课时分层作业12 三角函数的简单应用-2021秋北师大版高中数学必修四练习（word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 课时分层作业12 三角函数的简单应用-2021秋北师大版高中数学必修四练习（word含答案解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 321.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-07-19 11:56:38 | ||
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文档简介
课时分层作业(十二) 三角函数的简单应用
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，乙的位置将移至( )
A.甲 B．乙
C.丙 D．丁
2．电流I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin ，则当t＝时，电流I为( )
A.5 B．
C.2 D．－5
3．某城市6月份的平均气温最高，为29.45°C；12月份平均气温最低，为18.35°C.若x月份的平均气温为y°C，满足条件的一个模拟函数可以是( )
A.y＝23.9－5.55sin x B．y＝23.9－5.55cos x
C.y＝23.9－5.55tan x D．y＝23.9＋5.55cos x
4．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式是s＝3cos ，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l等于( )
A. B．
C. D．
5．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图像大致是( )
A B C D
二、填空题
6．如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角θ(－π＜θ＜π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝sin ，则当t＝0时，角θ的大小及单摆频率分别是________．
7．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin ＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．
8．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋A cos (x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.
三、解答题
9.如图所示，一个摩天轮半径为10米，轮子的底部在地面上2米处，如果此摩天轮每20分钟转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心O高度相同)时开始计时(按逆时针方向转).
(1)求此人相对于地面的高度关于时间的函数关系式；
(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间此人相对于地面的高度不超过10米．
10．如图，某动物种群数量1月1日(t＝0时)低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间按照正弦型曲线变化．
(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式(其中t以年初以来的月为计量单位)；
(2)估计当年3月1日动物种群数量．
1．一半径为10的水轮，水轮的圆心到水面的距离为7，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y与时间x(秒)满足函数关系式y＝A sin (ωx＋φ)＋7，则( )
A.ω＝，A＝10 B．ω＝，A＝10
C.ω＝，A＝17 D．ω＝ ，A＝17
2．一种波的波形为函数y＝－sin x的图像，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰(图像的最高点)，则正整数t的最小值是( )
A.5 B．6 C．7 D．8
3．某星星的亮度变化周期为10天，此星星的平均亮度为3.8等量，最高亮度距平均亮度0.2等量，则可近似地描述此星星亮度与时间关系的一个三角函数式为________．
4.设偶函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图像如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML＝90°，|KL|＝1，则f的值为________．
5．在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12 h，低潮时水的深度为8.4 m，高潮时为16 m，一次高潮发生在10月10日4：00.每天涨潮落潮时，水的深度d(m)与时间t(h)近似满足关系式d＝A sin (ωt＋φ)＋h.
(1)若从10月10日0：00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深d(m)和时间t(h)之间的函数关系；
(2)10月10日17：00该港口水深约为多少？(精确到0.1 m)
(3)10月10日这一天该港口共有多少时间水深低于10.3 m?
课时分层作业(十二) 三角函数的简单应用
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，乙的位置将移至( )
A.甲 B．乙
C.丙 D．丁
C [因为相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度相差半个周期，所以乙的位置将移至丙处．]
2．电流I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin ，则当t＝时，电流I为( )
A.5 B．
C.2 D．－5
B [把t＝代入I＝5sin ＝5sin ＝，故选B.]
3．某城市6月份的平均气温最高，为29.45°C；12月份平均气温最低，为18.35°C.若x月份的平均气温为y°C，满足条件的一个模拟函数可以是( )
A.y＝23.9－5.55sin x B．y＝23.9－5.55cos x
C.y＝23.9－5.55tan x D．y＝23.9＋5.55cos x
B [将x＝6，x＝12分别代入验证可知，只有B项符合要求，故选B.]
4．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式是s＝3cos ，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l等于( )
A. B．
C. D．
D [∵T＝，∴＝＝2π，∴l＝.]
5．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图像大致是( )
A B C D
C [由l＝αR可知α＝，结合圆的几何性质可知＝R sin ，所以d＝2R sin ＝2R sin ，又R＝1，所以d＝2sin ，故结合正弦函数图像可知，选C.]
二、填空题
6．如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角θ(－π＜θ＜π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝sin ，则当t＝0时，角θ的大小及单摆频率分别是________．
， [t＝0时，θ＝sin ＝，由函数解析式易知单摆周期为＝π，故频率为.]
7．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin ＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．
8 [根据图像得函数的最小值为2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8.]
8．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋A cos (x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.
20．5 [由题意可知，A＝＝5，
a＝＝23.
从而，y＝5cos ＋23，
故10月份的平均气温值为
y＝5cos ＋23＝20.5 ℃.]
三、解答题
9.如图所示，一个摩天轮半径为10米，轮子的底部在地面上2米处，如果此摩天轮每20分钟转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心O高度相同)时开始计时(按逆时针方向转).
(1)求此人相对于地面的高度关于时间的函数关系式；
(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间此人相对于地面的高度不超过10米．
[解] (1)以O为坐标原点，以OP所在直线为x轴建立平面直角坐标系(略)，设摩天轮上某人在Q处，则在t分钟内OQ转过的角为t，所以t分钟时，Q点的纵坐标为10·sin ·t，故在t分钟时此人相对于地面的高度为
y＝10sin t＋12(米).
(2)令y＝10sin t＋12≤10，则sin t≤－，
因为0≤t≤20，所以10.64≤t≤19.36，故约有8.72分钟此人相对于地面的高度不超过10米．
10．如图，某动物种群数量1月1日(t＝0时)低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间按照正弦型曲线变化．
(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式(其中t以年初以来的月为计量单位)；
(2)估计当年3月1日动物种群数量．
[解] (1)设种群数量y关于t的解析式为y＝A sin (ωt＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)，
则解得A＝100，b＝800.
又周期T＝2×6＝12，∴ω＝＝，
∴y＝100sin ＋800.
又当t＝6时，y＝900，
∴900＝100sin ＋800，
∴sin (π＋φ)＝1，
∴sin φ＝－1，∴可取φ＝－，
∴y＝100sin ＋800.
(2)当t＝2时，
y＝100sin ＋800＝750，
即当年3月1日动物种群数量约是750.
1．一半径为10的水轮，水轮的圆心到水面的距离为7，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y与时间x(秒)满足函数关系式y＝A sin (ωx＋φ)＋7，则( )
A.ω＝，A＝10 B．ω＝，A＝10
C.ω＝，A＝17 D．ω＝ ，A＝17
A [T＝＝15，ω＝，A＝10.]
2．一种波的波形为函数y＝－sin x的图像，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰(图像的最高点)，则正整数t的最小值是( )
A.5 B．6 C．7 D．8
C [由y＝－sin 的图像知，要使在区间[0，t]上至少有2个波峰，必须使区间[0，t]的长度不小于2T－＝，即t≥·＝·＝7，故选C.]
3．某星星的亮度变化周期为10天，此星星的平均亮度为3.8等量，最高亮度距平均亮度0.2等量，则可近似地描述此星星亮度与时间关系的一个三角函数式为________．
y＝0.2sin t＋3.8(t>0)(答案不唯一) [假设三角函数模型为y＝A sin ωt＋b，
由题意知，A＝0.2，b＝3.8，T＝10，
∴ω＝＝，∴y＝0.2sin t＋3.8(t>0).]
4.设偶函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图像如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML＝90°，|KL|＝1，则f的值为________．
[取K，L中点N(图略)，则MN＝，
因此A＝，由T＝2得ω＝π.
∵函数为偶函数，0<φ<π，∴φ＝，
∴f(x)＝cos πx，∴f＝cos ＝.]
5．在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12 h，低潮时水的深度为8.4 m，高潮时为16 m，一次高潮发生在10月10日4：00.每天涨潮落潮时，水的深度d(m)与时间t(h)近似满足关系式d＝A sin (ωt＋φ)＋h.
(1)若从10月10日0：00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深d(m)和时间t(h)之间的函数关系；
(2)10月10日17：00该港口水深约为多少？(精确到0.1 m)
(3)10月10日这一天该港口共有多少时间水深低于10.3 m?
[解] (1)依题意知T＝＝12，
故ω＝，h＝＝12.2，
A＝16－12.2＝3.8，
所以d＝3.8sin ＋12.2.
又因为t＝4时，d＝16，
所以sin ＝1，
所以φ＝－，
所以d＝3.8sin ＋12.2.
(2)t＝17时，d＝3.8sin ＋12.2＝3.8sin ＋12.2≈15.5(m).
(3)令3.8sin ＋12.2＜10.3，
有sin ＜－，
因此2kπ＋＜t－＜2kπ＋(k∈Z)，
所以2kπ＋＜t＜2kπ＋2π，k∈Z，
所以12k＋8＜t＜12k＋12，k∈Z.
令k＝0，得t∈(8，12)；
令k＝1，得t∈(20，24).
故这一天共有8 h水深低于10.3 m．
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，乙的位置将移至( )
A.甲 B．乙
C.丙 D．丁
2．电流I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin ，则当t＝时，电流I为( )
A.5 B．
C.2 D．－5
3．某城市6月份的平均气温最高，为29.45°C；12月份平均气温最低，为18.35°C.若x月份的平均气温为y°C，满足条件的一个模拟函数可以是( )
A.y＝23.9－5.55sin x B．y＝23.9－5.55cos x
C.y＝23.9－5.55tan x D．y＝23.9＋5.55cos x
4．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式是s＝3cos ，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l等于( )
A. B．
C. D．
5．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图像大致是( )
A B C D
二、填空题
6．如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角θ(－π＜θ＜π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝sin ，则当t＝0时，角θ的大小及单摆频率分别是________．
7．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin ＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．
8．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋A cos (x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.
三、解答题
9.如图所示，一个摩天轮半径为10米，轮子的底部在地面上2米处，如果此摩天轮每20分钟转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心O高度相同)时开始计时(按逆时针方向转).
(1)求此人相对于地面的高度关于时间的函数关系式；
(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间此人相对于地面的高度不超过10米．
10．如图，某动物种群数量1月1日(t＝0时)低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间按照正弦型曲线变化．
(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式(其中t以年初以来的月为计量单位)；
(2)估计当年3月1日动物种群数量．
1．一半径为10的水轮，水轮的圆心到水面的距离为7，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y与时间x(秒)满足函数关系式y＝A sin (ωx＋φ)＋7，则( )
A.ω＝，A＝10 B．ω＝，A＝10
C.ω＝，A＝17 D．ω＝ ，A＝17
2．一种波的波形为函数y＝－sin x的图像，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰(图像的最高点)，则正整数t的最小值是( )
A.5 B．6 C．7 D．8
3．某星星的亮度变化周期为10天，此星星的平均亮度为3.8等量，最高亮度距平均亮度0.2等量，则可近似地描述此星星亮度与时间关系的一个三角函数式为________．
4.设偶函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图像如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML＝90°，|KL|＝1，则f的值为________．
5．在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12 h，低潮时水的深度为8.4 m，高潮时为16 m，一次高潮发生在10月10日4：00.每天涨潮落潮时，水的深度d(m)与时间t(h)近似满足关系式d＝A sin (ωt＋φ)＋h.
(1)若从10月10日0：00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深d(m)和时间t(h)之间的函数关系；
(2)10月10日17：00该港口水深约为多少？(精确到0.1 m)
(3)10月10日这一天该港口共有多少时间水深低于10.3 m?
课时分层作业(十二) 三角函数的简单应用
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，乙的位置将移至( )
A.甲 B．乙
C.丙 D．丁
C [因为相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度相差半个周期，所以乙的位置将移至丙处．]
2．电流I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin ，则当t＝时，电流I为( )
A.5 B．
C.2 D．－5
B [把t＝代入I＝5sin ＝5sin ＝，故选B.]
3．某城市6月份的平均气温最高，为29.45°C；12月份平均气温最低，为18.35°C.若x月份的平均气温为y°C，满足条件的一个模拟函数可以是( )
A.y＝23.9－5.55sin x B．y＝23.9－5.55cos x
C.y＝23.9－5.55tan x D．y＝23.9＋5.55cos x
B [将x＝6，x＝12分别代入验证可知，只有B项符合要求，故选B.]
4．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式是s＝3cos ，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l等于( )
A. B．
C. D．
D [∵T＝，∴＝＝2π，∴l＝.]
5．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图像大致是( )
A B C D
C [由l＝αR可知α＝，结合圆的几何性质可知＝R sin ，所以d＝2R sin ＝2R sin ，又R＝1，所以d＝2sin ，故结合正弦函数图像可知，选C.]
二、填空题
6．如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角θ(－π＜θ＜π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝sin ，则当t＝0时，角θ的大小及单摆频率分别是________．
， [t＝0时，θ＝sin ＝，由函数解析式易知单摆周期为＝π，故频率为.]
7．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin ＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．
8 [根据图像得函数的最小值为2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8.]
8．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋A cos (x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.
20．5 [由题意可知，A＝＝5，
a＝＝23.
从而，y＝5cos ＋23，
故10月份的平均气温值为
y＝5cos ＋23＝20.5 ℃.]
三、解答题
9.如图所示，一个摩天轮半径为10米，轮子的底部在地面上2米处，如果此摩天轮每20分钟转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心O高度相同)时开始计时(按逆时针方向转).
(1)求此人相对于地面的高度关于时间的函数关系式；
(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间此人相对于地面的高度不超过10米．
[解] (1)以O为坐标原点，以OP所在直线为x轴建立平面直角坐标系(略)，设摩天轮上某人在Q处，则在t分钟内OQ转过的角为t，所以t分钟时，Q点的纵坐标为10·sin ·t，故在t分钟时此人相对于地面的高度为
y＝10sin t＋12(米).
(2)令y＝10sin t＋12≤10，则sin t≤－，
因为0≤t≤20，所以10.64≤t≤19.36，故约有8.72分钟此人相对于地面的高度不超过10米．
10．如图，某动物种群数量1月1日(t＝0时)低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间按照正弦型曲线变化．
(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式(其中t以年初以来的月为计量单位)；
(2)估计当年3月1日动物种群数量．
[解] (1)设种群数量y关于t的解析式为y＝A sin (ωt＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)，
则解得A＝100，b＝800.
又周期T＝2×6＝12，∴ω＝＝，
∴y＝100sin ＋800.
又当t＝6时，y＝900，
∴900＝100sin ＋800，
∴sin (π＋φ)＝1，
∴sin φ＝－1，∴可取φ＝－，
∴y＝100sin ＋800.
(2)当t＝2时，
y＝100sin ＋800＝750，
即当年3月1日动物种群数量约是750.
1．一半径为10的水轮，水轮的圆心到水面的距离为7，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y与时间x(秒)满足函数关系式y＝A sin (ωx＋φ)＋7，则( )
A.ω＝，A＝10 B．ω＝，A＝10
C.ω＝，A＝17 D．ω＝ ，A＝17
A [T＝＝15，ω＝，A＝10.]
2．一种波的波形为函数y＝－sin x的图像，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰(图像的最高点)，则正整数t的最小值是( )
A.5 B．6 C．7 D．8
C [由y＝－sin 的图像知，要使在区间[0，t]上至少有2个波峰，必须使区间[0，t]的长度不小于2T－＝，即t≥·＝·＝7，故选C.]
3．某星星的亮度变化周期为10天，此星星的平均亮度为3.8等量，最高亮度距平均亮度0.2等量，则可近似地描述此星星亮度与时间关系的一个三角函数式为________．
y＝0.2sin t＋3.8(t>0)(答案不唯一) [假设三角函数模型为y＝A sin ωt＋b，
由题意知，A＝0.2，b＝3.8，T＝10，
∴ω＝＝，∴y＝0.2sin t＋3.8(t>0).]
4.设偶函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图像如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML＝90°，|KL|＝1，则f的值为________．
[取K，L中点N(图略)，则MN＝，
因此A＝，由T＝2得ω＝π.
∵函数为偶函数，0<φ<π，∴φ＝，
∴f(x)＝cos πx，∴f＝cos ＝.]
5．在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12 h，低潮时水的深度为8.4 m，高潮时为16 m，一次高潮发生在10月10日4：00.每天涨潮落潮时，水的深度d(m)与时间t(h)近似满足关系式d＝A sin (ωt＋φ)＋h.
(1)若从10月10日0：00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深d(m)和时间t(h)之间的函数关系；
(2)10月10日17：00该港口水深约为多少？(精确到0.1 m)
(3)10月10日这一天该港口共有多少时间水深低于10.3 m?
[解] (1)依题意知T＝＝12，
故ω＝，h＝＝12.2，
A＝16－12.2＝3.8，
所以d＝3.8sin ＋12.2.
又因为t＝4时，d＝16，
所以sin ＝1，
所以φ＝－，
所以d＝3.8sin ＋12.2.
(2)t＝17时，d＝3.8sin ＋12.2＝3.8sin ＋12.2≈15.5(m).
(3)令3.8sin ＋12.2＜10.3，
有sin ＜－，
因此2kπ＋＜t－＜2kπ＋(k∈Z)，
所以2kπ＋＜t＜2kπ＋2π，k∈Z，
所以12k＋8＜t＜12k＋12，k∈Z.
令k＝0，得t∈(8，12)；
令k＝1，得t∈(20，24).
故这一天共有8 h水深低于10.3 m．