吗？
知识点1 随机事件的概率
(1)频数与频率
在一定条件下，重复进行了n次试验，如果某一随机事件A出现了m次，则事件A出现的频数是
m，称事件A出现的次数与试验总次数的比为随机事件A出现的频率．
(2)概率的统计定义
一般地，对于给定的随机事件A，在相同的条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们把这个常数作为随机事件A发生的概率，记作P(A)．
(3)必然事件和不可能事件的概率
把必然事件Ω和不可能事件?当成随机事件的两种特殊情况来考虑，则
P(Ω)＝1，P(?)＝0．
所以对任何一个事件A，都有0≤P(A)≤1．
频率与概率之间有什么关系？
[提示] (1)频率是随机的，是一个变量，在试验前不能确定，且可能会随着试验次数的改变而改变，它反映的是某一随机事件出现的频繁程度，反映了随机事件出现的可能性的大小，近似反映了概率的大小．比如全班同学都做了10次掷硬币的试验，但得到正面向上的频率可以是不同的．
(2)概率是一个确定的常数，是客观存在的，它是频率的科学抽象，与每次试验无关，不随试验结果的改变而改变，从数量上反映随机事件发生的可能性大小．例如，如果一个硬币质地均匀，则掷该枚硬币出现正面向上的概率是0.5，与做多少次试验无关．
(3)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近于概率．在实际问题中，随机事件的概率未知，常用大量重复试验中事件发生的频率作为它的估计值．
1．下列说法：①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；②百分率是频率，不是概率；③频率是不能脱离具体的n次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确的是________．
①③④ [由频率与概率的定义及两者之间的关系知①③④正确，②不正确．]
知识点2 古典概型
(1)在样本空间为Ω＝{ω1，ω2，ω3，…，ωn}的一次试验中，每个基本事件{ωk}(k＝1，2，3，…，n)发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件．
(2)具有以下两个特点：
①样本空间Ω只含有有限个样本点；
②每个基本事件的发生都是等可能的．
将满足上述条件的随机试验的概率模型称为古典概型．
(3)在古典概型中，如果样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}(其中，n为样本点的个数)，那么每一个基本事件{ωk}(k＝1，2，…，n)发生的概率都是．如果事件A由其中m个等可能基本事件组合而成，即A中包含m个样本点，那么事件A发生的概率为P(A)＝．
(4)一般地，对于给定的随机事件A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会在随机事件A发生的概率P(A)的附近摆动并趋于稳定．我们将频率的这个性质称为频率的稳定性．因此，若随机事件A在n次试验中发生了m次，则当试验次数n很大时，可以用事件A发生的频率来估计事件A的概率，即P(A)≈．
2．(多选题)下列对古典概型的说法正确的是( )
A．试验中所有可能出现的基本事件含有有限个
B．每个事件出现的可能性相等
C．每个基本事件出现的可能性相等
D．基本事件总数为n，随机事件A若包含k个基本事件，则P(A)＝
ACD [正确理解古典概型的特点，即基本事件的有限性与等可能性．]
类型1 对概率意义的理解
【例1】 (对接教材P268练习T3)某种病的治愈概率是0.3，那么前7个人没有治愈，后3个人一定能治愈吗？如何理解治愈的概率是0.3?
[解] 如果把治疗一个病人作为一次试验，治愈的概率是0.3，指随着试验次数的增加，即治疗的病人数的增加，大约有30%的人能够治愈．对于一次试验来说，其结果是随机的，因此前7个病人没治愈是可能的，而对后3个病人来说，其结果仍然是随机的，即有可能治愈，也有可能没治愈．
治愈的概率是0.3，是指如果患病的有1
000人，那么我们根据治愈的频率应在治愈概率附近摆动这一前提，就可以认为这1
000人中，大约有300人能治愈，这个事先估计对于医药卫生部门是很有参考价值的．这也进一步说明了随机事件的概率只是反映了大量重复试验条件下，随机试验A发生的频率的稳定性．
随机事件的发生具有随机性，概率值仅说明事件发生的可能性的大小，因此，在解释随机事件的概率时，凡是出现“必定”“肯定”之类的确定性字眼，一般都是错误的．
[跟进训练]
1．试解释下列情况中概率的意义．
(1)某商场为促进销售，实行有奖销售活动，凡购买其商品的顾客中奖的概率为0.20；
(2)一生产厂家称：我们厂生产的产品合格的概率是0.98．
[解] (1)指购买其商品的顾客中奖的可能性为20%．
(2)指其厂生产的产品合格的可能性是98%．
类型2 频率与概率的关系及求法
【例2】 某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1
000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如下表所示：
分组
[500，900)
[900，1
100)
[1
100，1
300)
[1
300，1
500)
[1
500，1
700)
[1
700，1
900)
[1
900，＋∞)
频数
48
121
208
223
193
165
42
频率
(1)将各组的频率填入表中；
(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1
500小时的概率．
[解] (1)频率依次是：
0.048，0.121，0.208，0.223，0.193，0.165，0.042．
(2)样本中寿命不足1
500小时的频数是
48＋121＋208＋223＝600，
所以样本中灯管使用寿命不足1
500小时的频率是＝0.6，
所以灯管使用寿命不足1
500小时的概率约为0.6．
1．频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率．频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近左右摆动，这个稳定值就是概率．
2．解此类题目的步骤：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率．
[跟进训练]
2．某种菜籽在相同的条件下发芽试验结果如下表：
菜籽粒数
2
5
10
70
130
310
700
1
500
2
000
3
000
发芽粒数
2
4
9
60
116
282
639
1
339
1
806
2
715
发芽频率
(1)填写表中的菜籽发芽的频率；
(2)求该种菜籽发芽的概率．
[解] (1)根据表格计算不同情况下种子发芽的频率分别是：
1，0.8，0.9，0.857，0.892，0.910，0.913，0.893，0.903，0.905．
(2)随着菜籽粒数的增加，菜籽发芽的频率越来越接近于0.9，且在它的附近摆动．故该种菜籽发芽的概率约为0.9．
类型3 样本点的计数问题
【例3】 连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验的样本点的总数；
(3)“恰有2枚正面朝上”这一事件包含哪些样本点？
[解] (1)这个试验样本空间Ω＝{(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)}．
(2)这个试验的样本点的总数是8．
(3)“恰有2枚正面朝上”包含以下3个样本点：
(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．
求基本事件的个数常用列举法、列表法、画树形图法，解题时要注意以下几个方面：
(1)列举法适用于基本事件个数不多的概率问题，用列举法时要注意不重不漏；
(2)列表法适用于基本事件个数不是太多的情况，通常把问题归结为“有序实数对”，用列表法时要注意顺序问题；
(3)画树形图法适合基本事件个数较多的情况，若是有顺序的问题，可以只画一个树形图，然后乘元素的个数即可．
[跟进训练]
3．一只口袋内装有大小相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出两个球．
(1)共有多少个样本点？
(2)“两个都是白球”记为事件A，则A包含几个样本点？
[解] 法一：(采用列举法)
(1)分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，记(1，2)表示摸到1号，2号球．
则Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)}
，共有10个样本点．
(2)A＝{(1，2)，(1，3)，(2，3)
}，包括3个样本点．
法二：(采用列表法)
(1)设5个球的编号为a，b，c，d，e，其中a，b，c为白球，d，e为黑球．
列表如下：
a
b
c
d
e
a
(a，b)
(a，c)
(a，d)
(a，e)
b
(b，a)
(b，c)
(b，d)
(b，e)
c
(c，a)
(c，b)
(c，d)
(c，e)
d
(d，a)
(d，b)
(d，c)
(d，e)
e
(e，a)
(e，b)
(e，c)
(e，d)
由于每次取两个球，每次所取两个球不相同，而摸(b，a)与(a，b)是相同的事件，故共有10个基本等可能事件．即样本点的个数为10．
(2)A＝{
(a，b)，(b，c)，(c，a)}，包括3个样本点．
类型4 利用古典概型公式求解概率
【例4】 先后掷两枚质地均匀的骰子．
(1)一共有多少种不同的结果？
(2)向上的点数之和是5的结果有多少种？
(3)出现两个4点的概率是多少？
该试验是否具备古典概型的条件，如何借助概率公式求解？
[解] (1)用一个“有序实数对”表示先后掷两枚骰子得到的结果，如用(1，3)表示掷第一枚骰子得到的点数是1，掷第二枚骰子得到的点数是3，则下表列出了所有可能的结果．
掷第二枚得到的点数掷第一 枚得到的点数
1
2
3
4
5
6
1
(1，1)
(1，2)
(1，3)
(1，4)
(1，5)
(1，6)
2
(2，1)
(2，2)
(2，3)
(2，4)
(2，5)
(2，6)
3
(3，1)
(3，2)
(3，3)
(3，4)
(3，5)
(3，6)
4
(4，1)
(4，2)
(4，3)
(4，4)
(4，5)
(4，6)
5
(5，1)
(5，2)
(5，3)
(5，4)
(5，5)
(5，6)
6
(6，1)
(6，2)
(6，3)
(6，4)
(6，5)
(6，6)
从表中可以看出，先后掷两枚骰子的所有可能结果共有36种．即样本空间有36个样本点，即36种结果的出现是等可能的，该试验的概率模型为古典概型．
(2)在所有的结果中，向上的点数之和为5的结果有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共4种．
(3)记“出现两个4点”为事件B．
因为事件B出现的可能结果只有1种，
所以事件B发生的概率P(B)＝．
古典概型的解题步骤
(1)阅读题目，搜集信息；
(2)判断是否是古典概型；
(3)求出基本事件总数n和事件A所包含的结果数m；
(4)用公式P(A)＝求出概率并下结论．
[跟进训练]
4．甲、乙两人参加法律知识竞答，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道，甲、乙两人依次各抽一道题．
甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？
[解] 甲、乙两人从10道题中不放回地各抽一道题，先抽的有10种抽法，后抽的有9种抽法，故所有可能的抽法是10×9＝90(种)，即基本事件总数是90．
记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A，下面求事件A包含的基本事件数：
甲抽到选择题有6种抽法，乙抽到判断题有4种抽法，所以事件A的基本事件数为6×4＝24．
P(A)＝＝．
1．下列说法正确的是( )
A．任何事件的概率总是在区间(0，1)内
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
C [不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，故A错；频率与试验次数有关，故B错；概率是频率的稳定值，故C正确；概率是客观存在的，与试验次数无关，故D错．故选C．]
2．已知某彩票中奖的概率为，则下列关于彩票中奖的说法正确的是( )
A．买1张彩票一定不会中奖
B．买1
000张彩票肯定有1张中奖
C．买2
000张彩票肯定能中奖
D．买10
000张彩票不一定会中奖
D [对随机事件发生可能性大小的度量为事件的概率，所以彩票中奖概率表示买彩票中奖这一随机事件发生的可能性为，所以对于每一张彩票，它中奖的概率均是，与买的张数无关，故D正确．]
3．下列试验中，是古典概型的是( )
A．种下一粒种子观察它是否发芽
B．从规格直径为250
mm±0.6
mm的一批合格产品中任意抽取一件，测得直径
C．抛掷一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面
D．某人射击中靶或不中靶
C [A中，一粒种子发芽和不发芽的可能性不相等，所以A不是；B中，每一件的直径不相同，即可能性不相等，所以B不是；D中，中靶和不中靶的可能性不相等，所以D不是；C中，出现正面和反面的可能性相等，且结果仅有两个，故选C．]
4．书架上有3本数学书，2本物理书，从中任意取出2本，则取出的两本书都是数学书的概率为________．
[利用列举法求出基本事件总数为10个．求出取出的两本书都是数学书包含的基本事件个数3个，故所求概率P＝．]
5．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．
[分别以1，2，3，4表示1只白球，1只红球，2只黄球，则随机摸出2只球的所有基本事件为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6个基本事件，2只球颜色不同的基本事件有5个，故所求的概率P＝．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．频率与概率的区别与联系有哪些？
[提示] 频率与概率的区别与联系如下表所示：
名称
区别
联系
频率
本身是随机的，在试验之前无法确定，随着试验次数的改变而改变，即使做同样次数的重复试验，得到的频率也可能会不同
频率是概率的近似值，在多次重复试验中，同一事件发生的频率在某一个常数附近摆动，频率会越来越接近概率，在大量重复试验的前提下，可将频率近似地作为这个事件的概率，在实际问题中，通常事件的概率是未知的，常用频率估计概率
概率
是[0，1]中的一个常数，不随试验结果的改变而改变，它是频率的科学抽象
2．古典概型有何特点？
[提示] (1)样本点具有有限性；(2)每个基本事件的发生具有等可能性．
“黄金72小时”中的概率
当地震等地质灾害发生后，在媒体上经常可以看到“黄金72小时”这几个字．你知道它表示的是什么意思吗？
医学研究和统计表明，在没有食物尤其是没有水的条件下，生命的存续期一般不会超过3天．国际救援界认为，在地震等地质灾害发生后的72小时内，被救出人员的存活率随时间的消逝呈递减趋势：第一天(即24小时内)，存活率约为90%；第二天，存活率为50%—60%；第三天，存活率为20%—30%．再往后的话，存活率将进一步减少．
这里的存活率可以用概率来理解：被救出的人员，如果是在24小时内被发现的，那么该人员生还的概率为90%；如果是在第24—48小时内被发现的，那么生还的概率为50%—60%；如果是第48—72小时内发现的，那么生还的概率为20%—30%．这就意味着，当地震等地质灾害发生后，应该“与时间赛跑”，利用各种手段和机会尽可能早地发现被困人员．
需要注意的是，概率描述的只是事件发生的可能性大小，发生的可能性小(即概率小)并不代表不会发生．统计数据表明，地震六天后，被埋人员生还的概率几乎为零．但是这样的事例并不是没有：2005年巴基斯坦7.6级地震中，一名青年被埋27天后获救生还；2008年我国汶川地震中，一位60岁的老人被困11天后获救生还；等等．因此，几乎所有的救援工作，在“黄金72小时”之外都会继续，以便发现更多生命的奇迹．
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10
-15.3 互斥事件和独立事件
第1课时 互斥事件
学
习
任
务
核
心
素
养
1．了解互斥事件及对立事件的概念，能判断两个事件是否是互斥事件，进而判断它们是否是对立事件．(重点、难点)2．了解两个互斥事件概率的加法公式，知道对立事件概率之和为1的结论．会用相关公式进行简单概率计算．(重点)
1．通过求事件发生的概率，培养数据分析、数学运算核心素养．2．借助于互斥事件概率之间的关系，培养逻辑推理核心素养．
甲、乙两人下棋，甲不输的概率是0.6，两人下成平局的概率是0.3．
问题：甲获胜的概率是多少？
知识点1 互斥事件与对立事件的定义
(1)一次试验中，样本空间Ω＝{ω1，ω2，ω3，…，ωn}，随机事件A，B?Ω，满足AB＝?，即事件A与B不可能同时发生，称A，B为互斥事件，如果事件A和事件B互斥，是指事件A和事件B在一次试验中不能同时发生，也就是说，事件A和事件B同时发生的交(和)概率为0，即P(AB)＝0．
(2)
一次试验中，样本空间Ω＝{ω1，ω2，ω3，…，ωn}，随机事件A，C?Ω，满足AC＝?且A＋C＝Ω，即互斥事件A，C中必有一个发生，称A，C为对立事件，记作C＝或A＝．
互斥事件与对立事件有什么区别和联系？
[提示] 对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．
1．抽查10件产品，设A＝{至少有两件次品}，则为________．
至多有一件次品 [“至少有两件次品”的对立事件是“至多有一件次品”．]
知识点2 概率加法公式
(1)如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．这是概率满足的第三个基本性质(亦称概率的加法公式)．
(2)一般地，如果事件A1，A2，…，An中任何两个事件都是互斥事件，那么称事件A1，A2，…，An两两互斥．那么P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)，即彼此互斥事件和的概率等于每个事件概率的和．
2．若事件A，B互斥，且有P(A)＝0.1，P(B)＝0.3，那么P(A＋B)＝( )
A．0.6
B．0.4
C．0.2
D．0.03
B [∵A，B互斥，且P(A)＝0.1，P(B)＝0.3，
∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.3＝0.4．]
知识点3 对立事件的一个重要公式
对立事件A与必有一个发生，故A＋是必然事件，从而P(A)＋P()＝P(A＋)＝1．
由此，我们可以得到一个重要公式：P()＝1－P(A)．
3．某射手射中10环的概率为0.22，那么在一次射击训练中，该射手射击一次不够10环的概率为________．
0.78 [令A＝“射手一次射击射中10环”，则P(A)＝0.22，
∴P()＝1－P(A)＝1－0.22＝0.78．]
类型1 互斥事件与对立事件的判断
【例1】 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛．判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．
(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；
(2)“至少有1名男生”与“全是男生”；
(3)“至少有1名男生”与“全是女生”；
(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”．
[解] (1)因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件．当恰有2名女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件．
(2)因为“至少有1名男生”与“全是男生”能同时发生，所以它们不是互斥事件．
(3)因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件．由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．
(4)当选出的是1名男生、1名女生时，“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．
1．要判断两个事件是不是互斥事件，只需要分别找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生．在互斥的前提下，看两个事件的并事件是否为必然事件，从而可判断是否为对立事件．
2．考虑事件的结果间是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对于较难判断的关系，也可考虑列出全部结果，再进行分析．
[跟进训练]
1．从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取一张．
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．
判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．
[解] (1)是互斥事件，不是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．
(2)既是互斥事件，又是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．
(3)不是互斥事件，不是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．
类型2 概率的加法公式
【例2】 某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下：
年最高水位/m
[8，10)
[10，12)
[12，14)
[14，16)
[16，18]
概率
0.1
0.28
0.38
0.16
0.08
计算在同一时期内，河流此处的年最高水位在下列范围内的概率：
(1)[10，18]；(2)[8，14)．
[解] 记此处河流的年最高水位在[8，10)，[10，12)，[12，14)，[14，16)，[16，18]范围内分别为事件A，B，C，D，E，则这5个事件是彼此互斥的，由互斥事件的概率加法公式可得：
(1)此处河流的年最高水位在[10，18]的概率是
P(B＋C＋D＋E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.90．
(2)此处河流的年最高水位在[8，14)的概率是
P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.76．
1．将一个事件拆分为若干个互斥事件，分别求出各事件的概率，然后用加法公式计算结果．
2．在运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件间是否互斥，同时要会把一个事件拆分成几个互斥事件，做到不重不漏．
3．常用步骤：(1)确定诸事件彼此互斥；(2)诸事件中有一个发生；(3)先求诸事件分别发生的概率，再求和．
[跟进训练]
2．盒子里装有6个红球，4个白球，从中任取3个球．设事件A表示“3个球中有1个红球，2个白球”，事件B表示“3个球中有2个红球，1个白球”．已知P(A)＝，P(B)＝，求“3个球中既有红球又有白球”的概率．
[解] 本题应先判断事件“3个球中既有红球又有白球”，则它包含事件A(“3个球中有1个红球，2个白球”)和事件B(“3个球中有2个红球，1个白球”)，而且事件A与事件B是互斥的，所以P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝．
3．某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第1声时被接的概率为0.1，响第2声时被接的概率为0.3，响第3声时被接的概率为0.4，响第4声时被接的概率为0.1，那么电话在响前4声内被接的概率是多少？
[解] 记“响第1声时被接”为事件A，“响第2声时被接”为事件B，“响第3声时被接”为事件C，“响第4声时被接”为事件D，“响前4声内被接”为事件E，则易知A，B，C，D互斥，且E＝A＋B＋C＋D，所以由互斥事件的概率加法公式，得P(E)＝P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.1＋0.3＋0.4＋0.1＝0.9．
类型3 求对立事件的概率
【例3】 一个袋中装有4个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．
(1)从袋中随机抽取2个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
(2)先从袋中随机取1个球，该球的编号为m，将球放回袋中，再从袋中随机取1个球，该球的编号为n，求n?1?利用列举法求出基本事件的总数，进而求出概率；?2?是有放回抽样，所取的编号有先后次序之分，基本事件的总数为16，利用“正难则反”思想求解.
[解] (1)从袋子中随机取2个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6个．
从袋中随机取出的球的编号之和不大于4的事件有1和2，1和3，共2个．
因此所求事件的概率为＝．
(2)先从袋中随机取1个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取1个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有：
(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16个．
满足条件n≥m＋2的结果为(1，3)，(1，4)，(2，4)，共3个．
所以满足条件n≥m＋2的事件的概率P＝，
故满足条件n1．当直接计算符合条件的事件个数较多时，可先计算其对立事件的概率，再由公式P(A)＝1－P()间接地求出符合条件的事件的概率．
2．应用公式时，一定要分清事件的对立事件到底是什么事件，不能重复或遗漏，该公式常用于“至多”“至少”型问题的求解．
[跟进训练]
4．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为________．
[每位同学有2种选法，基本事件的总数为24＝16，其中周六、周日中有一天无人参加的基本事件有2个，根据对立事件的概率公式知，周六、周日都有同学参加公益活动的概率为1－＝．]
5．玻璃球盒中装有各色球12只，其中5红、4黑、2白、1绿，从中任取1球，求：
(1)得到红球或黑球的概率；
(2)得到红球或黑球或白球的概率．
[解] 记事件A1：从12只球中任取1球得红球；A2：从12只球中任取1球得黑球；A3：从12只球中任取1球得白球；A4：从12只球中任取1球得绿球，则P(A1)＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝＝，P(A4)＝．
(1)取出红球或黑球的概率为：P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝．
(2)A1＋A2＋A3的对立事件为A4．
P(A1＋A2＋A3)＝1－P(A4)＝1－＝．
类型4 互斥事件、对立事件概率公式的综合应用
【例4】 抛掷一个质地均匀的正方体玩具(各个面上分别有1，2，3，4，5，6这6个数字)，求：
(1)落地时向上的数是偶数的概率；
(2)落地时向上的数是奇数的概率；
(3)落地时向上的数不小于5的概率；
(4)落地时向上的数大于1的概率；
(5)落地时向上的数最大或最小的概率．
[解] 列表如下：
向上的数x
1
2
3
4
5
6
概率
(1)P(x是偶数)＝P(x＝2)＋P(x＝4)＋P(x＝6)＝＋＋＝．
(2)P(x是奇数)＝P(x＝1)＋P(x＝3)＋P(x＝5)＝＋＋＝(或P(x是奇数)＝1－P(x是偶数)＝1－＝)．
(3)P(x≥5)＝P(x＝5)＋P(x＝6)＝＋＝．
(4)P(x>1)＝P(x＝2)＋P(x＝3)＋P(x＝4)＋P(x＝5)＋P(x＝6)＝×5＝，或P(x>1)＝1－P(x≤1)＝1－P(x＝1)＝1－＝．
(5)P(x最大或最小)＝P(x＝6)＋P(x＝1)＝＋＝．
“互斥”和“对立”都是针对两个事件而言.“互斥”是指两个事件不能同时发生；“对立”是指两个互斥事件有且仅有一个发生.,对于求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化为彼此互斥的事件的和；二是先求出所求事件的对立事件的概率，进而再求所求事件的概率.
[跟进训练]
6．掷一枚骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则事件A＋发生的概率为________．
[事件A发生的概率为P(A)＝＝，事件B发生的概率为P(B)＝＝，所以事件发生的概率为P()＝1－P(B)＝1－＝，易知事件A与事件互斥，故P(A＋)＝P(A)＋P()＝＋＝．]
7．甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，求：
(1)甲获胜的概率；
(2)甲不输的概率．
[解] (1)“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件，所以“甲获胜”的概率P＝1－－＝．即甲获胜的概率是．
(2)法一：设事件A为“甲不输”，可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(A)＝＋＝．
法二：设事件A为“甲不输”，可看成是“乙获胜”的对立事件，所以P(A)＝1－＝．即甲不输的概率是．
1．从1，2，…，9中任取两数，其中：
①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．
在上述事件中，为对立事件的是( )
A．①
B．②④
C．③
D．①③
C [从1，2，…，9中任取两数，包括一奇一偶、两奇、两偶，共三种互斥事件，所以只有③中的两个事件才是对立事件．]
2．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，那么互斥不对立的两个事件是( )
A．至少有1名男生与全是女生
B．至少有1名男生与全是男生
C．至少有1名男生与至少有1名女生
D．恰有1名男生与恰有2名女生
D [A是对立事件，B、C均不是互斥事件．]
3．同时抛掷两枚骰子，没有5点或6点的概率是，则至少有一个5点或6点的概率是________．
[由对立事件的概率公式，得所求的概率为1－＝．]
4．抛掷一骰子，观察出现的点数，设事件A为“出现1点”，事件B为“出现2点”，已知P(A)＝P(B)＝，则出现1点或出现2点的概率为________．
[设事件C为“出现1点或出现2点”，∵事件A，B是互斥事件，由C＝A＋B可得P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝．]
5．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为________．
50% [甲不输棋包含甲获胜或甲、乙两人下成和棋，则甲、乙两人下成和棋的概率为90%－40%＝50%．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．怎样判断互斥事件与对立事件？
[提示] (1)利用基本概念：①两个互斥事件不可能同时发生；②对立事件首先是互斥事件，且必须有一个发生．
(2)利用集合的观点来判断：设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A，B，I为全集．
①事件A与B互斥，即集合A∩B＝?；②事件A与B对立，即集合A∩B＝?，且A∪B＝I，也即A＝?IB或B＝?IA；③互斥事件A与B的和A＋B，可理解为集合A∪B．
2．若事件A，B互斥，则P(A＋B)如何计算？若事件A，B对立呢？
[提示] 若A，B互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；若A，B对立，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1．
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-第2课时 独立事件
学
习
任
务
核
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素
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1．了解两个事件相互独立的概念，会判断两个事件是否为相互独立事件．(难点)2．掌握相互独立事件同时发生的概率的计算公式，并能利用该公式计算相关问题的概率．(重点)3．了解互斥事件与相互独立事件的联系与区别，综合利用事件的互斥性与独立性求解综合问题．(易错点)
1．借助两个事件相互独立的概念，提升数学抽象的核心素养．2．通过具体的实际问题的研究，培养数学建模的核心素养．
五一劳动节学校放假三天，甲、乙两名同学都打算去敬老院做志愿者，甲同学准备在三天中随机选一天，乙同学准备在前两天中随机选一天．记事件A：甲选的是第一天，B：乙选的是第一天．
(1)直觉上，你觉得A事件是否发生会影响B事件发生的概率吗？
(2)求出P(A)，P(B)，P(AB)的值，观察这三个值之间的关系．
知识点1 相互独立事件的概念
一般地，如果事件A是否发生不影响事件B发生的概率，那么称A，B为相互独立事件．
1．一个口袋中装有2个白球和3个黑球，下列各选项中的两个事件，属于相互独立事件的是( )
A．第一次摸出的是白球与第一次摸出的是黑球
B．摸出后放回，第一次摸出的是白球与第二次摸出的是黑球
C．摸出后不放回，第一次摸出的是白球与第二次摸出的是黑球
D．一次摸两个球，共摸两次，第一次摸出颜色相同的球与第一次摸出颜色不同的球
B [选项A，第一次摸出的是白球与第一次摸出的是黑球，属于对立事件；选项B，摸出后放回，第一次摸出的是白球与第二次摸出的是黑球，两者不受彼此影响，属于相互独立事件；选项C，摸出后不放回，第一次摸出的是白球与第二次摸出的是黑球，第二次受第一次的影响，不属于相互独立事件；选项D，一次摸两个球，共摸两次，第一次摸出颜色相同的球与第一次摸出颜色不同的球，属于对立事件．故选B．]
知识点2 相互独立事件的概率计算
(1)两个事件A，B相互独立的充要条件是P(AB)＝P(A)P(B)．
(2)若事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
2．已知A，B是相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝，则P(AB)＝________．
[由题意可知P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝．]
知识点3 相互独立事件的性质
如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也相互独立．
(1)不可能事件与任何一个事件相互独立吗？
(2)必然事件与任何一个事件相互独立吗？
[提示] (1)相互独立．不可能事件的发生与任何一个事件的发生没有影响．
(2)相互独立．必然事件的发生与任何一个事件的发生没有影响．
3．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)对事件A和B，若P(AB)＝P(A)P(B)，则事件A与B相互独立．
( )
(2)若事件A，B相互独立，则P(
)＝P()·P()．
( )
(3)如果事件A与B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)．
( )
(4)若事件A与B相互独立，则B与相互独立．
( )
[提示] 若P(AB)＝P(A)P(B)，则P(A∩B)＝P(A)·P(B)，故A，B相互独立，所以(1)正确；若事件A，B相互独立，则，也相互独立，故(2)正确；若事件A，B相互独立，则A发生与否不影响B的发生，故(3)正确；(4)B与相互对立，不是相互独立，故(4)错误．
[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×
类型1 相互独立事件的判断
【例1】 判断下列各对事件是否是相互独立事件．
(1)甲组3名男生，2名女生，乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；
(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；
(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．
[解] (1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．
(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．
(3)记A：出现偶数点，B：出现3点或6点，则
Ω＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{2，4，6}，B＝{3，6}，AB＝{6}，
∴P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝．
∴P(AB)＝P(A)·P(B)，∴事件A与B相互独立．
判断事件是否相互独立的方法
(1)定义法：事件A，B相互独立?P(AB)＝P(A)P(B)．
(2)由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．
[跟进训练]
1．同时掷两颗质地均匀的骰子，令A＝{第一颗骰子出现奇数点}，令B＝{第二颗骰子出现偶数点}，判断事件A与B是否相互独立．
[解]
样本空间
Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}，
A＝{第一颗骰子出现1，3，5点}
＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)}，
B＝{第二颗骰子出现2，4，6点}
＝{(1，2)，(1，4)，(1，6)，(2，2)，(2，4)，(2，6)，(3，2)，(3，4)，(3，6)，(4，2)，(4，4)，(4，6)，(5，2)，(5，4)，(5，6)，(6，2)，(6，4)，(6，6)}．
AB＝{(1，2)，(1，4)，(1，6)，(3，2)，(3，4)，(3，6)，(5，2)，(5，4)，(5，6)}，
∴P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝，
∴P(AB)＝P(A)P(B)，∴事件A，B相互独立．
类型2 相互独立事件发生的概率
【例2】 面对某种病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A，B，C三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是，，．求：
(1)他们都研制出疫苗的概率；
(2)他们都失败的概率；
(3)他们能够研制出疫苗的概率．
[解] 令事件A，B，C分别表示A，B，C三个独立的研究机构在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意可知，事件A，B，C相互独立，且P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝．
(1)他们都研制出疫苗，即事件ABC同时发生，故
P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝．
(2)他们都失败即事件同时发生．
故P()＝P()P()P()
＝(1－P(A))(1－P(B))(1－P(C))
＝
＝××＝．
(3)“他们能研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”，结合对立事件间的概率关系可得所求事件的概率
P＝1－P()＝1－＝．
1．求相互独立事件同时发生的概率的步骤
(1)首先确定各事件之间是相互独立的；
(2)确定这些事件可以同时发生；
(3)求出每个事件的概率，再求积．
2．使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们能同时发生．
[跟进训练]
2．一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中任取2个球，取出后再放回，求：
(1)第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率；
(2)第1次取出的2个球中1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率．
[解] 记“第1次取出的2个球都是白球”的事件为A，“第2次取出的2个球都是红球”的事件为B，“第1次取出的2个球中1个是白球、1个是红球”的事件为C，很明显，由于每次取出后再放回，A，B，C都是相互独立事件．
记3个白球分别为白1，白2，白3，2个红球为红1，红2，从5个球中一次取2个球的取法有(白1，白2)，(白1，白3)，(白1，红1)，(白1，红2)，(白2，白3)，(白2，红1)，(白2，红2)，(白3，红1)，(白3，红2)，(红1，红2)共10种．其中2个球都是白球有3种，2个球都是红球有1种，1个白球，1个红球有6种．
(1)P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝．
故第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率是．
(2)P(CA)＝P(C)P(A)＝×＝．
故第1次取出的2个球中1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率是．
类型3 事件的相互独立性与互斥性
【例3】 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6，0.5，0.5．假设各盘比赛结果相互独立．求：
(1)红队中有且只有一名队员获胜的概率；
(2)求红队至少两名队员获胜的概率．
弄清事件“红队有且只有一名队员获胜”与事件“红队至少两名队员获胜”是由哪些基本事件组成的，及这些事件间的关系，然后选择相应概率公式求值.
[解] 设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，则，，分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件．
因为P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，
由对立事件的概率公式知P()＝0.4，P()＝0.5，P()＝0.5．
(1)红队有且只有一名队员获胜的事件有D
，
E
，
F，以上三个事件彼此互斥且独立．
所以红队有且只有一名队员获胜的概率为
P1＝P(D
＋E＋
F)＝P(D
)＋P(
E
)＋P(
F)＝0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＝0.35．
(2)法一：红队至少两人获胜的事件有：DE
，DF，EF，DEF．
由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，
因此红队至少两人获胜的概率为
P＝P(DE
)＋P(D
F)＋P(EF)＋P(DEF)
＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55．
法二：“红队至少两人获胜”与“红队最多一人获胜”为对立事件，而红队都不获胜为事件，且P()＝0.4×0.5×0.5＝0.1．
∴红队至少两人获胜的概率为
P2＝1－P1－P()＝1－0.35－0.1＝0.55．
求复杂事件的概率一般可分三步进行
(1)列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它们；
(2)理清各事件之间的关系，恰当地用事件间的“并”“交”表示所求事件；
(3)根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算．
[跟进训练]
3．某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩在13
s内(称为合格)的概率分别为，，，若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检测，则求：
(1)三人都合格的概率；
(2)三人都不合格的概率；
(3)出现几人合格的概率最大．
[解] 记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝．
设恰有k人合格的概率为Pk(k＝0，1，2，3)．
(1)三人都合格的概率：
P3＝(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝．
(2)三人都不合格的概率：P0＝(
)＝P()·P()·P()＝××＝．
(3)恰有两人合格的概率：
P2＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)
＝××＋××＋××＝．
恰有一人合格的概率：
P1＝1－P0－P2－P3＝1－－－＝＝．
综合(1)(2)可知P1最大．
所以出现恰有一人合格的概率最大．
1．抛掷3枚质地均匀的硬币，A＝{既有正面向上又有反面向上}，B＝{至多有一个反面向上}，则A与B的关系是( )
A．互斥事件
B．对立事件
C．相互独立事件
D．不相互独立事件
C [由于事件A的发生与否对于事件B的发生不产生影响，则事件A与事件B相互独立，故选C．]
2．若P(AB)＝，P()＝，P(B)＝，则事件A与B的关系是( )
A．事件A与B互斥
B．事件A与B互为对立
C．事件A与B相互独立
D．事件A与B互斥又独立
C [因为P(A)＝1－P()＝1－＝，所以P(AB)＝P(A)·P(B)＝≠0，所以事件A与B相互独立，不是互斥、对立事件．故选C．]
3．甲、乙、丙三人独立地去译一个密码，译出的概率分别是，，，则此密码能被译出的概率是( )
A．
B．
C．
D．
C [用事件A，B，C分别表示甲、乙、丙能译出密码，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，所以P()＝P()·P()·P()＝××＝，所以此密码能被译出的概率为1－＝．故选C．]
4．甲、乙两人投球命中率分别为，，则甲、乙两人各投一次，恰好命中一次的概率为________．
[事件“甲投球一次命中”记为A，“乙投球一次命中”记为B，“甲、乙两人各投一次恰好命中一次”记为事件C，则C＝A∪B且A与B互斥，P(C)＝P(A∪B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×＋×＝＝．]
5．甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8，0.6，0.5，则三人都达标的概率是________，三人中至少有一人达标的概率是________．
0.24 0.96 [三人都达标的概率为0.8×0.6×0.5＝0.24．
三人都不达标的概率为(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.2×0.4×0.5＝0.04．
三人中至少有一人达标的概率为1－0.04＝0.96．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．你能归纳出相互独立事件与互斥事件的区别吗？
[提示] 相互独立事件与互斥事件的区别
相互独立事件
互斥事件
条件
事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响
不可能同时发生的两个事件
符号
相互独立事件A，B同时发生，记作：AB
互斥事件A，B中有一个发生，记作：A∪B(或A＋B)
计算公式
P(AB)＝P(A)·P(B)
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
2．你能归纳一下求复杂事件概率的步骤吗？
[提示] (1)列出题中涉及的各种事件，并用适当的符号表示；
(2)理清事件之间的关系(两事件是互斥、对立，还是相互独立)，列出关系式；
(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；
(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．
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7
-第15章
概率
类型1 频率与概率
频率是概率的近似值，而概率是一个理论值．当做大量的重复试验时，试验次数越多，频率的值越接近概率值，故可用频率来估计概率．
【例1】 对一批U盘进行抽检，结果如下表：
抽出件数a
50
100
200
300
400
500
次品件数b
3
4
5
5
8
9
次品概率
(1)计算表中次品的频率；
(2)从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是多少？
(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2
000个U盘，至少需进货多少个U盘？
[解] (1)表中次品频率从左到右依次为0.06，0.04，0.025，0.017，0.02，0.018．
(2)当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是0.02．
(3)设需要进货x个U盘，为保证其中有2
000个正品U盘，则x(1－0.02)≥2
000，因为x是正整数，所以x≥2
041，即至少需进货2
041个U盘．
[跟进训练]
1．某射手在相同条件下进行射击，结果如下：
射击次数n
10
20
50
100
200
500
击中靶心次数m
8
19
44
92
178
455
击中靶心的频率
0.8
0.95
0.88
0.92
0.89
0.91
(1)问该射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？
(2)假设该射手射击了300次，期望击中靶心的次数是多少？
(3)假如该射手射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？
(4)假如该射手射击了10次，前9次已击中8次，那么第10次一定击中靶心吗？
[解] (1)由题意，得击中靶心的频率与0.9接近，故概率约为0.9．
(2)击中靶心的次数大约为300×0.9＝270(次)．
(3)由概率的意义可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化．后30次中，每次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定都击不中靶心．
(4)不一定．
2．某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力，出了10道智力题，每题10分，然后做了统计，下表是统计结果：
贫困地区
参加测试的人数
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
16
27
52
104
256
402
得60分以上的频率
发达地区
参加测试的人数
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
17
29
56
111
276
440
得60分以上的频率
(1)利用计算器计算两地区参加测试的儿童中得60分以上的频率(结果保留到小数点后三位)；
(2)估计两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率．
[解] (1)贫困地区
参加测试的人数
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
16
27
52
104
256
402
得60分以上的频率
0.533
0.540
0.520
0.520
0.512
0.503
发达地区
参加测试的人数
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
17
29
56
111
276
440
得60分以上的频率
0.567
0.580
0.560
0.555
0.552
0.550
(2)估计贫困地区和发达地区参加测试的儿童得60分以上的概率分别为0.503和0.550．
类型2 古典概型
古典概型是一种最基本的概率模型，其具有两大特征：一是样本点的有限性，二是每个基本事件发生的等可能性，在应用公式P(A)＝时，应正确求出样本空间的样本点，总数和事件A中所包含的样本点数，常用枚举法或树状图法求解样本点个数．
【例2】 某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：
产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
质量指标(x，y，z)
(1，1，2)
(2，1，1)
(2，2，2)
(1，1，1)
(1，2，1)
产品编号
A6
A7
A8
A9
A10
质量指标(x，y，z)
(1，2，2)
(2，1，1)
(2，2，1)
(1，1，1)
(2，1，2)
(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品，
①用产品编号列出所有可能的结果；
②设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率．
[解] (1)计算10件产品的综合指标S，如下表，
产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
S
4
4
6
3
4
5
4
5
3
5
其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故该样本的一等品率为＝0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6．
(2)①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15种．
②在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7，则事件B发生的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6种．
所以P(B)＝＝．
[跟进训练]
3．甲、乙两人做出拳游戏(锤子、剪刀、布)．
求：(1)平局的概率；(2)甲赢的概率；(3)乙赢的概率．
[解] 甲有3种不同的出拳方法，每一种出法是等可能的，乙同样有等可能的3种不同出法．
一次出拳游戏共有3×3＝9种不同的结果，可以认为这9种结果是等可能的，所以一次游戏(试验)是古典概型，它的基本事件总数为9．
平局的含义是两人出法相同．例如都出了锤子．甲赢的含义是甲出锤子且乙出剪刀，甲出剪刀且乙出布，甲出布且乙出锤子这3种情况．乙赢的含义是乙出锤子且甲出剪刀，乙出剪刀且甲出布，乙出布且甲出锤子这3种情况．
设平局为事件A，甲赢为事件B，乙赢为事件C．
由图容易得到：
(1)平局含3个基本事件(图中的△)；
(2)甲赢含3个基本事件(图中的○)；
(3)乙赢含3个基本事件(图中的※)．
由古典概型的概率计算公式，可得P(A)＝＝；
P(B)＝＝；P(C)＝＝．
4．先后随机投掷2枚均匀的正方体骰子，其中x表示第1枚骰子出现的点数，y表示第2枚骰子出现的点数．
(1)求点P(x，y)在直线y＝x－1上的概率；
(2)求点P(x，y)满足y2<4x的概率．
[解] (1)投掷每枚骰子出现的点数都有6种情况，所以基本事件总数为6×6＝36．
记“点P(x，y)在直线y＝x－1上”为事件A，A有5个基本事件：
A＝{(2，1)，(3，2)，(4，3)，(5，4)，(6，5)}．∴P(A)＝．
(2)记“点P(x，y)满足y2<4x”为事件B，
当x＝1时，y＝1；当x＝2时，y＝1，2；当x＝3时，y＝1，2，3；当x＝4时，y＝1，2，3；当x＝5时，y＝1，2，3，4；当x＝6时，y＝1，2，3，4．
则事件B有17个基本事件．
∴P(B)＝．
类型3 互斥事件和对立事件的概率
(1)互斥事件的概率的加法公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．
(2)对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和．
(3)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题．
【例3】 甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同的题目，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题．
(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？
(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
[解] 把3个选择题记为x1，x2，x3，2个判断题记为p1，p2．
“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：
(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6种；
“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：
(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6种；
“甲、乙都抽到选择题”的情况有：
(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6种；
“甲、乙都抽到判断题”的情况有：(p1，p2)，(p2，p1)，共2种．
(1)“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率是P1＝＝，“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率是P2＝＝．故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为P＝P1＋P2＝＋＝．
(2)甲、乙两人都抽到判断题的概率是＝，
故甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是
1－＝．
[跟进训练]
5．甲、乙两人举行比赛，比赛结果有胜、负、平三种情况，甲胜的概率是30%，甲、乙平的概率是50%，那么
(1)甲负的概率是多少？
(2)甲不输的概率是多少？
[解] 记“甲胜”为事件A，“甲、乙平”为事件B，“甲负”为事件C，
则A，B，C两两互斥，且P(A)＋P(B)＋P(C)＝1．
(1)P(C)＝1－P(A)－P(B)＝1－30%－50%＝20%．
故甲负的概率是20%．
(2)P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝30%＋50%＝80%．
故甲不输的概率是80%．
6．由经验得，在某超市的付款处排队等候付款的人数及其概率如下：
排队人数
0
1
2
3
4
5个人及以上
概率
0.2
0.14
0.4
0.1
0.1
0.06
求：(1)“至多有2个人排队”的概率；
(2)“至少有2个人排队”的概率．
[解] (1)设“没有人排队”为事件A，“有1个人排队”为事件B，“有2个人排队”为事件C，
则P(A)＝0.2，P(B)＝0.14，P(C)＝0.4．
由题意知，A，B，C彼此互斥，
所以“至多有2个人排队”的概率为P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.2＋0.14＋0.4＝0.74，
即“至多有2个人排队”的概率是0.74．
(2)设“至少有2个人排队”为事件D，则为“至多有1个人排队”，即＝A＋B，
因此P(D)＝1－P()＝1－P(A＋B)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.2－0.14＝0.66，
即“至少有2个人排队”的概率是0.66．
类型4 相互独立事件的概率
(1)“P(AB)＝P(A)P(B)”是判断事件是否相互独立的充要条件，也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具．
(2)涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系．
(3)公式“P(A＋B)＝1－P(
)”常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率．
【例4】 设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．求同一工作日至少3人需使用设备的概率．
[解] 设“甲需使用设备”为事件A，“乙需使用设备”为事件B，“丙需使用设备”为事件C，“丁需使用设备”为事件D，“同一工作日至少3人需使用设备”为事件E，由题意知，P(A)＝0.6，P(B)＝P(C)＝0.5，P(D)＝0.4．
同一工作日至少3人需使用设备表示恰有3人或4人需使用设备，又事件A，B，C，D相互独立，且ABCD，ABC，ABD，ACD，BCD互斥，故P(E)＝P(ABCD)＋P(ABC)＋P(ABD)＋P(ACD)＋P(BCD)＝0.31．
[跟进训练]
7．某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设元件1，2，3的使用寿命超过1
000小时的概率都是，且各个元件能否正常工作相互独立，求该部件的使用寿命超过1
000小时的概率．
[解] 设元件1，2，3的使用寿命超过1
000小时的事件分别记为A，B，C，显然P(A)＝P(B)＝P(C)＝，∴该部件的使用寿命超过1
000小时的事件为(A＋B＋AB)C，
∴该部件的使用寿命超过1
000小时的概率P＝×＝．
1．(2020·全国卷Ⅱ)在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1
200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1
600份的概率为0.05．志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者( )
A．10名
B．18名
C．24名
D．32名
B [由题意知超市第二天能完成1
200份订单的配货，如果没有志愿者帮忙，则超市第二天共会积压超过500＋(1
600－1
200)＝900份订单的概率为0.05，因此要使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，至少需要志愿者＝18(名)，故选B．]
2．(2020·天津高考)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为________．
[依题意得，甲、乙两球都落入盒子的概率为×＝，甲、乙两球都不落入盒子的概率为×＝，则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为1－＝．]
3．(2020·江苏高考)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是________．
[一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，可得基本事件的总数为6×6＝36种，而点数和为5的事件为(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共4种，则点数和为5的概率为P＝＝．]
4．(2020·全国卷Ⅰ)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级．加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务．甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件．厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
等级
A
B
C
D
频数
40
20
20
20
乙分厂产品等级的频数分布表
等级
A
B
C
D
频数
28
17
34
21
(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？
[解] (1)由试加工产品等级的频数分布表知，
甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为＝0.4；
乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为＝0.28．
(2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
利润
65
25
－5
－75
频数
40
20
20
20
因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为＝15．
由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
利润
70
30
0
－70
频数
28
17
34
21
因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为
＝10．
比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接加工业务．
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