2021-2022学年青岛新版九年级上册数学《第1章 图形的相似》单元测试卷（word版含解析）

2021-2022学年青岛新版九年级上册数学《第1章
图形的相似》单元测试卷
一．选择题
1．下列说法正确的是（　　）
A．任意两个等腰三角形都相似
B．任意两个菱形都相似
C．任意两个正五边形都相似
D．对应角相等的两个多边形相似
2．下列图形一定相似的是（　　）
A．所有的直角三角形
B．所有的等腰三角形
C．所有的矩形
D．所有的正方形
3．一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个多边形和这个多边形相似，且最短边长为6，则最长边长为（　　）
A．18
B．12
C．24
D．30
4．如图，D是△ABC的边AC上一点，那么下面四个命题中错误的是（　　）
A．如果∠ADB＝∠ABC，则△ADB∽△ABC
B．如果∠ABD＝∠C，则△ABD∽△ACB
C．如果，则△ABC∽△ADB
D．如果，则△ADB∽△ABC
5．下列说法正确的是（　　）
A．矩形都是相似图形
B．各角对应相等的两个五边形相似
C．等边三角形都是相似三角形
D．各边对应成比例的两个六边形相似
6．如果两个相似三角形的周长比是1：2，那么它们的面积比是（　　）
A．1：2
B．1：4
C．1：
D．：1
7．如图，AB∥CD，点E在AB上，点F在CD上，AC、BD、EF相交于点O，则图中相似三角形共有（　　）
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
8．如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，则△BEF与△DCF的面积比为（　　）
A．
B．
C．
D．
9．如图，在4×4的正方形网格中，画2个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
10．如图，已知，M，N分别为锐角∠AOB的边OA，OB上的点，ON＝6，把△OMN沿MN折叠，点O落在点C处，MC与OB交于点P，若MN＝MP＝5，则PN＝（　　）
A．2
B．3
C．
D．
二．填空题
11．若两个相似六边形的周长的比是3：2，其中较大一个六边形的面积为81，则较小一个六边形的面积为　
　．
12．若一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，则此三角形的周长扩大为原来的　
　倍．
13．如图，用放大镜将图形放大，应属于哪一种变换：　
　（请选填：对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换）．
14．如图，小明为了测量树的高度CD，他在与树根同一水平面上的B处放置一块平面镜，然后他站在A处刚好能从镜中看到树顶D，已知A、B、C三点在同一直线上，且AB＝2m，BC＝8m．他的眼睛离地面的高度1.6m，则树的高度CD为　
　m．
15．（经典题）挂在墙上的中国地图与课本上的中国地图　
　相似的图形．
16．如图，在直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为（8，0）和（0，6），点C为AB的中点，点D在x轴上，当D点坐标为　
　时，由点A，C，D组成的三角形与△AOB相似．
17．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是OB的中点，连接AE并延长交BC于点F．若△BEF的面积为1，则△AED的面积为　
　．
18．如图，在大小为4×4的正方形方格中，△ABC的顶点A、B、C在单位正方形的顶点上，请在图中画一个△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC（相似比不为1），且点A1、B1、C1都在单位正方形的顶点上．　
　．
19．若△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比为　
　．
20．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠ABC＝90°，且AB＝3，点E是边AB上的动点，当△ADE，△BCE，△CDE两两相似时，则AE＝　
　．
三．解答题
21．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D，E分别为BC，AB边上一点，∠ADE＝∠C．
（1）求证：△BDE∽△CAD；
（2）若CD＝2，求BE的长．
22．我们已经知道：如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同，我们就把它们叫做相似图形．比如两个正方形，它们的边长，对角线等所有元素都对应成比例，就可以称它们为相似图形．
现给出下列4对几何图形：①两个圆；②两个菱形；③两个长方形；④两个正六边形．请指出其中哪几对是相似图形，哪几对不是相似图形，并简单地说明理由．
23．如图1，将A4纸2次折叠，发现第一次的折痕与A4纸较长的边重合，如图2，将1张A4纸对折，使其较长的边一分为二，沿折痕剪开，可得2张A5纸．
（1）A4纸较长边与较短边的比为　
　；
（2）A4纸与A5纸是否为相似图形？请说明理由．
24．如图，已知∠1＝∠2，∠AED＝∠C，求证：△ABC∽△ADE．
25．如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且∠BAC＝∠BDC＝∠DAE．求证：△ABE∽△ACD．
26．如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．
（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为m°和n°，将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|，于是|m﹣n|越小，菱形越接近于正方形．
①若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于　
　；
②当菱形的“接近度”等于　
　时，菱形是正方形．
（2）设矩形相邻两条边长分别是a和b（a≤b），将矩形的“接近度”定义为|a﹣b|，于是|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．
你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义．
27．阅读下面的短文，并解答下列问题：
我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．
如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比（a：b）．
设S甲、S乙分别表示这两个正方体的表面积，则＝＝（）2
又设V甲、V乙分别表示这两个正方体的体积，则＝＝（）3
（1）下列几何体中，一定属于相似体的是（A）
A．两个球体B．两个锥体C．两个圆柱体D．两个长方体
（2）请归纳出相似体的三条主要性质：
①相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于　
　；
②相似体表面积的比等于　
　；
③相似体体积比等于　
　．
（3）假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一人的人体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为1.1米，体重为18千克，到了初三时，身高为1.65米，问他的体重是多少？（不考虑不同时期人体平均密度的变化）
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：A、任意两个等腰三角形都相似，错误；
B、任意两个菱形都相似，错误；
C、任意两个正五边形都相似，正确；
D、对应角相等的两个多边形相似，错误，
故选：C．
2．解：A、所有的直角三角形，属于形状不唯一确定的图形，故错误；
B、所有的等腰三角形，属于形状不唯一确定的图形，故错误；
C、所有的矩形，属于形状不唯一确定的图形，故错误；
D、所有的正方形，形状相同，但大小不一定相同，符合相似定义，故正确．
故选：D．
3．解：设这个多边形的最长边是x，
则＝，
解得x＝18．
故选：A．
4．解：A中∠ADB＝∠ABC，∠A为公共角，所以A正确；
B中∠ABD＝∠C，∠A为公共角，所以B也正确；
C中对应边成比例，对应角相等，也正确；
D中对应边成比例，但夹角不相等，所以错误
故选：D．
5．解：A．矩形对应角相等，对应边不一定成比例，所以不一定是相似图形，故本选项错误；
B．
各角对应相等的两个五边形相似，对应角相等，对应边不一定成比例，所以不一定是相似图形，故本选项错误；
C．
等边三角形对应角相等，对应边成比例，所以是相似三角形，故本选项正确；
D．
各边对应成比例的六边形对应角不一定相等，所以不一定是相似六边形，故本选项错误；
故选：C．
6．解：∵两个相似三角形的周长比是1：2，
∴它们的面积比是：1：4．
故选：B．
7．解：∵AB∥CD，
∴△AEO∽△CFO，△BEO∽△DFO，△ABO∽△CDO，
故选：C．
8．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴△BFE∽△DFC，
∴△BEF与△DCF的面积比＝（）2＝（）2＝，
故选：C．
9．解：第1个网格中两个三角形对应边的比例满足＝＝，所以这两个三角形相似；
第2个网格中两个三角形对应边的比例＝＝，所以这两个三角形相似；
第3个网格中两个三角形对应边的比例满足＝＝＝，所以这两个三角形相似；
第4个网格中两个三角形对应边的比例＝＝，所以这两个三角形相似；
故选：D．
10．解：∵MN＝MP，
∴∠MNP＝∠MPN，
∴∠CPN＝∠ONM，
由折叠可得，∠ONM＝∠CNM，CN＝ON＝6，
∴∠CPN＝∠CNM，
又∵∠C＝∠C，
∴△CPN∽△CNM，
＝，即CN2＝CP×CM，
∴62＝CP×（CP+5），
解得CP＝4，
又∵＝，
∴＝，
∴PN＝，
故选：D．
二．填空题
11．解：∵两个相似六边形的周长的比是3：2，
∴它们的面积的比为9：4，
∵较大一个六边形的面积为81，
∴较小一个六边形的面积为81×＝36；
故答案为：36．
12．解：∵一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，
∴扩大后的三角形与原三角形相似，
∵相似三角形的周长的比等于相似比，
∴这个三角形的周长扩大为原来的5倍，
故答案为：5．
13．解：由一个图形到另一个图形，在改变的过程中形状不变，大小产生变化，属于相似变化．
14．解：由题意可得：∠EBA＝∠DBC，∠EAB＝∠DCB，
故△EAB∽△DCB，
则＝，
∵AB＝2m，BC＝8m，AE＝1.6m，
∴＝，
解得：DC＝6.4，
故答案为：6.4．
15．解：根据相似图形的定义知，挂在墙上的中国地图与课本上的中国地图形状相同，只是大小不一定相同，
∴它们是相似图形．
16．解：∵在直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为（8，0）和（0，6），
∴OA＝8，OB＝6，
∴AB＝＝10，
∵点C为AB的中点，
∴AC＝AB＝5，
∵∠OAB是公共角，
∴如图1，当，即时，△ACD∽△ABO，
解得：AD＝4，
∴OD＝AB﹣AD＝4，
∴点D（4，0）；
如图2，当，即时，△ACD∽△AOB，
解得：AD＝，
∴OD＝OA﹣AD＝，
∴点D（，0）；
∴当D点坐标为（4，0）或（，0）时，由点A，C，D组成的三角形与△AOB相似．
故答案为：（4，0）或（，0）．
17．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OD，AD∥BC，
∴△BEF∽△DEA，
∴，
∵E是OB的中点，
∴，
∴＝，
∴＝，
∵△BEF的面积为1，
∴△AEB的面积为3，
∵，
∴＝，
∴△AED的面积为9，
故答案为：9．
18．解：如图
19．解：∵△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的相似比为1：2，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，
故答案为：1：4．
20．解：分两种情况：
①当∠CED＝90°时，如图1，
过E作EF⊥CD于F，
∵AD∥BC，AD＜BC，
∴AB与CD不平行，
∴当△ADE、△BCE、△CDE两两相似时，
∴∠BEC＝∠CDE＝∠ADE，
∵∠A＝∠B＝∠CED＝90°，
∴∠BCE＝∠DCE，
∴AE＝EF，EF＝BE，
∴AE＝BE＝AB＝，
②当∠CDE＝90°时，如图2，
∵当△ADE、△BCE、△CDE两两相似时，
∴∠CEB＝∠CED＝∠AED＝60°，
∴∠BCE＝∠DCE＝30°，
∵∠A＝∠B＝90°，
∴BE＝ED＝2AE，
∵AB＝3，
∴AE＝1，
综上，AE的值为或1．
故答案为：或1．
三．解答题
21．（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
∵∠ADE+∠BDE＝∠ADB＝∠C+∠CAD，
∠ADE＝∠C，
∴∠BDE＝∠CAD．
∴△BDE∽△CAD．
（2）解：由（1）得．
∵AB＝AC＝5，BC＝8，CD＝2，
∴DB＝BC﹣CD＝6．
∴．
22．解：①两个圆，它们的所有对应元素都成比例，是相似图形；
②两个菱形，边的比一定相等，而对应角不一定对应相等，不一定是相似图形；
③两个长方形，对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不一定是相似图形；
④两个正六边形，它们的边长、对应角等所有元素都对应成比例，是相似图形．
∴①④是相似图形，②③不一定是相似图形．
23．解：（1）如图1，
由折叠过程可以看到：第一次折叠，A与D重合，四边形ABDC为正方形，折痕BC为对角线，由勾股定理可得BC＝AB；第二次折叠，第一次的折痕与A4纸较长的边重合，即BC与较长边重合．所以，较长边＝AB．
∴A4纸较长边与较短边的比为：．
故答案为：．
（2）A4纸与A5纸是相似图形．理由：
∵A4纸较长边与较短边的比为：，
∴设A4纸较短边的长为a，则较长边为a．
∵由图2可知：A5纸的长边与A4纸的短边重合，短边等于A4纸的长边的一半，
∴A5纸的长边为a，短边为．
∴A5纸的长边与短边的比为：＝．
∴A4纸较长边与较短边的比＝A5纸的长边与短边的比．
又∵A4纸与A5纸的四个角均为直角，
∴A4纸与A5纸相似．
24．证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，
即∠DAE＝∠BAC，
∵∠AED＝∠C，
∴△ABC∽△ADE．
25．解：∵∠BAC＝∠BDC，∠AOB＝∠DOC，
∴∠ABE＝∠ACD
又∵∠BAC＝∠DAE
∴∠BAC+∠EAC＝∠DAE+∠EAC
∴∠DAC＝∠EAB
∴△ABE∽△ACD．
26．解：（1）①∵内角为70°，
∴与它相邻内角的度数为110°．
∴菱形的“接近度”＝|m﹣n|＝|110﹣70|＝40．
②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形．
（2）不合理．
例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但|a﹣b|却不相等．
合理定义方法不唯一．
如定义为，
越接近1，矩形越接近于正方形；
越大，矩形与正方形的形状差异越大；
当时，矩形就变成了正方形，即只有矩形的越接近1，矩形才越接近正方形．
27．解：（1）A；（2分）
（2）①相似比②相似比的平方③相似比的立方；（每空（2分），共6分）
（3）由题意知他的体积比为；
又因为体重之比等于体积比，
若设初三时的体重为xkg，
则有＝
解得x＝＝60.75．
答：初三时的体重为60.75kg．（2分）