课时分层作业11　函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质-2021秋北师大版高中数学必修四练习（word含答案解析）

课时分层作业(十一)　函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知函数f(x)＝sin (ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图像是(　　)
A.关于点对称　　　 B．关于直线x＝对称
C.关于点对称 D．关于直线x＝对称
2．函数y＝8sin 取最大值时，自变量x的取值集合是(　　)
A.
B.
C.
D.
3．若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω等于(　　)
A.3　　　　B．2 C．　　　　D．
4．函数y＝sin 2x的一个单调递增区间可以是(　　)
A. B．
C. D．
5．将函数y＝sin 的图像向右平移个单位，所得图像所对应的函数是(　　)
A.非奇非偶函数 B．既奇又偶函数
C.奇函数 D．偶函数
二、填空题
6．设函数y＝1－3sin ，当x＝________时，函数的最大值为4.
7．当－≤x≤时，函数f(x)＝sin 的最大值是________，最小值是________．
8．关于函数f(x)＝4sin (x∈R)有下列命题，其中正确的是________．(填序号)
①y＝f(x)的表达式可改写为y＝4cos ；
②y＝f(x)是以2π为最小正周期的周期函数；
③y＝f(x)的图像关于点对称；
④y＝f(x)的图像关于直线x＝对称．
三、解答题
9．已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)一个周期的图像如图所示，
(1)求函数f(x)的最小正周期T及最大值、最小值；
(2)求函数f(x)的表达式、单调递增区间．
10．已知函数f(x)＝sin (2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤对x∈R恒成立，且f>f(π)，求f(x)的单调递增区间．
1．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋a sin ax的图像不可能是(　　)
2．将函数y＝3sin 的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数(　　)
A.在区间上单调递减
B.在区间上单调递增
C.在区间上单调递减
D.在区间上单调递增
3．ω为正实数，函数f(x)＝2sin ωπx的周期不超过1，则ω的最小值是________．
4．设函数f(x)＝2sin ，若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为________．
5．已知方程sin ＝k在x∈[0，π]上有两个解，求实数k的取值范围．
课时分层作业(十一)　函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知函数f(x)＝sin (ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图像是(　　)
A.关于点对称　　　 B．关于直线x＝对称
C.关于点对称 D．关于直线x＝对称
A　[由于T＝＝π，得ω＝2，
则f(x)＝sin .
当x＝时，sin ＝0，
∴该函数的图像关于点对称，故选A.]
2．函数y＝8sin 取最大值时，自变量x的取值集合是(　　)
A.
B.
C.
D.
B　[∵y的最大值为8，此时sin ＝1，
即6x＋＝2kπ＋(k∈Z)，
∴x＝＋(k∈Z)，故选B.]
3．若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω等于(　　)
A.3　　　　B．2 C．　　　　D．
C　[由题意知，函数在x＝处取得最大值1，
所以1＝sin ，即ω＝，故选C.]
4．函数y＝sin 2x的一个单调递增区间可以是(　　)
A. B．
C. D．
A　[由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
故当k＝0时的单调递增区间为.]
5．将函数y＝sin 的图像向右平移个单位，所得图像所对应的函数是(　　)
A.非奇非偶函数 B．既奇又偶函数
C.奇函数 D．偶函数
C　[将函数y＝sin 的图像向右平移个单位后，得函数y＝sin ＝sin ＝sin 2x，为奇函数，故选C.]
二、填空题
6．设函数y＝1－3sin ，当x＝________时，函数的最大值为4.
－　[由－≤x≤0知－≤2x＋≤，
当2x＋＝－，即x＝－时，
y＝sin 取最小值－1，
故y＝1－3sin 取最大值4.]
7．当－≤x≤时，函数f(x)＝sin 的最大值是________，最小值是________．
　－　[∵－≤x≤，∴－≤x＋≤π.
∵当x＋＝－，即x＝－时，f(x)min＝－，
当x＋＝，即x＝时，f(x)max＝.]
8．关于函数f(x)＝4sin (x∈R)有下列命题，其中正确的是________．(填序号)
①y＝f(x)的表达式可改写为y＝4cos ；
②y＝f(x)是以2π为最小正周期的周期函数；
③y＝f(x)的图像关于点对称；
④y＝f(x)的图像关于直线x＝对称．
①③　[因为4sin ＝4cos ＝
4cos ，所以①正确，易得②不正确，而
f＝0，故是对称中心，③正确，④不正确．]
三、解答题
9．已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)一个周期的图像如图所示，
(1)求函数f(x)的最小正周期T及最大值、最小值；
(2)求函数f(x)的表达式、单调递增区间．
[解]　(1)由题图知，函数f(x)的最小正周期为T＝4×＝π，函数的最大值为1，最小值为－1.
(2)T＝，则ω＝2，
又x＝－时，y＝0，所以sin ＝0，
而－<φ<，则φ＝，
所以函数f(x)的表达式为f(x)＝sin ，
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间为
，k∈Z.
10．已知函数f(x)＝sin (2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤对x∈R恒成立，且f>f(π)，求f(x)的单调递增区间．
[解]　因为f>f(π)，
故sin (π＋φ)>sin φ，得sin φ<0，
又f(x)≤对x∈R恒成立，
故f＝±1，
即sin ＝±1，
＋φ＝＋kπ，k∈Z，
φ＝＋kπ，k∈Z.
又sin φ<0，取φ＝－，
故f(x)＝sin .
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
故f(x)的单调递增区间是，k∈Z.
1．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋a sin ax的图像不可能是(　　)
D　[当a＝0时f(x)＝1，C符合，
当0<|a|<1时T>2π，且最小值为正数，A符合，
当|a|>1时T<2π，且最小值为负数，B符合，排除A、B、C.
D项中，由振幅得a>1，∴T<2π，而由图像知T>2π矛盾，故选D.]
2．将函数y＝3sin 的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数(　　)
A.在区间上单调递减
B.在区间上单调递增
C.在区间上单调递减
D.在区间上单调递增
B　[由题可得平移后的函数为y＝3sin ＝
3sin ，令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，故该函数在(k∈Z)上单调递增，当k＝0时，选项B满足条件，故选B.]
3．ω为正实数，函数f(x)＝2sin ωπx的周期不超过1，则ω的最小值是________．
2　[由≤1，得ω≥2.即ω的最小值为2.]
4．设函数f(x)＝2sin ，若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为________．
2　[若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则f(x1)≤f(x)min且f(x2)≥f(x)max，当且仅当f(x1)＝f(x)min，f(x2)＝f(x)max时，|x1－x2|的最小值为f(x)＝2sin 的半个周期，即|x1－x2|min＝×＝2.]
5．已知方程sin ＝k在x∈[0，π]上有两个解，求实数k的取值范围．
[解]　令y1＝sin ，y2＝k，在同一坐标系内作出它们的图像(0≤x≤π)，由图像可知，当1≤k<时，直线y2＝k与曲线y1＝sin 在0≤x≤π上有两个公共点，即当1≤k<时，原方程有两个解．