课时分层作业13　位移、速度和力 向量的概念-2021秋北师大版高中数学必修四练习（word含答案解析）

课时分层作业(十三)　从位移、速度、力到向量
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．下列物理量：
①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程．其中是向量的有(　　)
A.2个　　　　　　　　 B．3个
C.4个 D．5个
2．若向量a与向量b不相等，则a与b一定(　　)
A.不共线 B．长度不相等
C.不都是单位向量 D．不都是零向量
3．如图所示，?ABCD中，相等的向量是(　　)
A.与 B．与
C.与 D．与
4．下列说法中正确的个数是(　　)
(1)单位向量都平行；
(2)若两个单位向量共线，则这两个向量相等；
(3)向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；
(4)有相同起点的两个非零向量不平行；
(5)方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量．
A.2 B．3
C.4 D．5
5．设四边形ABCD中，有＝，且||＝||，则这个四边形是(　　)
A.正方形 B．矩形
C.等腰梯形 D．菱形
二、填空题
6．设数轴上有四个点A，B，C，D，其中A，C对应的实数分别是1和－3，且＝，为单位向量，则点B对应的实数为________；点D对应的实数为________；||＝________.
7.如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，在这6个向量中：
(1)有两个向量的模相等，这两个向量是________，它们的模都等于________．
(2)存在着共线向量，这些共线的向量是________，它们的模的和等于________．
8．给出下列几种叙述：
①两个向量相等，则它们的始点相同，终点相同；
②若|a|＝|b|，则a＝b；
③若＝，则ABCD是平行四边形；
④平行四边形ABCD中，一定有＝；
⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.
其中正确的有________.(填序号)
三、解答题
9．△ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的中点，试求下列问题：
(1)写出与共线的向量；
(2)写出与的模大小相等的向量；
(3)写出与相等的向量．
10.如图所示，四边形ABCD中，＝，N，M分别是AD，BC上的点，且＝.
求证：＝.
1．若a为任一非零向量，b为模为1的向量，下列各式：①|a|>|b|；②a∥b；③|a|>0；④|b|＝±1，其中正确的是(　　)
A.①④ B．③
C.①②③ D．②③
2.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则以下说法错误的是(　　)
A.与相等的向量只有一个(不含)
B.与的模相等的向量有9个(不含)
C.的模恰为的模的倍
D.与不共线
3．在四边形ABCD中，∥且||≠||，则四边形ABCD的形状是________．
4．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则||＝________．
5.如图所示，平行四边形ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集S＝{A，B，C，D，O}，向量集合T＝{|M，N∈S，且M，N不重合}，试求集合T中元素的个数．
课时分层作业(十三)　从位移、速度、力到向量
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．下列物理量：
①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程．其中是向量的有(　　)
A.2个　　　　　　　　 B．3个
C.4个 D．5个
C　[②③④⑤是向量．]
2．若向量a与向量b不相等，则a与b一定(　　)
A.不共线 B．长度不相等
C.不都是单位向量 D．不都是零向量
D　[若向量a与向量b不相等，则说明向量a与向量b的方向和长度至少有一个不同．所以a与b有可能共线，有可能长度相等，也有可能都是单位向量，所以A，B，C都是错误的．但是a与b一定不都是零向量．]
3．如图所示，?ABCD中，相等的向量是(　　)
A.与 B．与
C.与 D．与
D　[与方向相同且长度相等．]
4．下列说法中正确的个数是(　　)
(1)单位向量都平行；
(2)若两个单位向量共线，则这两个向量相等；
(3)向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；
(4)有相同起点的两个非零向量不平行；
(5)方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量．
A.2 B．3
C.4 D．5
A　[(1)错误．因为单位向量的方向可以既不相同又不相反．
(2)错误．因为两个单位向量共线，则这两个向量的方向有可能相反．
(3)正确．因为零向量与任意向量共线，所以若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量．
(4)错误．有相同起点的两个非零向量方向有可能相同或相反，所以有可能是平行向量．
(5)正确．方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量的方向是相反的，所以这两个向量是共线向量．]
5．设四边形ABCD中，有＝，且||＝||，则这个四边形是(　　)
A.正方形 B．矩形
C.等腰梯形 D．菱形
D　[由＝可知四边形ABCD为平行四边形，又||＝||，该四边形为菱形．]
二、填空题
6．设数轴上有四个点A，B，C，D，其中A，C对应的实数分别是1和－3，且＝，为单位向量，则点B对应的实数为________；点D对应的实数为________；||＝________.
－7　－4或－2　4　[由题意知点C是线段AB的中点，所以点B对应的实数为－7.为单位向量，所以点D对应的实数为－4或－2，||＝－3－(－7)＝4.]
7.如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，在这6个向量中：
(1)有两个向量的模相等，这两个向量是________，它们的模都等于________．
(2)存在着共线向量，这些共线的向量是________，它们的模的和等于________．
(1)，　　(2)，　5　[(1)模相等的两个向量是，，
||＝||＝＝.
(2)共线的向量是，，
且||＋||＝2＋3＝5.]
8．给出下列几种叙述：
①两个向量相等，则它们的始点相同，终点相同；
②若|a|＝|b|，则a＝b；
③若＝，则ABCD是平行四边形；
④平行四边形ABCD中，一定有＝；
⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.
其中正确的有________.(填序号)
④　[①错误．两个向量相等，它们的始点和终点都不一定相同．
②错误．若|a|＝|b|，则a与b方向未必相同，故a与b不一定相等．
③错误．若＝，则A，B，C，D四个点有可能在同一条直线上，所以ABCD不一定是平行四边形．
④正确．平行四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝DC且有向线段与方向相同，所以＝.
⑤错误．若a∥b，b∥c，b＝0，则a与c不一定平行．]
三、解答题
9．△ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的中点，试求下列问题：
(1)写出与共线的向量；
(2)写出与的模大小相等的向量；
(3)写出与相等的向量．
[解]　(1)因为E、F分别是AC、AB的中点，
所以EF綊BC.又因为D是BC的中点，
所以与共线的向量有，，，，，，.
(2)与模相等的向量有，，，，.
(3)与相等的向量有，.
10.如图所示，四边形ABCD中，＝，N，M分别是AD，BC上的点，且＝.
求证：＝.
[证明]　∵＝，∴||＝||且AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴||＝||，且DA∥CB.
又∵与的方向相同，∴＝.
同理可证，四边形CNAM是平行四边形，∴＝.
∵||＝||，||＝||，∴||＝||，
又∵与的方向相同，∴＝.
1．若a为任一非零向量，b为模为1的向量，下列各式：①|a|>|b|；②a∥b；③|a|>0；④|b|＝±1，其中正确的是(　　)
A.①④ B．③
C.①②③ D．②③
B　[a为任一非零向量，故|a|>0.]
2.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则以下说法错误的是(　　)
A.与相等的向量只有一个(不含)
B.与的模相等的向量有9个(不含)
C.的模恰为的模的倍
D.与不共线
D　[由于＝，因此与相等的向量只有，而与的模相等的向量有，，，，，，，，.因此选项B正确，而Rt△AOD中， ∠ADO＝30°，∴||＝||，故||＝||.因此选项C正确．由于＝，因此与是共线的，故错误的选项是D.]
3．在四边形ABCD中，∥且||≠||，则四边形ABCD的形状是________．
梯形　[∵∥且||≠||，
∴AB∥DC，但AB≠DC，
∴四边形ABCD是梯形．]
4．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则||＝________．
2　[易知AC⊥BD，且∠ABD＝30°，设AC与BD交于点O，则AO＝AB＝1.在Rt△ABO中，易得||＝，∴||＝2||＝2.]
5.如图所示，平行四边形ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集S＝{A，B，C，D，O}，向量集合T＝{|M，N∈S，且M，N不重合}，试求集合T中元素的个数．
[解]　由题可知，集合T中的元素实质上是S中任意两点连成的有向线段，共有20个，即，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等，即＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝.又集合元素具有互异性，故集合T中的元素共有12个．