4.3 解直角三角形 课件（共21张PPT）

4.3 解直角三角形
湘教版·九年级数学上册
新课导入
在图形的研究中，直角三角形是常见的三角形之一，因而人们经常会遇到求直角三角形的边长或角度等问题. 对于这类问题，我们一般利用锐角三角函数的有关知识来解决.
什么是锐角三角函数？
对于锐角A的每一个确定的值，sin A、cos A、tan A都有唯一的确定的值与它对应，所以把锐角A的正弦、余弦、正切叫做∠A的锐角三角函数.
下列特殊角的三角函数值分别是什么？
α
30°
45°
60°
sinα
cosα
tanα
1
说一说
探究新知
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别记作a，b，c .
1.直角三角形的三边之间有什么关系？
a2+b2=c2(勾股定理)
2.直角三角形的锐角之间有什么关系？
∠A+∠B=90°
说一说
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别记作a，b，c .
3.直角三角形的边和锐角之间有什么关系？
议一议
在一个直角三角形中，除直角外有5个元素（3条边、 2个锐角），只要知道其中的几个元素就可以求出其余的元素？
已知两边，你能求出这个直角三角形中其它的元素吗？
已知一角一边，你能求出这个直角三角形中其它的元素吗？
已知两角，你能求出这个直角三角形中其它的元素吗？
已知2个角不行.
已知2个元素，且至少有1个是边就可以了.
小 结：
在直角三角形中，除直角外有5个元素（即3条边、2个锐角），只要知道其中的2个元素（至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素.
像这样，在直角三角形中，利用已知元素求其余未知元素的过程，叫作解直角三角形.
例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，a=5. 求∠B、b、c.
解：∠B=90°-∠A=90°-30°=60°.
又∵
∴
∵
∴
还可以用勾股
定理求c.
例2：在Rt△ABC中，∠C = 90°，cos A= ，BC=5，试求AB 的长.
分析：在直角三角形中，已知一边和另两边的关系，常用勾股定理方程思想解决.
解：∵∠C=90°，cos A= ，
∴
设AB=x，则AC= x.
又AB2=AC2+BC2，
∴
解得
∴AB的长为 .
小 结：
解直角三角形的依据：
(1)三边之间的关系:
a2＋b2＝c2（勾股定理）；
(2)锐角之间的关系:
∠ A＋∠ B＝ 90?；
(3)边角之间的关系:
★面积公式：
练习
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，b=3 cm，求a，c的长度.
解：∠A=90°-∠B=90°-45°=45°.
C
A
B
又∵
∴a=b·tan A=3·tan45°=3 cm.
∵
∴
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=6cm ，c=10cm，求b，∠A，∠B （角度精确到1°）.
解：在Rt△ABC中，由勾股定理可知
C
A
B
又∵
∴∠A≈37°.
∴∠B=90°-∠A=90°-37°=53°.
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，c=16cm，求a，b的长度.
解：∠B=90°-∠A=90°-30°=60°.
又∵
∴a=c·sin A=16·sin30°=8 cm.
∵
∴
4.在Rt△ABC中，∠A为30°，∠B的平分线BD的长为8cm，求这个三角形的三条边的长．
解：由已知可得△BCD 是含30°的直角三角形，
∴
∴△ADB是等腰三角形.
∴AD＝BD＝8（cm），
则有 AC＝8＋4＝12（cm），
∴
∴
5.如图，在三角形纸片ABC中，∠C=90°，AC=6，折叠该纸片，使点C落在AB边上的D点处，折痕BE与AC交于点E，若AD=BD，则折痕BE的长为多少？
解：∵△BDE是由△BCE翻折而成，
∴BC=BD，∠BDE=∠C=90°，
∵AD=BD，
∴AB=2BC，AE=BE，
∴∠A=30°，
在Rt△ABC中，∵AC=6，
∴BC=AC·tan30°=
设BE=x，则CE=6-x，
在Rt△BCE中，
∵
∴
解得x=4，即BE=4．
课堂小结
解直角三角形
在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.
两边：两直角边或斜边、一直角边
一边一角：直角边、一锐角或斜边、一锐角
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
课后作业
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