2021-2022学年青岛新版九年级上册数学《第2章 解直角三角形》单元测试卷（word版含解析）

2021-2022学年青岛新版九年级上册数学《第2章
解直角三角形》单元测试卷
一．选择题
1．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，那么∠A的余切值等于
（　　）
A．
B．
C．
D．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，CD⊥AB于D，设∠ACD＝α，则cosα的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则sinB的值是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是（　　）
A．30°＜α＜45°
B．45°＜α＜60°
C．60°＜α＜90°
D．30°＜α＜60°
5．cos45°的值等于（　　）
A．
B．
C．
D．
6．计算：tan45°的结果是（　　）
A．
B．1
C．
D．
7．如图，P是∠α的边OA上一点，且点P的横坐标为3，sinα＝，则tanα＝（　　）
A．
B．
C．
D．
8．为了方便行人推车过某天桥，市政府在10m高的天桥一侧修建了40m长的斜道（如图所示），我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是（　　）
A．
B．
C．
D．
9．下列各式中正确的是（　　）
A．sin46°＞cos44°
B．2sin40°＝sin80°
C．cos44°＜cos46°
D．sin244°+sin246°＝1
10．用计算器求sin24°37'的值，以下按键顺序正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
二．填空题
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则sinA＝　
　．
12．用科学计算器计算：
tan16°15′≈　
　（结果精确到0.01）
13．已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则tanB＝　
　．
14．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是　
　．
15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA＝　
　．
16．计算：2cos45°＝　
　．
17．选做题（从下面两题中只选做一题，如果做了两题的，只按第（I）题评分）；
（Ⅰ）计算：＝　
　．
（Ⅱ）用“＞”或“＜”号填空：　
　0．（可用计算器计算）
18．在直角三角形ABC中，角C为直角，锐角A的余弦函数定义为　
　，写出sin70°、cos40°、cos50°的大小关系　
　．
19．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠ABC＝　
　．
20．在△ABC中，∠A、∠B为锐角，且|tanA﹣1|+（﹣cosB）2＝0，则∠C＝　
　°．
三．解答题
21．已知cos45°＝，求cos21°+cos22°+…+cos289°的值．
22．计算：sin60°?tan30°+．
23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA＝．当c＝2，a＝1时，求cosA．
24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，求sinA，cosA，tanA的值．
25．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，求sinA?cosA的值．
26．（1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；
（2）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，52°，65°，88°，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小；
（3）比较大小：（在空格处填写“＜”或“＞”或“＝”）
若∠α＝45°，则sinα　
　cosα；若∠α＜45°，则sinα　
　cosα；若∠α＞45°，则sinα　
　cosα；
（4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：
sin10°，cos30°，sin50°，cos70°．
27．附加题：如图，在Rt△ABC中，BC、AC、AB三边的长分别为a、b、c，则sinA＝，cosA＝，tanA＝．我们不难发现：sin260°+cos260°＝1，…试探求sinA、cosA、tanA之间存在的一般关系，并说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴cotA＝＝，
故选：C．
2．解：在直角△ABC中，AB＝＝＝5．
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D．
∴∠ACD＝∠B，
∴cosα＝cosB＝＝．
故选：A．
3．解：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
∴sinB＝＝，
故选：C．
4．解：∵α是锐角，
∴cosα＞0，
∵cosα＜，
∴0＜cosα＜，
又∵cos90°＝0，cos45°＝，
∴45°＜α＜90°；
∵α是锐角，
∴tanα＞0，
∵tanα＜，
∴0＜tanα＜，
又∵tan0°＝0，tan60°＝，
0＜α＜60°；
故45°＜α＜60°．
故选：B．
5．解：cos45°＝．
故选：D．
6．解：tan45°＝1．
故选：B．
7．解：如图，
由sinα＝＝可设PQ＝4a，OP＝5a，
∵OQ＝3，
∴由OQ2+PQ2＝OP2可得32+（4a）2＝（5a）2，
解得：a＝1（负值舍去），
∴PQ＝4，OP＝5，
则tanα＝＝，
故选：C．
8．解：sinA＝＝＝0.25，
所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为
故选：A．
9．解：sin46°＝cos（90°﹣46°）＝cos44°，因此选项A不符合题意；
2sin40°≠sin80°，因此选项B不符合题意；
一个锐角的余弦值随着角度的增大而减小，于是有cos44°＞cos46°，因此选项C不符合题意；
sin244°+sin246°＝sin244°+cos244°＝1，因此选项D符合题意；
故选：D．
10．解：先按键“sin”，再输入角的度数24°37′，按键“＝”即可得到结果．
故选：A．
二．填空题
11．解：如图所示：∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝＝13，
∴sinA＝．
故答案为：．
12．解：
tan16°15′≈0.71，
故答案为：0.71．
13．解：如图．
在Rt△ABC中，∵sinA＝＝，
∴设BC＝x，AB＝3x，
则AC＝＝2x，
故tanB＝＝＝．
故答案为：．
14．解：连接AC，
由网格特点和正方形的性质可知，∠BAC＝90°，
根据勾股定理得，AC＝，AB＝2，
则tan∠ABC＝＝，
故答案为：．
15．解：由sinA＝＝知，可设a＝3x，则c＝5x，b＝4x．
∴tanA＝＝＝．
16．解：原式＝2×
＝．
故答案为：．
17．解：（Ⅰ）sin60°?cos30°﹣＝?﹣＝﹣＝．
（Ⅱ）sin50°cos40°﹣≈0.0868＞0．
故答案为：（Ⅰ）．
（Ⅱ）＞．
18．解：∵直角三角形ABC中，角C为直角
∴AB为斜边，BC是锐角∠A的对边，AC为锐角∠A的邻边，
又∴锐角A的余弦表示锐角A的邻边与斜边的比，
即cosA＝，
∴余弦的定义为cosA＝；
∵sin70°＝cos20°且余弦值在锐角范围内随角度的增大而减小，
∴cos20°＞cos40°＞cos50°，
∴sin70°＞cos40°＞cos50°，
故答案为：cosA＝；sin70°＞cos40°＞cos50°．
19．解：tan∠ABC＝＝，
故答案为：．
20．解：由题意得，tanA＝1，cosB＝，
则∠A＝45°，∠B＝60°，
则∠C＝180°﹣45°﹣60°＝75°．
故答案为：75．
三．解答题
21．解：原式＝（cos21°+cos289°）+（cos22°+cos288°）+…+（cos244°+cos246°）+cos245
＝（sin21°+cos21°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin244°+cos244°）+cos245
＝44+（）2
＝44．
22．解：原式＝
＝+
＝1．
23．解：∵∠C＝90°，c＝2，a＝1，
∴b＝＝，
∴cosA＝＝．
24．解：由勾股定理得，AB＝＝＝10，
所以sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝，
答：sinA＝，cosA＝，tanA＝．
25．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，
由勾股定理得，BC＝＝＝4，
所以sinA＝＝，cosA＝＝，
所以sinA?cosA＝×＝．
答：sinA?cosA的值为．
26．解：（1）在图（1）中，令AB1＝AB2＝AB3，B1C1⊥AC于点C1，B2C2⊥AC于点C2，B3C3⊥AC于点C3，
显然有：B1C1＞B2C2＞B3C3，∠B1AC＞∠B2AC＞∠B3AC．
∵sin∠B1AC＝，sin∠B2AC＝，sin∠B3AC＝，
而＞＞．
∴sin∠B1AC＞sin∠B2AC＞sin∠B3AC．
在图（2）中，Rt△ACB3中，∠C＝90°，
cos∠B1AC＝，cos∠B2AC＝，cos∠B3AC＝，
∵AB3＜AB2＜AB1，
∴＞＞．
即cos∠B3AC＞cos∠B2AC＞cos∠B1AC．
（2）sin88°＞sin65°＞sin52°＞sin34°＞sin18°；
cos88°＜cos65°＜cos52°＜cos34°＜cos18°．
（3）若∠α＝45°，则sinα＝cosα；若∠α＜45°，则sinα＜cosα；若∠α＞45°，则sinα＞cosα．
（4）cos30°＞sin50°＞cos70°＞sin10°．
27．解：存在的一般关系有：
（1）sin2A+cos2A＝1；
（2）tanA＝．
证明：（1）∵sinA＝，cosA＝，
a2+b2＝c2，
∴sin2A+cos2A＝＝1．
（2）∵sinA＝，cosA＝，
∴tanA＝＝，
＝．