课时分层作业16　数乘向量-2021秋北师大版高中数学必修四练习（word含答案解析）

课时分层作业(十六)　数乘向量
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．点C在线段AB上，且＝，则等于(　　)
A．　　　　　　 B．
C．－ D．－
2．已知O是直线AB外一点，C，D是线段AB的三等分点，且AC＝CD＝DB，如果＝3e1，＝3e2，则＝(　　)
A．e1＋2e2 B．2e1＋e2
C．e1＋e2 D．e1＋e2
3.如图，已知AM是△ABC的边BC上的中线，若＝a，＝b，则等于(　　)
A．(a－b) B．－(a－b)
C．(a＋b) D．－(a＋b)
4．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为 (　　)
A．－1或3 B．
C．－1或4 D．3或4
5．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2＋＋＝0，则(　　)
A．＝2 B．＝
C．＝3 D．2＝
二、填空题
6．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________．
7．化简[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]的结果是________．
8．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2＝________．
三、解答题
9．设a，b是不共线的两个向量，已知＝2a＋kb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三点共线，求k的值．
10．已知O，A，M，B为平面上四点，且＝λ＋(1－λ)(λ∈R，λ≠1，λ≠0).
(1)求证：A，B，M三点共线；
(2)若点B在线段AM上，求实数λ的范围．
1．已知向量a与b反向，且|a|＝r，|b|＝R，b＝λa，则λ的值等于(　　)
A．　　　　B．－　　　　C．－　　　　D．
2．O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的(　　)
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
3．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ的值为________．
4．在?ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________(用a，b表示).
5．如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD.
求证：M、N、C三点共线．
课时分层作业(十六)　数乘向量
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．点C在线段AB上，且＝，则等于(　　)
A．　　　　　　 B．
C．－ D．－
D　[∵＝，∴＝－，∴＝－.]
2．已知O是直线AB外一点，C，D是线段AB的三等分点，且AC＝CD＝DB，如果＝3e1，＝3e2，则＝(　　)
A．e1＋2e2 B．2e1＋e2
C．e1＋e2 D．e1＋e2
A　[∵＝－＝3(e2－e1)，
∴＝＝2(e2－e1)，
∴＝＋＝3e1＋2(e2－e1)＝e1＋2e2.]
3.如图，已知AM是△ABC的边BC上的中线，若＝a，＝b，则等于(　　)
A．(a－b) B．－(a－b)
C．(a＋b) D．－(a＋b)
C　[＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝(a＋b).]
4．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为 (　　)
A．－1或3 B．
C．－1或4 D．3或4
A　[因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，且向量a、b是两个不共线的向量，所以m＝，解得m＝－1或m＝3，选A.]
5．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2＋＋＝0，则(　　)
A．＝2 B．＝
C．＝3 D．2＝
B　[因为D为BC的中点，所以＋＝2，
所以2＋2＝0，所以＝－，所以＝.]
二、填空题
6．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________．
2　[∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，∴＋＝＝2，∴λ＝2.]
7．化简[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]的结果是________．
2b－a　[原式＝(4a＋16b－16a＋8b)
＝(－12a＋24b)
＝2b－a.]
8．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2＝________．
　[＝＋
＝＋＝＋(＋)
＝－＋，
所以λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝.]
三、解答题
9．设a，b是不共线的两个向量，已知＝2a＋kb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三点共线，求k的值．
[解]　∵A，B，D三点共线，∴与共线，
则必存在实数λ，使＝λ，
而＝＋＝(a＋b)＋(a－2b)＝2a－b，
∴2a＋kb＝λ(2a－b)＝2λa－λb，
于是?∴k＝－1.
10．已知O，A，M，B为平面上四点，且＝λ＋(1－λ)(λ∈R，λ≠1，λ≠0).
(1)求证：A，B，M三点共线；
(2)若点B在线段AM上，求实数λ的范围．
[解]　(1)证明：因为＝λ＋(1－λ)，
所以＝λ＋－λ，
－＝λ－λ，即＝λ，
又λ∈R，λ≠1，λ≠0且，有公共点A，所以A，B，M三点共线．
(2)由(1)知＝λ，若点B在线段AM上，则，同向且||>||(如图所示).
所以λ>1.
1．已知向量a与b反向，且|a|＝r，|b|＝R，b＝λa，则λ的值等于(　　)
A．　　　　B．－　　　　C．－　　　　D．
C　[∵b＝λa，∴|b|＝|λ||a|.又a与b反向，∴λ＝－.]
2．O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的(　　)
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
C　[因为＝＋λ(＋)，λ∈[0，＋∞)，所以＝λ(＋)，λ∈[0，＋∞)，即与＋共线，而＋是以，为邻边的平行四边形的对角线表示的向量，而对角线与BC的交点是中点，所以P的轨迹一定通过△ABC的重心．]
3．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ的值为________．
　[＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.]
4．在?ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________(用a，b表示).
b－a　[如图，＝＋＋＝－b－a＋＝－b－a＋(a＋b)＝(b－a).]
5．如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD.
求证：M、N、C三点共线．
[证明]　设＝a，＝b，则由向量减法的三角形法则可知：＝－＝－＝a－b.
又∵N在BD上且BD＝3BN，
∴＝＝(＋)＝(a＋b)，
∴＝－＝(a＋b)－b
＝a－b＝，
∴＝，又∵与的公共点为C，
∴C、M、N三点共线．