第9章
平面向量
9.1 向量概念
学
习
任
务
核
心
素
养
1．了解向量的实际背景，理解平面向量的概念．(重点)2．理解零向量、单位向量、相等向量、共线(平行)向量、相反向量的含义．(重点、难点)3．理解向量的几何表示．(重点)
1．通过学习向量的有关概念，培养数学抽象素养．2．通过学习共线向量、相等向量、零向量等概念及表示，培养数学运算素养．
1．民航每天都有从北京飞往上海、广州、重庆、哈尔滨等地的航班．每次飞行都是民航客机的一次位移．由于飞行的距离和方向各不相同，因此，它们是不同的位移(如图甲)．
2．某著名运动员投掷标枪时，标枪的初速度的记录资料是：平均出手角度θ＝43.242°，平均出手速度大小为v＝28.35
m/s(如图乙)．
甲 乙
问题：上述实例中的“位移”“速度”“力”与生活中我们接触到的长度、面积、重量等有什么区别？如何表示上述既有大小又有方向的量？
知识点1 向量的定义及表示
定义
既有大小又有方向的量叫作向量
表示方法
(1)几何表示：向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向，以A为起点、B为终点的向量记为；(2)字母表示：用小写字母a，b，c来表示
模
向量的大小称为向量的长度(或称为模)，记作||
1．定义中的“大小”与“方向”分别描述了向量的哪方面的特征？只描述其中一个方面可以吗？
[提示] 向量不仅有大小而且有方向，其中大小描述了向量的代数特征，方向描述了向量的几何特征，两者缺一不可，故不能只描述其中一个方面．
1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有______(填序号)．
①⑥⑦⑧ [一个量是不是向量，就是看它是否同时具备向量的两个要素：大小和方向．由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小而没有方向，所以不是向量．]
知识点2 向量的有关概念及其表示
名称
定义
表示方法
零向量
长度为0的向量
记作0
单位向量
长度等于1个单位长度的向量
平行向量
方向相同或相反的非零向量
a与b平行(或共线)，记作a∥b
相等向量
长度相等且方向相同的向量
a与b相等，记作a＝b
相反向量
长度相等且方向相反的向量
a的相反向量记作－a
2．(1)零向量的方向是如何规定的？零向量与任一向量共线吗？
(2)已知A，B为平面上不同两点，那么向量和向量相等吗？它们共线吗？
(3)向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？
[提示] (1)零向量的方向是任意的；规定零向量与任一向量共线．
(2)因为向量和向量方向不同，所以二者不相等．又表示它们的有向线段在同一直线上，所以两向量共线．
(3)不相同，由相等向量定义可知，向量可以任意移动．由于任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫作共线向量．因此共线向量所在的直线可以平行，也可以重合．
2．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)有向线段就是向量．
( )
(2)两个向量的模能比较大小．
( )
(3)有向线段可以用来表示向量．
( )
(4)若a＝b，b＝c，则a＝c．
( )
(5)单位向量的模都相等．
( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√
类型1 向量的概念
【例1】 判断下列命题是否正确，并说明理由．
(1)任何两个单位向量都是平行向量；
(2)零向量的方向是任意的；
(3)在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则向量与是平行向量；
(4)对于向量a、b、c，若a∥b，且b∥c，则a∥c；
(5)若非零向量与是平行向量，则直线AB与直线CD平行；
(6)非零向量与是模相等的平行向量．
[解] (1)错误．因为两个单位向量只是模都等于1个单位，方向不一定相同或相反；
(2)正确．任何向量都有方向，零向量的方向是任意的；
(3)正确．由三角形中位线性质知，DE∥BC，向量与方向相反，是平行向量；
(4)错误．b为零向量时，有a∥b且b∥c，但a与c的方向可以任意变化，它们不一定是平行向量；
(5)错误．A、B、C、D四点也可能在同一条直线上；
(6)正确．非零向量与的模相等，方向相反，二者是平行向量．
1．在判断与向量有关的命题时，既要立足向量的数(即模的大小)，又要考虑其形(即方向性)．
2．涉及共线向量或平行向量的问题，一定要明确所给向量是否为非零向量．
3．对于判断命题的正误，应该熟记有关概念，理解各命题，逐一进行判断，对于错误命题，只要举一反例即可．
提醒：与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量．
[跟进训练]
1．判断下列命题是否正确，并说明理由：
(1)若向量a与b同向，且|a|＞|b|，则a＞b；
(2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；
(3)对于任意向量|a|＝|b|，若a与b的方向相同，则a＝b；
(4)由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行．
[解] (1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．
(2)不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系．
(3)正确．因为|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b．
(4)不正确．依据规定：0与任一向量平行．
类型2 向量的表示
【例2】 一辆汽车从A点出发，向西行驶了100千米到达点B，然后又改变方向向西偏北50°行驶了200千米到达点C，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达点D．
(1)作出向量，，，；
(2)求||．
依据向量的几何特征和代数特征，分别作出向量，，，；进而求出||.
[解] (1)如图．
(2)
由题意，易知与方向相反，故与共线，即AB∥CD．
又∵||＝||，
∴在四边形ABCD中，ABCD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴||＝||＝200(千米)．
用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点.必要时，需依据直角三角形知识，求出向量的方向或长度?模?，选择合适的比例关系作出向量.
[跟进训练]
2．(1)如图的方格由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有定点A，点C为小正方形的顶点，且||＝，画出所有的向量．
(2)已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2
000
km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行2
000
km到达C地，再从C地按西南方向飞行1
000
km到达D地．
①作出向量，，，；
②问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？
[解] (1)画出所有的向量，如图所示．
(2)①由题意，作出向量，，，，如图所示，
②依题意知，三角形ABC为正三角形，所以AC＝2
000
km．
又因为∠ACD＝45°，CD＝1
000
km，
所以△ACD为等腰直角三角形，即AD＝1
000
km，∠CAD＝45°．
所以D地在A地的东南方向，距A地1
000
km．
类型3 共线向量
【例3】 (对接教材P6例2)如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量，则与平行且长度为2的向量个数有______个．
8 [如图所示，
满足与平行且长度为2的向量有，，，，，，，共8个．]
1．(变条件)在本例中，与向量同向且长度为2的向量有多少个？
[解] 与向量同向且长度为2的向量占与向量平行且长度为2的向量中的一半，共4个．
2．(变条件)在本例中，与向量相等的向量有多少个？
[解] 题图中每个小正方形的对角线所在的向量中，与向量方向相同的向量与其相等，共有8个．
1．寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．
2．寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．
1．(多选题)下列说法正确的是( )
A．零向量的长度为零
B．零向量与任一向量都是共线向量
C．零向量没有方向
D．零向量的方向是任意的
ABD [零向量的方向是任意的，不能说零向量没有方向，C错误，故选ABD．]
2．下列说法中正确的个数是( )
①身高是一个向量；②∠AOB的两条边都是向量；③温度含零上和零下，所以温度是向量；④物理学中的加速度是向量．
A．0
B．1
C．2
D．3
B [向量具有大小和方向两个要素，故只有④正确，选B．]
3．设M是等边△ABC的中心，则，，是( )
A．有相同起点的向量
B．相等的向量
C．模相等的向量
D．平行向量
C [M是等边△ABC的中心，故||＝||＝||，选C．]
4．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且||＝1，||＝2，则||＝________．
[因为||2＝||2＋||2＝5，所以||＝．]
5．如图所示，已知点O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝c．在以A，B，C，D，E，F，O为起点或终点的向量中，回答下列问题．
(1)模与a的模相等的向量有多少个；
(2)请列出与a的长度相等，方向相反的向量；
(3)请列出与a共线的向量；
(4)请一一列出与a，b，c相等的向量．
[解] (1)满足条件的向量有23个．
(2)与a的长度相等，方向相反的向量有，，，．
(3)与a共线的向量有，，，，，，，，．
(4)与a相等的有，，；与b相等的有，，；与c相等的有，，．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．向量与数量相同吗？
[提示] 不同．
①数量只有大小没有方向，向量既有大小又有方向．
②数量可以比较大小，向量不能比较大小．
2．向量与有向线段有何区别和联系？
[提示] ①区别：从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向和长度三个要素，因此它们是两个不同的量．在空间中，有向线段是固定的，而向量是可以自由移动的．
②联系：向量可以用有向线段表示，但并不能说向量就是有向线段．
3．向量平行具备传递性吗？举例说明．
[提示] 向量的平行不具备传递性，即若a∥b，b∥c，则未必有a∥c，这是因为，当b＝0时，a，c可以是任意向量，但若b≠0，必有a∥b，b∥c?a∥c．
向量及向量符号的由来
向量最初应用于物理学，被称为矢量．很多物理量，如力、位移、速度、电场强度、磁感应强度等都是向量．大约公元前350年，古希腊著名学者亚里士多德(Aristotle，公元前384—前322)就知道了力可以表示成向量．“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段．最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿(Newton,1642—1727)．
向量是一种带几何性质的量，除零向量外，总可以画出箭头表示方向，线段长表示大小的有向线段来表示它．1806年，瑞士人阿尔冈(R．Argand,1768—1822)以表示有向线段或向量．1827年，莫比乌斯(M?bius,1790—1868)以表示起点为A，终点为B的向量，这种用法被数学家广泛接受．另外，哈密尔顿(W．R．Hamilton,1805—1865)、吉布斯(J．W．Gibbs,1839—1903)等人则以小写希腊字母表示向量．1912年，兰格文用
表示向量，后来，字母上加箭头表示向量的方法逐渐流行，尤其在手写稿中．为了方便印刷，用粗黑体小写字母a，b等表示向量，这两种符号一直沿用至今．
向量进入数学并得到发展，是从复数的几何表示开始的．1797年，丹麦数学家威塞尔(C．Wessel,1745—1818)利用坐标平面上的点(a，b)表示复数a＋bi，并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算．把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何与三角问题．人们逐步接受了复数，也学会了利用复数表示、研究平面中的向量．
你能体会用符号表示向量的优越性吗？
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-9.2 向量运算
9.2.1 向量的加减法
第1课时 向量的加法
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任
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心
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养
1．理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义．(重点)2．掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算．(重点、易错点)3．了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性．(难点)
1．通过向量加法的概念及向量加法法则的学习，培养数学抽象素养．2．通过向量加法法则的应用，培养数学运算素养．
如图所示，假设某人上午从点A到达了点B，下午从点B到达了点C．
(1)分别用向量表示出该人上午的位移、下午的位移以及这一天的位移；
(2)这一天的位移与上午的位移、下午的位移有什么联系？试从大小和方向两个角度加以阐述．
知识点1 向量的加法
(1)向量加法的定义
求两个向量和的运算叫作向量的加法．
(2)向量加法的运算法则
①三角形法则：
如图，已知向量a和b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量叫作a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝．
这个法则称为向量加法的三角形法则．
②平行四边形法则：
如图，已知两个不共线的非零向量a，b，作＝a，＝b，以OA，OC为邻边作?OABC，则以O为起点的对角线表示的向量＝a＋b，这个法则叫作向量加法的平行四边形法则．
向量的三角形法则和平行四边形法则是否对任意两个向量的加法都适用？
[提示] 向量的三角形法则对任意两个向量的加法都可以适用；向量的平行四边形法则仅适用两个不共线的非零向量．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两个向量相加就是两个向量的模相加．
( )
(2)两个向量相加，结果有可能是个数量．
( )
(3)向量加法的平行四边形法则适合任何两个向量相加．
( )
[提示] (1)错误，向量相加与向量长度、方向都有关；(2)错误，向量相加，结果仍是一个向量；(3)错误，向量加法的平行四边形法则适合不共线的非零向量相加．
[答案] (1)× (2)× (3)×
2．(多选题)如图，下列各式中，正确的是( )
A．a＋b＝c
B．a＋b＋d＝f
C．f＋e＝g
D．c＋d＋f＝0
ABC [由向量加法的三角形法则可知，ABC均正确，又c＋d＝f，∴c＋d＋f＝f＋f≠0，故选ABC．]
知识点2 向量加法的运算律
(1)交换律：a＋b＝b＋a．
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
(3)a＋0＝0＋a＝a．
(4)a＋(－a)＝(－a)＋a＝0．
3．(＋)＋(＋)＋＝________．
[(＋)＋(＋)＋＝＋＋＋＋＝．]
类型1 向量加法的三角形法则和平行四边形法则
【例1】 如图，已知向量a，b，c，求作和向量a＋b＋c．
[解] 法一：可先作a＋c，再作(a＋c)＋b，即为a＋b＋c(用到向量加法运算律)．
如图①，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，接着作向量＝c，则得向量＝a＋c，然后作向量＝b，则向量＝a＋b＋c为所求．
法二：三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图②，
(1)在平面内任取一点O，作＝a，＝b；(2)作平行四边形AOBC，则＝a＋b；(3)再作向量＝c；(4)作?CODE，则＝＋c＝a＋b＋c．则即为所求．
向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系：
区别：?1?三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；?2?三角形法则适用于任意两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和.
联系：?1?当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的；?2?三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半.
[跟进训练]
1．如图所示，求作向量和．
(1) (2) (3)
[解] 如图中(1)，(2)所示，
图(1) 图(2) 图(3)
首先作＝a，然后作＝b，
则＝a＋b．
如图(3)所示，
作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝＋＝(a＋b)＋c，即＝a＋b＋c．
类型2 向量的加法运算
【例2】 (1)在正六边形ABCDEF中，＝a，＝b，则＝________，＝________，＝________．
(2)＋＋＋＋＝________．
(1)2a＋b 2a＋2b a＋2b (2)0 [(1)如图，连接FC交AD于点O，连接OB，由平面几何知识得四边形ABOF，四边形ABCO均为平行四边形．
根据向量的平行四边形法则，有＝＋＝a＋b．
在平行四边形ABCO中，＝＋＝a＋a＋b＝2a＋b，＝2＝2a＋2b．
而＝＝a＋b，
由三角形法则得＝＋＝b＋a＋b＝a＋2b．
(2)＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝0．]
1．解决该类题目要灵活应用向量加法运算，注意各向量的起点、终点及向量起点、终点字母排列顺序，特别注意勿将0写成0．
2．运用向量加法求和时，在图中表示“首尾相接”时，其和向量是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点．
[跟进训练]
2．如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：
(1)＋＋；
(2)＋＋＋．
[解] (1)＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝．
(2)＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0．
类型3 向量加法在实际问题中的应用
【例3】 (对接教材P11例2)已知小船在静水中的速度与河水的流速都是10
km/h．
(1)小船在河水中行驶的实际速度的最大值与最小值分别是多少？
(2)如果小船在河南岸M处，对岸北偏东30°有一码头N，小船的航向如何确定才能直线到达对岸码头？(河水自西向东流)
结合实际问题画出草图，借助三角形的边角关系求解.
[解] (1)小船顺流行驶时实际速度最大，最大值为20
km/h；小船逆流行驶时实际速度最小，最小值为0
km/h，此时小船是静止的．
(2)如图所示，设表示水流的速度，表示小船实际过河的速度．
设MC⊥MA，||＝||＝10，∠CMN＝30°．
∵＋＝，
∴四边形MANB为菱形．
则∠AMN＝60°，∴△AMN为等边三角形．
在△MNB中，||＝||＝||＝10，∴∠BMN＝60°，而∠CMN＝30°，∴∠CMB＝30°，
所以小船要由M直达码头N，其航向应为北偏西30°．
解决与向量有关的实际应用题，应本着如下步骤：弄清实际问题→转化为数学问题→正确画出示意图→用向量表示实际量→向量运算→回扣实际问题→作出解答.
[跟进训练]
3．在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800
km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800
km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．
[解] 如图所示，设，分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800
km，从B地按南偏东55°的方向飞行800
km．
则飞机飞行的路程指的是||＋||；两次飞行的位移的和指的是＋＝．
依题意，有||＋||＝800＋800＝1
600(km)．
又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°．
所以||＝
＝＝800(km)．
其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°．
从而飞机飞行的路程是1
600
km，两次飞行的位移和的大小为800
km，方向为北偏东80°．
1．若C是线段AB的中点，则＋为( )
A．
B．
C．0
D．以上都错
C [＋＝＋＝0，故选C．]
2．如图所示，在平行四边形ABCD中，＋＋＝( )
①；②；③；④．
A．①③
B．②④
C．①④
D．②③
A [∵四边形ABCD为平行四边形，
∴＝，
∴＋＋＝＋＋＝＋＝．]
3．如图所示，在四边形ABCD中，＝＋，则四边形为( )
A．矩形
B．正方形
C．平行四边形
D．菱形
C [∵＝＋，∴＝＋＝＋＋＝＋＋＝，即＝．
∴四边形ABCD为平行四边形．故选C．]
4．＋＋＝________．
0 [＋＋＝＋＝0．]
5．当非零向量a，b满足________时，a＋b平分以a与b为邻边的平行四边形的内角．
|a|＝|b| [结合向量加法的平行四边形法则可知，当|a|＝|b|时，以a与b为邻边的平行四边形为菱形，则其对角线上向量a＋b平分此菱形的内角．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．向量加法的运算法则有哪些？
[提示] 三角形法则和平行四边形法则．
2．求作向量和时应注意哪些问题？
[提示] 求作向量和时应注意以下两点
(1)利用三角形法则求和向量时，关键要抓住“首尾相接”，并且和向量是由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点．
(2)利用平行四边形法则求和向量时，应注意“共起点．
3．向量a，b的模与a＋b的模之间存在怎样的数量关系？
[提示] |a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|．
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-第2课时 向量的减法
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1．理解向量减法的意义及减法法则．(重点)
2．掌握向量减法的几何意义．(难点)3．能熟练地进行向量的加、减运算．(易混点)
1．通过向量减法的概念及减法法则的学习，培养数学抽象素养．2．通过向量减法法则的应用，培养数学运算素养．
已知向量是与a的和，如图所示，你能作出表示向量a的有向线段吗？
知识点 向量的减法
(1)向量减法的定义
若b＋x＝a，则向量x叫作a与b的差，记为a－b，求两个向量差的运算，叫作向量的减法．
(2)向量的减法法则
如图所示，以O为起点，作向量＝a，＝b，则＝a－b，即当向量a，b起点相同时，从b的终点指向a的终点的向量就是a－b．
向量的加法三角形法则和减法三角形法则有什么不同？类比实数的减法，a－b＝
a＋(－b)是否一定恒成立？
[提示] 向量的加法三角形法则对任意两个向量首尾相接，第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量就是它们的和向量；向量的减法三角形法则，对任意两个向量同起点，由减向量的终点指向被减向量的终点的向量就是它们的差向量；类比实数的减法，
a－b＝a＋(－b)一定恒成立．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)－＝．
( )
(2)若－b与a同向，则a－b与a同向．
( )
(3)向量的减法不满足结合律．
( )
[提示] (1)错误，－＝．
(2)正确，－b与a同向，则a－b＝－b＋a与a同向．
(3)错误，如(a－b)＋c＝a＋(c－b)．
[答案] (1)× (2)√ (3)×
2．化简－＋等于________．
0 [－＋＝＋＝0．]
3．化简－＋＋的结果等于________．
[－＋＋＝＋＋－＝＋＝．]
类型1 向量减法的几何作图
【例1】 (对接教材P12例3)如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c．
[解] 法一：先作a－b，再作(a－b)－c即可．
如图①所示，以A为起点分别作向量和，使＝a，＝b，连接CB，得向量，再以C为起点作向量，使＝c，连接DB，得向量．则向量即为所求作的向量a－b－c．
法二：先作－b，－c，再作a＋(－b)＋(－c)，如图②．
(1)作＝－b和＝－c；
(2)作＝a，则＝a－b－c．
求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同起点，直接连接两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；若两个向量的起点不重合，先通过平移使它们的起点重合时，再作出差向量.
[跟进训练]
1．如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c．
[解] 如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c．
类型2 向量减法法则的应用
【例2】 (1)化简下列式子：
①－－－；
②(－)－(－)．
(2)如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，．
[解] (1)①原式＝＋－(＋)＝－＝0．
②(－)－(－)
＝－－＋
＝＋＋＋
＝(＋)＋(＋)＝＋＝0．
(2)因为四边形ACDE是平行四边形，
所以＝＝c；＝－＝b－a，
故＝＋＝b－a＋c．
(1)向量减法的三角形法则的内容是：两向量相减，表示两向量起点的字母必须相同，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点字母为终点．
(2)用几个基本向量表示其他向量的技巧
①观察待表示的向量位置；
②寻找相应的平行四边形或三角形；
③运用法则找关系，化简得结果．
[跟进训练]
2．如图所示，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，＝f，试用a，b，c，d，e，f表示：
(1)－；(2)＋；(3)－．
[解] (1)－＝＝－，
∵＝d，＝b，∴－＝d－b．
(2)∵＋＝(－)＋(－)，
∵＝a，＝b，＝c，＝f，
∴＋＝b＋f－a－c．
(3)－＝＝－，
∵＝f，＝d，∴－＝f－d．
类型3 |a－b|与a，b之间的关系
【例3】 已知|a|＝6，|b|＝8，且|a＋b|＝|a－b|，求|a－b|．
结合向量加、减的运算法则，你能发现向量a，b间存在怎样的位置关系？如何借助该关系求得|a－b|.
[解] 如图，设＝a，
＝b，以AB，AD为邻边作?ABCD．
则＝a＋b，＝a－b，
因为|a＋b|＝|a－b|，
所以||＝||．
又四边形ABCD为平行四边形，
所以四边形ABCD为矩形．
故AD⊥AB．
在Rt△DAB中，||＝6，||＝8，
由勾股定理得||＝＝＝10，所以|a－b|＝10．
1．以平行四边形ABCD的两邻边AB，AD分别表示向量＝a，＝b，则两条对角线表示的向量为＝a＋b，＝a－b，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住．
2．若|a＋b|＝|a－b|，则以a，b为邻边的平行四边形是矩形．
[跟进训练]
3．已知向量a，b，满足|a|＝|b|＝1，|a＋b|＝，求|a－b|．
[解] 在?ABCD中，使＝a，＝b，则＝a＋b，＝a－b．
由于|a|＝|b|＝1，所以ABCD为菱形，且AC⊥BD，交点为O，
∴AO＝，AB＝1，OB＝＝，
∴BD＝2BO＝1，
即|a－b|＝1．
1．在△ABC中，若＝a，＝b，则等于( )
A．a
B．a＋b
C．b－a
D．a－b
D [＝－＝a－b，故选D．]
2．下列计算正确的是( )
A．－＝
B．－＝
C．－＝
D．－＝
B [－＝，故A错误；B正确，又－＝＋＝，故C错误；D显然错误，故选B．]
3．(多选题)在平行四边形ABCD中，下列结论正确的是( )
A．－＝
B．－＝0
C．－＝
D．－＝
ABC [∵ABCD是平行四边形，
∴＝，∴－＝＝，故A正确；
又－＝0，故B正确；
又＝，∴－＝－＝，故C正确；
又－＝≠，故D错误．故选ABC．]
4．
若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝______，|a－b|＝________．
0 2 [若a，b为相反向量，则a＋b＝0，∴|a＋b|＝0．
又a＝－b，∴|a|＝|－b|＝1．
∵a与－b共线，∴|a－b|＝2．]
5．如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则＝________．
a＋c－b [由三角形法则可知
＝－＝(＋)－
＝a＋c－b．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．向量的减法与加法有何联系？
[提示] 向量的减法是向量加法的逆运算，可利用相反向量实现向量加减法的转化．
2．利用向量减法作图时，求差的两个向量的起点是怎样的？差向量的方向如何？
[提示] 求差的两个向量的起点相同，差向量的方向指向被减向量．
3．|a－b|与|a|，|b|之间存在怎样的数量关系？
[提示] 当a与b不共线时，有：||a|－|b||＜|a－b|＜|a|＋|b|；
当a与b同向且|a|≥|b|时，有：|a－b|＝|a|－|b|；
当a与b同向且|a|≤|b|时，有：|a－b|＝|b|－|a|．
PAGE
-
7
-9.2.2 向量的数乘
学
习
任
务
核
心
素
养
1．掌握向量数乘的运算及其几何意义．(重点)
2．理解两个向量共线的含义，掌握向量共线定理．3．了解向量线性运算的性质及其几何意义．
1．通过向量数乘概念的学习，培养数学抽象素养．2．通过向量数乘的运算及其运算律的应用，培养数学运算素养．
一只兔子向东一秒钟的位移对应的向量为a，那么它在同一方向上按照相同的速度行走3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？兔子在相反方向上按照相同的速度行走3秒钟的位移对应的向量又怎样表示？是－3a吗？
知识点1 向量的数乘定义
一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)若a≠0，则当λ＞0时，λa与a方向相同；当λ＜0时，λa与a方向相反．
实数λ与向量a相乘的运算，叫作向量的数乘．
特别地，当λ＝0时，0a＝0；当a＝0时，λ0＝0．
向量的数乘λa的几何意义：当λ＞0时，把向量a沿着a的相同方向放大或缩小；当λ＜0时，把向量a沿着a的相反方向放大或缩小．
1．λa＝0，一定能得到λ＝0吗？
[提示] 不一定．λa＝0，则λ＝0或a＝0．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)a＝0，则λa＝0．
( )
(2)对于非零向量a，向量－3a与向量3a方向相反．
( )
(3)对于非零向量a，向量－6a的模是向量3a的模的2倍．
( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√
知识点2 向量数乘的运算律
设a，b为向量，λ，μ为实数，则
(1)λ(μa)＝(λμ)a；
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb．
向量的加法、减法和数乘统称为向量的线性运算．
2．(1)5×(－4a)＝________．
(2)a＝e1＋2e2，b＝3e1－2e2，则a＋b＝________．
(1)－20a (2)4e1 [(1)5×(－4a)＝5×(－4)a＝－20a．
(2)a＋b＝(e1＋2e2)＋(3e1－2e2)＝4e1．]
知识点3 向量共线定理
一般地，对于两个向量a(a≠0)，b，设a为非零向量，如果有一个实数λ，使b＝λa，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa．
2．向量共线定理中，为什么规定a≠0．
[提示] 当a＝0时，显然b与a共线，此时若b＝0，则存在无数实数λ，使b＝λa；若b≠0，则不存在实数λ使得b＝λa．
3．已知e1和e2不共线，则下列向量a，b共线的序号是____．
①a＝2e1，b＝2e2；
②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；
③a＝4e1－e2，b＝e1－e2；
④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2．
②③ [∵e1与e2不共线，∴①不正确；
对于②有b＝－2a；对于③有a＝4b；④不正确．]
类型1 向量数乘的基本运算
【例1】 计算：
(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；
(2)－；
(3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)．
[解] (1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b．
(2)原式＝－
＝a＋b－a－b－a－b－a＝0．
(3)原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c＝6a＋2b．
向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知量，利用解代数方程的方法求解.
[跟进训练]
1．若向量a＝3i－4j，b＝5i＋4j，则－3＋(2b－a)＝________．
－16i＋
j [原式＝a－b－3a－2b＋2b－a
＝－a－b
＝－(3i－4j)－(5i＋4j)
＝(－11－5)i＋
j
＝－16i＋j．]
类型2 向量的共线问题
【例2】 已知非零向量e1，e2不共线．
(1)如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线．
(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．
?1?欲证A，B，D三点共线，能否证明与或共线？
?2?若ke1＋e2与e1＋ke2共线，则两向量间存在怎样的等量关系？
[解] (1)证明：∵＝e1＋e2，＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5，
∴，共线，且有公共点B，∴A，B，D三点共线．
(2)∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，∴存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，则(k－λ)e1＝(λk－1)e2，由于e1与e2不共线，只能有∴k＝±1．
1．证明三点共线，通常转化为证明这三点构成的其中两个向量共线，向量共线定理是解决向量共线问题的依据．
2．若A，B，C三点共线，则向量，，在同一直线上，因此必定存在实数，使得其中两个向量之间存在线性关系．而向量共线定理是实现线性关系的依据．
[跟进训练]
2．(对接教材P19T11)已知O，A，M，B为平面上四点，且＝λ＋(1－λ)(λ∈R，λ≠0且λ≠1)．
(1)求证：A，B，M三点共线；
(2)若点B在线段AM上，求实数λ的取值范围．
[解] (1)证明：∵＝λ＋(1－λ)，
∴＝λ＋－λ，
－＝λ－λ，
∴＝λ(λ∈R，λ≠0，且λ≠1)．
又与有公共点A，∴A，B，M三点共线．
(2)由(1)知＝λ，
若点B在线段AM上，则与同向，
∴||>||>0，∴λ>1．
类型3 向量的表示
【例3】 如图所示，已知△OAB中，点C是以A为对称中心的B点的对称点，D是把分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于E，设＝a，＝b．
(1)用a和b表示向量，；
(2)若＝λ，求实数λ的值．
[解] (1)依题意，A是BC中点，
∴2＝＋，
即＝2－＝2a－b，
＝－＝－
＝2a－b－b＝2a－b．
(2)若＝λ，
则＝－＝λa－(2a－b)＝(λ－2)a＋b．
∵与共线，
∴存在实数k，使＝k，
∴(λ－2)a＋b＝k，解得λ＝．
用已知向量表示未知向量的求解思路
(1)先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中；
(2)然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理，用已知向量表示未知向量；
(3)求解过程体现了数学上的化归思想．
[跟进训练]
3．(1)设O是△ABC内部一点，且＋＝－3，则△AOB与△AOC的面积之比为________．
(2)如图，在?OADB中，设＝a，＝b，＝，＝．试用a，b表示＝________．
(1) (2)a－b [(1)如图，由平行四边形法则，知＋＝，其中E为AC的中点．
所以＋＝2＝－3．
所以＝－，||＝||．
设点A到BD的距离为h，则S△AOB＝||·h，S△AOC＝2S△AOE＝||·h．
所以＝＝＝×＝．
(2)由题意知，在?OADB中，＝＝＝(－)＝(a－b)＝a－b．
则＝＋＝b＋a－b＝a＋b，
＝＝(＋)＝(a＋b)＝a＋b，
＝－＝a＋b－a－b＝a－b．]
1．已知线段上A，B，C三点满足＝2，则这三点在线段上的位置关系是( )
A B
C D
[答案] A
2．(多选题)若＝4，则下列各式中正确的是( )
A．＝3
B．＝3
C．＝
D．＝
BCD [由＝4可知＝－＝－4＝－3＝3，故A错误，B正确；同理可知＝，＝，故选BCD．]
3．已知m∈R，下列说法正确的是( )
A．若ma＝0，则必有a＝0
B．若m≠0，a≠0，则ma与a方向相同
C．m≠0，a≠0，则|ma|＝m|a|
D．若m≠0，a≠0，则ma与a共线
D [A错．若ma＝0，则m＝0或a＝0；
B错．m＞0时，ma与a同向，m＜0时，ma与a反向；
C错．∵|ma|＝|m||a|，∴m＞0时，|ma|＝m|a|；m＜0时，|ma|＝－m|a|．]
4．△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，且＝a，＝b，则＝________(用a，b表示)．
(b－a) [＝－＝－＝(b－a)．]
5．若＝5e，＝－7e，且||＝||，则四边形ABCD的形状是________．
等腰梯形 [∵＝5e，＝－7e，
∴＝－，
∴与平行且方向相反，易知||＞||．
又∵||＝||，
∴四边形ABCD是等腰梯形．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．如何描述向量λa的大小、方向？
[提示] 向量λa的大小为：|λa|＝|λ||a|；
向量λa的方向与实数λ有关：当λ>0时，λa的方向与a相同；
当λ＝0时，λa的方向具有任意性；
当λ<0时，λa的方向与a相反．
2．若＝x＋y，则A，B，P三点共线的充要条件是什么？
[提示] x＋y＝1．
3．若向量a，b共线，且a≠0，则a与b存在怎样的等量关系？
[提示] b＝λa，其中λ是唯一确定的实数．
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8
-9.2.3 向量的数量积
学
习
任
务
核
心
素
养
1．了解向量的夹角、向量垂直、投影向量等概念．(易错点)
2．理解平面向量数量积的含义．(重点)3．能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题．(难点)
1．通过向量数量积及投影概念的学习，培养数学抽象素养．2．通过数量积的应用，培养数学运算素养．
我们在物理课中学过，力与在力的方向上移动的距离的乘积称为力对物体所做的功．如图所示，如果作用在小车上的力F的大小为|F|
N，小车在水平面上位移s的大小为|s|
m，力的方向与小车位移的方向所成夹角为θ，那么这个力所做的功为W＝|F||cos
θ．
(1)显然，
功W与力向量F及位移向量s有关，这三者之间有什么关系？
(2)给定任意两个向量a，b，能确定出一个类似的标量吗？如果能，请指出确定的方法；如果不能，说明理由．
知识点1 向量的数量积
已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，我们把数量|a||b|cos
θ叫作向量a和b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos
θ．
规定：零向量与任一向量的数量积为0．
1．(1)两个向量的数量积是向量吗？
(2)数量积的大小和符号与哪些量有关？
[提示] (1)两个向量的数量积是一个数量，而不是向量．
(2)数量积的大小与两个向量的长度及夹角都有关，符号由夹角的余弦值决定．
1．已知|a|＝3，|b|＝6，则
(1)若a与b夹角为0°，则a·b＝________；
(2)若a与b的夹角为60°，则a·b＝________；
(3)若a与b的夹角为90°，则a·b＝________．
(1)18 (2)9 (3)0 [(1)a·b＝|a||b|cos
0°＝|a||b|＝18．
(2)a·b＝|a||b|cos
60°＝3×6×＝＝9．
(3)a·b＝|a||b|cos
90°＝3×6×0＝0．]
知识点2 两个向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a，b，作＝a，＝b，则∠AOB称为向量a与b的夹角．
(2)范围：0°≤θ≤180°．
(3)当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向．
(4)当θ＝90°时，则称向量a与b垂直，记作a⊥b．
(5)两个非零向量a和b的夹角θ，可以由cos
θ＝求得．
2．试指出图中向量的夹角．
图①中向量与的夹角________；
图②中向量与的夹角________；
图③中向量与的夹角________；
图④中向量与的夹角________．
[答案] θ 0° 180° θ
知识点3 投影向量
设a，b是两个非零向量，如图，表示向量a，表示向量b，过点A作所在直线的垂线，垂足为点A1，我们将上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影，向量称为向量a在向量b上的投影向量．
(1) (2)
所以＝
(|a|cos
θ)，a·b＝·b．
投影向量与向量数量积的关系：向量a和向量b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积．
3．已知|a|＝3，|b|＝5，a与b的夹角为45°，则a在b上的投影向量为______；b在a上的投影向量为______．
b
a [a在b上的投影向量为(|a|cos
θ)＝(3cos
45°)＝b；b在a投影向量为(|b|cos
θ)＝(5cos
45°)＝a．]
知识点4 向量的数量积的运算律及性质
(1)向量数量积的运算律：已知向量a，b，c和实数λ．
①a·b＝b·a；
②(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)＝λa·b；
③(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
(2)数量积的性质：
①a·a＝|a|2或|a|＝；
②|a·b|≤|a||b|，当且仅当向量a，b为共线向量时取“＝”号；
③a⊥b?a·b＝0．(向量a，b均为非零向量)
2．向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别？
[提示] 向量线性运算结果是向量，而数量积运算结果是数量．
4．(多选题)对于向量a，b，c，下列命题错误的是( )
A．若a·b＝0且a≠0，则b＝0
B．若|a|2＝|b|2≠0，则a＝b或a＝－b
C．若a·b＝b·c且a，b，c均为非零向量，则a＝c
D．若a，b，c均为非零向量，则(a·b)c－a(b·c)＝0
ABCD [若a·b＝0，则a，b至少有一个为零向量，或者a⊥b，故A错；若|a|2＝|b|2≠0，则a，b均为非零向量且a，b的模相等，不能推出a，b方向相同或相反，故B错；若a⊥b，b⊥c，则a·b＝b·c＝0，此时a，c均与b垂直，无法推出a＝c，故C错；(a·b)c是与c共线的向量，a(b·c)是与a共线的向量，(a·b)c－a(b·c)＝0不一定成立，故D错．]
类型1 向量数量积的运算
【例1】 (对接教材P20例1)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，求：
(1)a·b；(2)a2－b2；(3)(2a－b)·(a＋3b)．
[解] (1)a·b＝|a||b|cos
120°＝2×3×＝－3．
(2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5．
(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2
＝2|a|2＋5|a||b|cos
120°－3|b|2
＝8－15－27
＝－34．
1．求平面向量数量积的步骤：①求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b＝|a||b|cos
θ．要特别注意书写时，a与b之间用实心圆点“·”连结，而不能用“×”连结，也不能省去．
2．较复杂的数量积的运算，需先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简．
[跟进训练]
1．已知正三角形ABC的边长为1，求：
(1)·；(2)·；(3)·．
[解] (1)∵与的夹角为60°，
∴·＝||||cos
60°＝1×1×＝．
(2)∵与的夹角为120°，
∴·＝||||cos
120°
＝1×1×＝－．
(3)∵与的夹角为60°，
∴·＝||||cos
60°＝1×1×＝．
类型2 求向量的模
【例2】 已知向量＝a，＝b，∠AOB＝60°，且|a|＝|b|＝4．求|a＋b|，|a－b|，|3a＋b|．
[解] ∵a·b＝|a|·|b|cos∠AOB＝4×4×＝8，
∴|a＋b|＝＝
＝＝4，
|a－b|＝＝＝＝4，
|3a＋b|＝＝
＝＝4．
1．求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，要灵活应用a·a＝|a|2，勿忘记开方．
2．一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2等．
[跟进训练]
2．已知向量a与b夹角为45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝，则|b|＝________．
[因为|2a＋b|＝，
所以(2a＋b)2＝10，所以4a2＋4a·b＋b2＝10，
又因为向量a与b的夹角为45°，且|a|＝1，
所以4|a|2＋4|a||b|cos
45°＋|b|2＝10，故4×12＋4×1×|b|×＋|b|2＝10，整理得|b|2＋2|b|－6＝0，
解得|b|＝或|b|＝－3(舍去)，故|b|＝．]
类型3 求向量的夹角
【例3】 已知a，b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角．
由两组向量分别垂直可得出|a|，|b|同a·b的关系，由此可借助公式cos
θ＝求a与b的夹角.
[解] 由已知，得(a＋3b)·(7a－5b)＝0，
即7a2＋16a·b－15b2＝0，
①
(a－4b)·(7a－2b)＝0，即7a2－30a·b＋8b2＝0，
②
①②两式相减，得2a·b＝b2，∴a·b＝b2，
代入①②中任一式，得a2＝b2，设a，b的夹角为θ，
则cos
θ＝＝＝，
∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°．
求a与b夹角的思路
(1)求向量夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos
θ＝，最后借助θ∈[0，π]，求出θ的值．
(2)在个别含有|a|，|b|及a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cos
θ的值．
提醒：注意两向量的夹角θ∈[0，π]．
[跟进训练]
3．已知单位向量e1，e2的夹角为60°，求向量a＝e1＋e2，b＝e2－2e1的夹角θ．
[解] ∵e1，e2为单位向量且夹角为60°，
∴e1·e2＝1×1×cos
60°＝．
∵a·b＝(e1＋e2)·(e2－2e1)
＝－2－e1·e2＋1＝－2－＋1＝－，
|a|＝＝＝＝，
|b|＝＝＝＝，
∴cos
θ＝＝－×＝－．
又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°．
1．若|a|＝3，|b|＝4，a，b的夹角为60°，则a·b＝( )
A．3
B．6
C．6
D．12
B [∵a，b的夹角为60°，且|a|＝3，|b|＝4，
∴a·b＝3×4cos
60°＝12×＝6，故选B．]
2．(多选题)下面给出的关系式中正确的是( )
A．0·a＝0
B．a2＝|a|2
C．a·b≤|a||b|
D．(a·b)2＝a2·b2
ABC [(a·b)2＝a2·b2·cos2θ，故D错误，其余均正确．]
3．已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A．
B．
C．
D．
B [设a与b的夹角为α，∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0，∴a·b＝b2，∴|a|·|b|cos
α＝|b|2，又|a|＝2|b|，∴cos
α＝，∵α∈[0，π]，∴α＝．故选B．]
4．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在b方向上的投影向量为________．
b [cos
θ＝＝，向量a在b方向上的投影向量为(|a|cos
θ)＝＝b．]
5．若向量a⊥b，且|a|＝1，|b|＝3，则|a－b|＝________．
[∵a⊥b，∴a·b＝0，
又|a|＝1，|b|＝3，∴|a－b|＝＝＝＝．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．向量的数量积与实数运算有何区别？
[提示] (1)在实数运算中，若ab＝0，则a与b中至少有一个为0，而在向量数量积的运算中，不能从a·b＝0推出a＝0或b＝0．实际上由a·b＝0可推出以下四种结论：
①a＝0，b＝0；②a＝0，b≠0；③a≠0，b＝0；④a≠0，b≠0，但a⊥b．
(2)在实数运算中，若a，b∈R，则|ab|＝|a|·|b|，但对于向量a，b，却有|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立．这是因为|a·b|＝|a||b||cos
θ|，而|cos
θ|≤1．
(3)实数运算满足消去律：若bc＝ca，c≠0，则有b＝a．在向量数量积的运算中，若a·b＝a·c(a≠0)，则向量c，b在向量a方向上的投影相同，因此由a·b＝a·c(a≠0)不能得到b＝c．
(4)实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．
2．两个非零向量a，b的夹角为锐角?a·b>0吗？
[提示] 两个非零向量a，b的夹角为锐角?a·b>0且a·b≠|a||b|．
3．如何借助数量积求|a＋b|?
[提示] |a＋b|＝＝．
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-9.3 向量基本定理及坐标表示
9.3.1 平面向量基本定理
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养
1．理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义．(重点)
2．在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量．(重点)3．会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．(难点)
通过平面向量基本定理的推导与应用，培养逻辑推理与数学运算素养．
火箭在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度，在力的分解的平行四边形法则中，我们看到一个力可以分解为两个不共线方向的力的和．
问题：平面内任一向量是否可以用两个不共线的向量来表示呢？
知识点1 平面向量基本定理
(1)定理：如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．
(2)基底：两个不共线的向量e1，e2叫作这个平面的一组基底．
如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？
[提示] 能．依据是数乘向量和平行四边形法则．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)同一平面内只有不共线的两个向量可以作为基底．
( )
(2)0能与另外一个向量a构成基底．
( )
(3)平面向量的基底不是唯一的．
( )
[提示] 平面内任意一对不共线的向量都可以作为基底，故(2)是错误的．(1)，(3)正确．
[答案] (1)√ (2)× (3)√
2．已知向量a与b是一组基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y＝________．
3 [由原式可得解得所以x－y＝3．]
知识点2 平面向量的正交分解
由平面向量基本定理知，平面内任一向量a可以用一组基底e1，e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式．我们称λ1e1＋λ2e2为向量a的分解．当e1，e2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a的正交分解．
3．如图，若|e1|＝|e2|＝1，且e1·e2＝0则a＝_______，b＝______．(用向量e1，e2表示)
[答案] e1＋e2 e1＋3e2
类型1 对向量基底的理解
【例1】 如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，则下列说法正确的是( )
A．若实数λ1，λ2，使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0
B．空间任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，这里λ1，λ2为实数
C．对实数λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在该平面内
D．对平面内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对
A [平面α内任一向量都可写成e1与e2的线性组合形式，而不是空间内任一向量，故B不正确；对任意实数λ1，λ2，向量λ1e1＋λ2e2一定在平面α内，故C不正确；而对平面α内的任一向量a，实数λ1，λ2是唯一的，故D不正确．]
考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．
[跟进训练]
1．若向量a，b不共线，且c＝2a－b，d＝3a－2b，试判断c，d能否作为基底．
[解] 设存在实数λ使得c＝λd，则2a－b＝λ(3a－2b)，即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0．
由于a，b不共线，从而2－3λ＝2λ－1＝0，这样的λ是不存在的，从而c，d不共线，故c，d能作为基底．
类型2 用基底表示向量
【例2】 如图所示，在△ABC中，点M是AB的中点，且＝，BN与CM相交于点E，设＝a，＝b，试用基底a，b表示向量．
[解] 法一：由已知，在△ABC中，＝，且＝，已知BN与CM交于点E，过N作AB的平行线，交CM于D，如图所示．
在△ACM中，＝＝，
所以＝＝＝，
所以＝，
＝＋＝＋
＝＋(＋)
＝＋
＝＋＝a＋b．
法二：易得＝＝b，＝＝a，
由N，E，B三点共线知存在实数m，满足
＝m＋(1－m)＝mb＋(1－m)a．
由C，E，M三点共线知存在实数n，满足
＝n＋(1－n)＝na＋(1－n)b．
所以mb＋(1－m)a＝na＋(1－n)b．
因为a，b为基底，所以
解得所以＝a＋b．
将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直到用基底表示为止；另一种是通过列向量方程，利用基底表示向量的唯一性求解.
[跟进训练]
2．如图所示，已知?ABCD的边BC，CD上的中点分别为K，L，且＝e1，＝e2，试用e1，e2表示，．
[解] 设＝a，＝b，则
由得
∴
∴＝－＝(2e1－e2)，
∴＝e2－e1；＝＝e2－e1．
类型3 平面向量基本定理与向量共线定理的应用
【例3】 如图，在△ABC中，点M是BC的中点，N在AC上且AN＝2NC，AM与BN交于点P，求AP∶PM的值．
[解] 设＝a，＝b，
则＝(a＋b)，＝－a＋b．
∵A，P，M共线，
∴设＝λ，
∴＝(a＋b)．
同理设＝μ，
∴＝－μa＋μb．
∵＝＋，
∴a＝(a＋b)－，
∴a＝b．
∵a与b不共线，
∴
∴λ＝，μ＝，
∴＝，＝，
∴AP∶PM＝4∶1．
1．充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线，注意方程思想的应用．
2．用基底表示向量也是用向量解决问题的基础，应根据条件灵活应用，熟练掌握．
[跟进训练]
3．如图，平行四边形ABCD中，H为CD的中点，且AH与BD交于I，求AI∶IH的值．
[解] 设＝a，＝b，
则＝a＋b，＝a－b．
设＝λ，＝μ，
∴＝λ＝a＋λb，
又＝＋＝b＋μ(a－b)＝μa＋(1－μ)b，
故
∴λ＝1，
∴λ＝．
∴AI∶IH＝2∶1．
1．下列关于基底的说法正确的是( )
①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；
②基底中的向量可以是零向量；
③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的．
A．①③
B．②
C．①
D．②③
A [零向量与任意向量共线，故零向量不能作为基底中的向量，故②错，①③正确．]
2．(多选题)设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，能作为基底的是( )
A．e1＋e2和e1－e2
B．3e1－4e2和6e1－8e2
C．e1＋2e2和2e1＋e2
D．e1和e1＋e2
ACD [B中，∵6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，∴(6e1－8e2)∥(3e1－4e2)，∴3e1－4e2和6e1－8e2不能作为基底．故选ACD．]
3．如图，在矩形ABCD中，若＝5e1，＝3e2，则＝( )
A．(5e1＋3e2)
B．(5e1－3e2)
C．(3e2－5e1)
D．(5e2－3e1)
A [法一：∵＝5e1，＝3e2，
∴＝＋5e1＝＋3e2
∴＝(5e1＋3e2)，故选A．
法二：∵＝＋＝＋＝5e1＋3e2，
又＝2，
∴＝(5e1＋3e2)，故选A．]
4．设一直线上三点A，B，P满足＝m(m≠－1)，O是直线所在平面内一点，则用，表示为________．
＝＋ [由＝m，得－＝m(－)，
∴＋m＝＋m，
∴＝＝＋
．]
5．
在△AOB中，＝，D为OB的中点，若＝λ＋μ，则λμ的值为________．
－ [因为＝，所以＝(－)，因为D为OB的中点，
所以＝，
所以＝＋＝－＋(＋)＝－＋＋(－)＝－，
所以λ＝，μ＝－，则λμ的值为－．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．平面内的任一向量都可以表示成两个不共线向量的线性组合吗？
[提示] 是的．
2．若e1，e2不共线，且λe1＋μe2＝0，则λ，μ满足什么关系？
[提示] λ＝μ＝0．
3．一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G，可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直作用于斜面的力F2．类比力的分解，平面内任一向量能否用互相垂直的两向量表示？
[提示] 能，互相垂直的两向量可以作为一组基底．
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-9.3.2 向量坐标表示与运算
第1课时 向量的坐标表示
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1．掌握向量的坐标表示．(重点)2．掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则．(重点)3．正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．(易混点)
1．通过向量的坐标表示的学习，培养数学抽象素养．2．通过向量和、差及数乘向量的坐标运算法则的应用，培养数学运算素养．
平面内建立了直角坐标系，点A可以用什么来表示？平面向量是否也有类似的表示？
知识点1 向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的向量a，由平面向量的基本定理可知，有且只有一对有序实数(x，y)，使得a＝xi＋yj．我们把有序实数对(x，y)称为向量a的(直角)坐标，记作a＝(x，y)．
1．在平面直角坐标系内，给定点A的坐标为A(1，1)，则A点位置确定了吗？给定向量a的坐标为a＝(1，1)，则向量a的位置确定了吗？
[提示] 对于A点，若给定坐标为A(1，1)，则A点位置确定．对于向量a，给定的坐标为a＝(1，1)，此时给出了a的方向和大小，但因向量的位置由起点和终点确定，且向量可以任意平移，因此a的位置还与其起点有关．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不相同．
( )
(2)向量的坐标就是向量终点的坐标．
( )
[答案] (1)× (2)×
知识点2 向量线性运算的坐标表示
(1)已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ，那么a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)．
(2)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，则＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标．
2．设i，j是分别与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向量a＋b，a－b，λa(λ∈R)如何分别用基底i，j表示？
[提示] a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，
a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j，λa＝λx1i＋λy1j．
2．若A(2，－1)，B(－1，3)，则的坐标是( )
A．(1，2)
B．(－1，－2)
C．(－3，4)
D．(3，－4)
C [＝－＝(－1，3)－(2，－1)＝(－3，4)．]
3．若a＝(－1，2)，b＝(3，4)，则a＋b＝______；a－b＝________；3a＝________；－5b＝________．
(2，6) (－4，－2) (－3，6) (－15，－20) [a＋b＝(2，6)，a－b＝(－4，－2)，3a＝(－3，6)，－5b＝(－15，－20)．]
类型1 平面向量的坐标表示
【例1】 (对接教材P28例1)在直角坐标系xOy中，向量a，b的位置如图，|a|＝4，|b|＝3，且∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，分别求向量a，b的坐标．
[解] 设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，由于向量a相对于x轴正方向的转角为45°，
所以a1＝|a|cos
45°＝4×＝2，a2＝|a|sin
45°＝4×＝2．
可以求得向量b相对于x轴正方向的转角为120°，
所以b1＝|b|cos
120°＝3×＝－，
b2＝|b|sin
120°＝3×＝．
故a＝(2，2)，b＝．
求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算.
[跟进训练]
1．在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向和长度如图所示，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别求它们的坐标．
[解] 设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，c＝(c1，c2)，则
a1＝|a|cos
45°＝2×＝，
a2＝|a|sin
45°＝2×＝；
b1＝|b|cos
120°＝3×＝－，
b2＝|b|sin
120°＝3×＝；
c1＝|c|cos(－30°)＝4×＝2，
c2＝|c|sin(－30°)＝4×＝－2．
因此a＝(，)，b＝，c＝(2，－2)．
类型2 平面向量的坐标运算
【例2】 已知平面上三个点A(4，6)，B(7，5)，C(1，8)，求，，＋，2＋．
[解] ∵A(4，6)，B(7，5)，C(1，8)，
∴＝(3，－1)，＝(－3，2)，
＋＝(0，1)，
2＋＝(6，－2)＋＝．
平面向量坐标的线性运算的方法
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．
[跟进训练]
2．已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝3，＝2，求M，N的坐标和的坐标．
[解] 因为A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，
所以＝(1，8)，＝(6，3)．
设M(x，y)，则＝(x＋3，y＋4)．
由＝3得(x＋3，y＋4)＝3(1，8)，
即
解得即M(0，20)．
同理可得N(9，2)，
所以＝(9，－18)．
类型3 平面向量线性运算的坐标应用
【例3】 已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及＝＋t，试问：
(1)当t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？
(2)四边形OABP是否能成为平行四边形？若能，则求出t的值．若不能，说明理由．
以坐标轴上点的坐标特征为切入点求解t的值；结合平行四边形的向量表达式建立参数t的表达式．
[解] (1)＝(3，3)，
＝＋t＝(1＋3t，2＋3t)，
则P(1＋3t，2＋3t)．
若P在x轴上，则2＋3t＝0，所以t＝－；
若P在y轴上，则1＋3t＝0，所以t＝－．
(2)因为＝(1，2)，＝(3－3t，3－3t)，
若OABP是平行四边形，则＝，
所以此方程组无解；
故四边形OABP不可能是平行四边形．
1．(变条件)在本例条件下，若P在第三象限，求t的取值范围．
[解] 由本例解知，若P在第三象限，则解得t<－，所以t的取值范围为．
2．(变条件)在本例条件下，t为何值时，P在函数y＝－x的图象上？
[解] 由P点坐标(1＋3t，2＋3t)在y＝－x上，
得2＋3t＝－1－3t，解得t＝－．
即t＝－时，P在y＝－x的图象上．
已知含参的向量等式，依据某点的位置探求参数的问题，其本质是坐标运算的运用，用已知点的坐标和参数表示出该点的坐标，利用点的位置确定其横纵坐标满足的条件，建立关于参数的方程?组?或不等式?组?，求解即可.
提醒：要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标.
[跟进训练]
3．已知点A(－1，2)，B(2，8)及＝，＝－，求点C，D及的坐标．
[解] 设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
由题意可得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3，6)，＝(－1－x2，2－y2)，＝(－3，－6)．
∵＝，＝－，
∴(x1＋1，y1－2)＝(3，6)＝(1，2)，
(－1－x2，2－y2)＝－(－3，－6)＝(1，2)，
则有和
解得和
∴C，D的坐标分别为(0，4)和(－2，0)．
因此＝(－2，－4)．
1．已知＝(1，3)，且点A(－2，5)，则点B的坐标为( )
A．(1，8)
B．(－1，8)
C．(3，2)
D．(－3，2)
B [∵＝－，
∴＝＋＝(－2，5)＋(1，3)＝(－1，8)，故选B．]
2．若a＝(3，4)，b＝(－1，5)，则3a－2b的坐标为( )
A．(7，22)
B．(11，2)
C．(－11，－2)
D．(－7，－22)
B [3a－2b＝3(3，4)－2(－1，5)＝(9，12)－(－2，10)＝(11，2)．故选B．]
3．(多选题)下列说法正确的是( )
A．向量的坐标即此向量终点的坐标
B．位置不同的向量其坐标可能相同
C．一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标
D．相等的向量坐标一定相同
BD [向量是自由向量，位置不同，可能是相同的向量，同时相等的向量坐标一定相同．故正确的说法是BD．]
4．已知向量＝(3，－2)，＝(－5，－1)，则向量的坐标是________．
[∵＝－＝(－5，－1)－(3，－2)＝(－8，1)，∴＝．]
5．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，＝(2，4)，＝(1，3)，则的坐标为________．
(－3，－5) [由题意可得＝＝－＝(1，3)－(2，4)＝(－1，－1)，∴＝－＝(－1，－1)－(2，4)＝(－3，－5)．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．点的坐标与向量的坐标有何区别？
[提示] (1)向量a＝(x，y)中间用等号连结，而点的坐标A(x，y)中间没有等号．
(2)平面向量的坐标只有当起点在原点时，向量的坐标才与向量终点的坐标相同．
(3)在平面直角坐标系中，符号(x，y)可表示一个点，也可表示一个向量，叙述中应指明点(x，y)或向量(x，y)．
2．向量与其终点坐标是一一对应关系吗？
[提示] 不是一一对应关系，当且仅当向量的起点为坐标原点时，向量坐标与其终点的坐标是一一对应关系．
3．平面向量加、减、数乘运算的坐标如何运算？
[提示]
文字叙述
符号表示
加法
两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
减法
两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝(x1－x2，y1－y2)
数乘向量
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标
若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)
向量的坐标
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标
若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)
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-第2课时 向量数量积的坐标表示
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1．理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算．(重点)2．能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式．(重点)3．能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直．(重点、难点)
通过平面向量数量积的学习与应用，提升数学运算和逻辑推理核心素养．
设i，j是两个互相垂直且分别与x轴，y轴的正半轴同向的单位向量．i·i，j·j，i·j分别是多少？取i，j为坐标平面内的一组基底，设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，试将a，b用i，j表示，并计算a·b．
知识点1 平面向量数量积的坐标运算
若两个向量为a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．
1．已知a＝(1，－1)，b＝(2，3)，则a·b＝( )
A．1 B．－1 C．5 D．－5
B [∵a＝(1，－1)，b＝(2，3)，
∴a·b＝1×2－3＝－1．]
2．已知a＝(－2，x)，b＝(0，1)，若a·b＝3，则x＝___．
3 [∵a＝(－2，x)，b＝(0，1)，∴a·b＝x＝3．]
知识点2 向量的长度、夹角、垂直的坐标表示
(1)向量的模：设a＝(x，y)，则a2＝x2＋y2，即|a|＝．
(2)向量的夹角公式：设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，它们的夹角为θ，则cos
θ＝＝
．
特别地，若a⊥b，则x1x2＋y1y2＝0；反之，若x1x2＋y1y2＝0，则a⊥b．
若A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何计算向量的模？
[提示] ∵＝－＝(x2－x1，y2－y1)，
∴||＝．
3．已知a＝(－5，5)，b＝(0，－3)，则|a|＝________，a与b的夹角为________．
5 [∵a·b＝－15，|a|＝＝5，|b|＝3，∴cos
θ＝＝＝－，
又θ∈[0，π]，∴θ＝．]
4．已知a＝(3，1)，b＝(x，－5)，若a⊥b，则x＝____．
[∵a⊥b，∴a·b＝0，∴3x－5＝0，∴x＝．]
类型1 数量积的坐标运算
【例1】 已知a＝(1，3)，b＝(2，5)，c＝(2，1)，求：
(1)a·b；(2)(a＋b)·(2a＋b)；(3)(a·b)·c．
[解] (1)a·b＝1×2＋3×5＝17．
(2)∵a＋b＝(3，8)，
2a＋b＝(4，11)，
∴(a＋b)·(2a＋b)＝12＋88＝100．
(3)(a·b)·c＝17c＝(34，17)．
利用数量积的条件求平面向量的坐标，一般来说应当先设出向量的坐标，然后根据题目中已知的条件，找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算，列出方程组来进行求解.
[跟进训练]
1．已知a与b同向，b＝(1，2)，a·b＝10．
(1)求a的坐标；
(2)若c＝(2，－1)，求a·(b·c)及(a·b)·c．
[解] (1)设a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)，则有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2，4)．
(2)∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝10，
∴a·(b·c)＝0·a＝0，
(a·b)·c＝10×(2，－1)＝(20，－10)．
类型2 向量的夹角
【例2】 已知A(2，－2)，B(5，1)，C(1，4)，求∠BAC的余弦值．
[解] ∵＝(5，1)－(2，－2)＝(3，3)，
＝(1，4)－(2，－2)＝(－1，6)，
∴·＝3×(－1)＋3×6＝15．
又||＝＝3，
||＝＝，
∴cos∠BAC＝＝＝．
已知a，b的坐标求夹角时，应先求出a·b及|a|，|b|，再代入夹角公式，由夹角的余弦值确定夹角的大小.
[跟进训练]
2．已知向量a＝(－1，2)，b＝(2，－4)，|c|＝，若(c－b)·a＝，则a与c的夹角为________．
120° [∵a·b＝－10，∴(c－b)·a＝c·a－b·a＝c·a＋10＝，
∴c·a＝－．
设a与c的夹角为θ，则cos
θ＝＝＝－．
又θ∈[0°，180°]，
∴θ＝120°．]
类型3 向量垂直的综合应用
【例3】 已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3，2)，C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求||．
[解] 法一：设点D坐标为(x，y)，则＝(x－2，y＋1)，＝(－6，－3)，＝(x－3，y－2)，
∵D在直线BC上，即与共线，
∴存在实数λ，使＝λ，
即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)，
∴
∴x－3＝2(y－2)，即x－2y＋1＝0．①
又∵AD⊥BC，
∴·＝0，
即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，
∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0，
即2x＋y－3＝0．②
由①②可得即D点坐标为(1，1)，＝(－1，2)，
∴||＝＝，即||＝．
法二：在△ABC中，A(2，－1)，B(3，2)，C(－3，－1)，
所以＝(－6，－3)，＝(1，
3)．
与垂直的一个向量＝(－3，6)，所以||＝3，·＝15．
向量在上的投影向量＝(||cos
θ
)(其中θ为和的夹角)，
所以||＝＝＝＝．
向量的垂直问题主要借助于结论：a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0，把几何问题转化为代数问题．它对于解决向量以及平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握．
(1)与向量a＝(x，y)垂直的一个向量可以设为b＝(y，－x)；
(2)求△ABC中BC边上的高AD，可以先求出与垂直的一个向量，再求出(或)在上的投影向量的模，就是高AD的大小．
[跟进训练]
3．已知边长为2的菱形ABCD中，点F为BD上一动点，点E满足＝2，·＝－，则·的最小值为( )
A．－
B．－
C．－
D．－
D [由题意知＝．设∠DAB＝θ，
∴·＝(＋)·(－)＝·－2＋·－·＝4cos
θ－4＋－cos
θ＝－，
∴cos
θ＝，
∴θ＝．
以AC与BD交点为原点，AC所在直线为x轴，BD所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(－，0)，E．
设F(0，t)，则＝(，t)，
＝，
∴·＝－2＋t＝t2＋t－2．
∴当t＝－时，(·)min＝－－2＝－．]
1．设向量a＝(1，0)，b＝，则下列结论中正确的是( )
A．|a|＝|b|
B．a·b＝
C．a－b与b垂直
D．a＋b与b垂直
C [由题知|a|＝＝1，|b|＝＝，a·b＝1×＋0×＝，(a＋b)·b＝a·b＋|b|2＝＋＝1≠0，(a－b)·b＝a·b－|b|2＝－＝0，故a－b与b垂直．]
2．若a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a－b＝(，)，则|2a－b|＝( )
A．
B．
C．2
D．2
C [由已知得(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1－2a·b＋4＝5，∴a·b＝0，∴(2a－b)2＝4a2－4a·b＋b2＝4－0＋4＝8，∴|2a－b|＝2，故选C．]
3．向量m＝(x－5，1)，n＝(4，x)，m⊥n，则x＝________．
4 [4(x－5)＋x＝0，
∴x＝4．]
4．已知a＝(－1，3)，b＝(2，－1)，则a与b的夹角为________．
[cos
θ＝
＝＝－，
又θ∈[0，π]，
∴θ＝．]
5．若向量a＝(1，3)，b＝(－x，－1)的夹角为钝角，则实数x的取值范围为________．
[∵向量a＝(1，3)，b＝(－x，－1)的夹角为钝角，∴a·b<0，且两个向量不是反向共线的向量，∴1×(－x)＋3×(－1)<0，解得x>－3，而当x＝时，两向量反向共线，故实数x的取值范围为．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a⊥b，则其坐标间满足什么等量关系？与向量a垂直的一个向量，能用x1，y1表示出来吗？
[提示] a⊥b?x1x2＋y1y2＝0．与向量a垂直的一个向量，能用x1，y1表示为(y1，－x1)．
2．应用平面向量数量积的坐标运算可以解决哪些常见问题？
[提示] (1)求平面向量的数量积；
(2)解决向量模的问题；
(3)解决向量的夹角与垂直问题．
特别是求已知三角形的高的问题，两种思路：方程思想求垂足坐标；利用投影向量的模．
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7
-9.3.3 向量平行的坐标表示
学
习
任
务
核
心
素
养
1．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．(重点)
2．能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线．(重点)3．掌握三点共线的判断方法．(难点)
通过学习向量平行的坐标表示，提升逻辑推理和数学运算核心素养．
如果向量a，b共线(其中b≠0)，那么a，b满足什么关系？如何用坐标表示两个共线向量？
知识点 向量平行的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(a≠0)，如果a∥b，那么x1y2－x2y1＝0；反过来，如果x1y2－x2y1＝0，那么a∥b．
当a∥b时，a，b的坐标成比例吗？
[提示] 坐标不为0时成正比例．
1．下列各组向量中，共线的是( )
A．a＝(－2，3)，b＝(4，6)
B．a＝(2，3)，b＝(3，2)
C．a＝(1，－2)，b＝(7，14)
D．a＝(－3，2)，b＝(6，－4)
D [∵在D中，b＝(6，－4)，a＝(－3，2)，
∴b＝－2(－3，2)＝－2a，
∴a与b共线．]
2．若a＝(2，3)，b＝(x，6)，且a∥b，则x＝______．
4 [∵a∥b，
∴2×6－3x＝0，即x＝4．]
类型1 向量平行的判定
【例1】 已知A(2，1)，B(0，4)，C(1，3)，D(5，－3)，判断与是否平行？如果平行，它们的方向相同还是相反？
[解] ∵A(2，1)，B(0，4)，C(1，3)，D(5，－3)，
∴＝(0，4)－(2，1)＝(－2，3)，
＝(5，－3)－(1，3)＝(4，－6)．
∵(－2)×(－6)－3×4＝0，且(－2)×4＜0，
∴与平行且方向相反．
此类题目应充分利用向量共线定理或向量共线坐标的条件进行判断.
提醒：利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配.
[跟进训练]
1．已知A，B，C三点坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，并且＝，＝，求证：∥
．
[证明] 设点E，F的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．
依题意有，＝(2，2)，＝(－2，3)，＝(4，－1)．
∵＝，
∴(x1＋1，y1)＝(2，2)，
∴点E的坐标为，
同理点F的坐标为，
∴＝．
又×(－1)－4×＝0，
∴∥．
类型2 利用向量共线求参数的值
【例2】 已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
[解] 法一：ka＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)，
a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)，
当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，
使ka＋b＝λ(a－3b)．
即(k－3，2k＋2)＝λ(10，－4)，
所以解得k＝λ＝－．
当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，
这时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)，
因为λ＝－<0，
所以ka＋b与a－3b反向．
法二：由题知ka＋b＝(k－3，2k＋2)，
a－3b＝(10，－4)．
因为ka＋b与a－3b平行，
所以(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，
解得k＝－．
这时ka＋b＝＝－(a－3b)．
所以当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．
1．对于根据向量共线的条件求值的问题，一般有两种处理思路：一是利用共线向量定理a＝λb(b≠0)列方程组求解；二是利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解．
2．利用x1y2－x2y1＝0求解向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征．
[跟进训练]
2．已知向量a＝(1，1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－2a平行，求实数x的值．
[解] 因为a＝(1，1)，b＝(2，x)，
所以a＋b＝(3，x＋1)，4b－2a＝(6，4x－2)，
由a＋b与4b－2a平行，得6(x＋1)－3(4x－2)＝0，解得x＝2．
类型3 共线向量与定比分点公式
【例3】 (对接教材P30例4)已知两点A(3，－4)，B(－9，2)在直线AB上，求一点P使||＝||．
以A、B、P三点共线及||＝||为切入点，思考与的关系，进而求出点P的坐标.
[解] 设点P的坐标为(x，y)，
①若点P在线段AB上，则＝，
∴(x－3，y＋4)＝(－9－3，2＋4)，
解得x＝－1，y＝－2，
∴P(－1，－2)．
②若点P在线段BA的延长线上，则＝－，
∴(x－3，y＋4)＝－(－9－3，2＋4)，
解得x＝7，y＝－6，
∴P(7，－6)．
综上可得点P的坐标为(－1，－2)或(7，－6)．
1．(变结论)本例条件不变，给出点P(k，12)，当k为何值时，P，A，B三点共线．
[解] ＝(k－3，16)，＝(－12，6)，
当P，A，B共线时，存在唯一实数λ，
使＝λ，
即(k－3，16)＝λ(－12，6)，
∴解得k＝－29．
2．(变条件)若P在线段AB的延长线上，求点P，使＝．
[解] 设点P的坐标为(x，y)，
＝(－12，6)，＝(x－3，y＋4)，
由＝得
解得
∴点P的坐标为(－33，14)．
若＝λ，则当λ≠－1时，可以推导出此公式为线段定比分点坐标公式，因此点P的坐标为P.
[跟进训练]
3．已知线段AB的端点分别为A(x，5)，B(－2，y)，C(1，1)是直线AB上的点，且有||＝2||，求x，y的值．
[解] 由||＝2||，且点C在直线AB上，得＝±2．
由题意，得＝(1－x，1－5)＝(1－x，－4)，2＝2(1＋2，1－y)＝(6，2－2y)．
①当＝2时，有解得
②当＝－2时，有解得
综合①②可知或
1．(多选题)下列说法正确的是( )
A．存在向量a与任何向量都是平行向量
B．如果向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a∥b，则＝
C．如果向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a∥b，则x1y2－x2y1＝0
D．如果向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且＝，则a∥b
ACD [A正确，当a是零向量时，零向量与任何向量都是平行向量；B不正确，当y1＝0或y2＝0时，显然不能用＝来表示；C、D正确．故选ACD．]
2．已知向量a＝(1，2)，b＝(0，1)，设u＝a＋kb，v＝2a－b，若u∥v，则实数k的值为( )
A．－1
B．－
C．
D．1
B [∵u＝(1，2)＋k(0，1)＝(1，2＋k)，
v＝(2，4)－(0，1)＝(2，3)，且u∥v，
∴1×3＝2×(2＋k)，得k＝－．故选B．]
3．已知A、B、C三点在一条直线上，且A(3，－6)，B(－5，2)，若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为( )
A．－13
B．9
C．－9
D．13
C [设C点坐标为(6，y)，则＝(3，y＋6)．
∵A，B，C三点共线，＝(－8，8)，∴＝，∴y＝－9．]
4．已知四点A(－2，－3)，B(2，1)，C(1，4)，D(－7，－4)，则与的关系是________．(填“共线”或“不共线”)
共线 [＝(2，1)－(－2，－3)＝(4，4)，
＝(－7，－4)－(1，4)＝(－8，－8)，
因为4×(－8)－4×(－8)＝0，
所以∥，即与共线．]
5．若P1(1，2)，P(3，2)，且＝2，则P2的坐标为________．
(4，2) [设P2(x，y)，则＝(2，0)，
＝(x－3，y－2)，2＝(2x－6，2y－4)．
由＝2可得
解得]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b及a⊥b的条件分别是什么？
[提示]
a∥b
x1y2－x2y1＝0
a⊥b
x1x2＋y1y2＝0
2．若点P(x，y)是线段P1P2的中点，且P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何用P1，P2的坐标表示点P的坐标？
[提示] P，因为＝，
所以(x－x1，y－y1)＝(x2－x1，y2－y1)，
∴x＝，y＝．
3．在△ABC中，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标如何表示？
[提示] △ABC的重心坐标G．
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-9.4 向量应用
学
习
任
务
核
心
素
养
1．会用向量方法解决简单的物理问题及其他的一些实际问题．2．会用向量方法解决某些简单的几何问题．(重点、难点)
通过学习向量的应用，提升数学建模和数学运算核心素养．
1．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夹角为θ．
证明线线平行、点共线及相似问题，可用向量的哪些知识？证明垂直问题，可用向量的哪些知识？
2．
物理中的量如力、速度、加速度、位移和向量有什么关系？物理学中的力、速度、加速度、位移的合成和分解是向量的什么运算？
知识点 向量的应用
(1)用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
(2)向量在物理中的应用
①速度、加速度、位移、力的合成和分解，实质上就是向量的加减法运算，求解时常用向量求和的平行四边形法则和三角形法则．
②物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积．
(3)向量在平面解析几何中的应用
向量在解析几何中的应用主要表现在两个方面：一是作为题设条件；二是作为解决问题的工具使用，充分体现了几何问题代数化的思想，是高考考查的热点之一．解决此类问题的思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是向量平行或垂直的坐标表示；二是向量数量积的公式和性质．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若△ABC是直角三角形，则有·＝0．
( )
(2)若∥，则直线AB与CD平行．
( )
(3)在物体的运动过程中，力越大，做功越多．
( )
[提示] (1)可能·＝0或·＝0，故错误．
(2)∥，AB，CD亦可能在一条直线上，故错误．
(3)W＝F·s＝|F|·|s|cos
θ，故错误．
[答案] (1)× (2)× (3)×
2．已知△ACB，＝a，＝b，且a·b＜0，则△ABC的形状为( )
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．不能确定
[答案] A
3．已知F＝(2，3)作用一物体，使物体从A(2，0)移动到B(4，0)，则力F对物体作的功为________．
[答案] 4
类型1 向量在物理中的应用
【例1】 (对接教材P38例1)如图所示，在重300
N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，求当整个系统处于平衡状态时，两根绳子拉力的大小．
[解] 如图，作平行四边形OACB，使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°．
在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°．||＝||cos
30°＝300×＝150(N)，||＝||sin
30°＝×300＝150(N)．
故与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150
N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150
N．
1．解力向量题时，依据题意对物体进行受力分析，通过向量加法的平行四边形法则对力进行分解和合成．
2．解题时要明确各个力之间的关系及它们各自在题目中的地位，借助于图形，将物理量之间的关系抽象为数学模型．
[跟进训练]
1．已知两恒力F1＝(3，4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20，15)移动到点B(7，0)．
(1)求F1，F2分别对质点所做的功(J)；
(2)求F1，F2的合力F对质点所做的功(J)．
[解] (1)＝(－13，－15)，
W1＝F1·＝(3，4)·(－13，－15)
＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)，
W2＝F2·＝(6，－5)·(－13，－15)
＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)．
∴力F1，F2对质点所做的功分别为－99
J和－3
J．
(2)W＝F·＝(F1＋F2)·
＝[(3，4)＋(6，－5)]·(－13，－15)
＝(9，－1)·(－13，－15)
＝9×(－13)＋(－1)×(－15)
＝－117＋15＝－102(J)．
∴合力F对质点所做的功为－102
J．
类型2 向量在平面几何中的应用
【例2】 如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE．
[解] 法一：设＝a，＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0，
又＝＋＝－a＋，＝＋＝b＋，
所以·＝·
＝－a2－a·b＋＝－|a|2＋|b|2＝0，
故⊥，即AF⊥DE．
法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，＝(2，1)，＝(1，－2)．
因为·＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以⊥，即AF⊥DE．
向量法证明平面几何问题的方法
(1)向量的线性运算法
→→
→
(2)向量的坐标运算法
→→
→
但比较以上两种方法，易于知道，如果题目建系比较方便，坐标法更好用．
[跟进训练]
2．已知在正方形ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P．求证：(1)BE⊥CF；(2)AP＝AB．
[证明] 建立如图所示的平面直角坐标系，设AB＝2，则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，E(1，2)，F(0，1)．
(1)∵＝(－1，2)，＝(－2，－1)．
∴·＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0，∴⊥，即BE⊥CF．
(2)设点P坐标为(x，y)，
则＝(x，y－1)，＝(2，1)，∵∥，
∴x＝2(y－1)，即x＝2y－2，
同理，由∥，得y＝－2x＋4，
由得
∴点P的坐标为．
∴||＝＝2＝||，即AP＝AB．
类型3 平面向量的综合应用
【例3】 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，·＝9，tan
A＝，P为线段AB上的点，且＝x·＋y·，则xy的最大值为________．
3 [在Rt△ABC中，由·＝9，得AB·AC·cos
A＝9，
因为Rt△ABC中，∠C＝90°，tan
A＝，
所以cos
A＝，
所以AB·AC＝15，
所以AB＝5，AC＝3，BC＝4．
又P为线段AB上的点，且＝·＋·，
故＋＝1≥2，即xy≤3，当且仅当＝＝，
即x＝，y＝2时取等号．]
利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，要先将线段看成向量，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化，得以解决.
[跟进训练]
3．
在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝1，AB＝BC＝2，∠BCD＝120°，动点P和Q分别在线段BC和CD上，且＝λ，＝，则·的最大值为( )
A．－2
B．－
C．
D．
D [因为AB∥CD，CD＝1，AB＝BC＝2，∠BCD＝120°，
所以ABCD是直角梯形，作CM⊥AB交AB于M点，则CM＝，∠BCM＝30°，
以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
因为＝λ，＝，动点P和Q分别在线段BC和CD上，则λ∈，
B(2，0)，P(2－λ，λ)，Q，
所以·
＝(2－λ，λ)·
＝5λ＋－4－．
令f(λ)＝5λ＋－4－且λ∈，
由对勾函数性质可知，当λ＝1时可取得最大值，
则f(λ)max＝f(1)＝5＋－4－＝．]
1．若＝3a，＝－5a，且||＝||，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形
B．菱形
C．等腰梯形
D．直角梯形
C [因为＝3a，＝－5a，所以∥，||≠||．又||＝||，所以四边形ABCD是等腰梯形，故选C．]
2．力F＝(－1，－5)作用于质点m，使m产生的位移s＝(4，6)，则力F对质点m做的功是( )
A．34
B．26
C．－34
D．－26
C [∵W＝F·s＝(－1，－5)·(4，6)＝－34，
∴力F对m所做的功是－34．]
3．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20
N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为( )
A．40
N
B．10
N
C．20
N
D．10
N
B [设F1，F2夹角为90°时合力为F0，由平行四边形法则可知，|F1|＝|F2|＝|F0|cos
45°＝10
N．当F1和F2的夹角为120°时，由平行四边形法则知合力|F|＝10
N，故选B．]
4．在平面直角坐标系xOy中，已知＝(－1，t)，＝(2，2)．若∠ABO＝90°，则实数t的取值为________．
5 [＝－＝(3，2－t)，由题意知·＝0，
所以2×3＋2×(2－t)＝0，解得t＝5．]
5．在OA为边，OB为对角线的矩形中，＝(－3，1)，＝(－2，k)，则实数k＝________．
4 [如图所示，由于＝(－3，1)，＝(－2，k)，所以＝－＝(1，k－1)．在矩形中，由⊥得·＝0，所以(－3，1)·(1，k－1)＝0，即－3×1＋1×(k－1)＝0，解得k＝4．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．应用平面向量可以解决平面几何中的哪些问题？
[提示] 平行、垂直、夹角、距离等问题．
2．应用平面向量可以解决物理中的哪些问题？
[提示] 力的合成与分解，速度的合成与分解，做功问题等等．
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