课时分层作业17　平面向量基本定理-2021秋北师大版高中数学必修四练习（word含答案解析）

课时分层作业(十七)　平面向量基本定理
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．以下选项中，a与b不一定共线的是(　　)
A．a＝5e1－e2，b＝2e2－10e1
B．a＝4e1－e2，b＝e1－e2
C．a＝e1－2e2，b＝e2－2e1
D．a＝3e1－3e2，b＝－2e1＋2e2
2.如图所示，向量a－b＝(　　)
A．－4e1－2e2
B．－2e1－4e2
C．e1－3e2
D．3e1－e2
3．已知e1，e2不共线，a＝λ1e1＋e2，b＝4e1＋2e2，并且a，b共线，则下列各式正确的是(　　)
A．λ1＝1　　　　　 B．λ1＝2
C．λ1＝3 D．λ1＝4
4.如图所示，?ABCD中，E是BC的中点，若＝a，＝b，则＝(　　)
A．a－b B．a＋b
C．a＋b D．a－b
5．若OP1＝a，OP2＝b，P1P＝λPP2(λ≠－1)，则等于(　　)
A．a＋λb B．λa＋(1－λ)b
C．λa＋b D．a＋b
二、填空题
6．如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________．(填序号)
①λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μ e2的实数对(λ，μ)有无穷多个；
③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；
④若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.
7．已知e1，e2是平面内所有向量的一组基底，又a＝e1＋2e2，b＝2e1－e2，c＝－e1＋8e2，若用a，b作为基底表示向量c，则c＝________．
8．已知e1与e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝λe1＋e2，且a与b是一组基底，则实数λ的取值范围是________．
三、解答题
9.如图，已知△ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点，若＝a，＝b，用a、b表示、、.
10．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)已知c＝3e1＋4e2，以a，b为基底，表示向量c；
(2)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．
1．设O，A，B，M为平面上四点，＝λ＋(1－λ)，λ∈(0，1)，则(　　)
A．点M在线段AB上　 B．点B在线段AM上
C．点A在线段BM上 D．O，A，B，M四点共线
2．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与(　　)
A．反向平行 B．同向平行
C．互相垂直 D．既不平行也不垂直
3.如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ、μ∈R，则λ＋μ＝________．
4．设点O是面积为4的△ABC内部一点，且有＋＋2＝0，则△AOC的面积为________．
5.如图所示，已知梯形ABCD中，AB∥DC，E，F分别是AD，BC的中点，求证：EF∥AB∥DC.
课时分层作业(十七)　平面向量基本定理
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．以下选项中，a与b不一定共线的是(　　)
A．a＝5e1－e2，b＝2e2－10e1
B．a＝4e1－e2，b＝e1－e2
C．a＝e1－2e2，b＝e2－2e1
D．a＝3e1－3e2，b＝－2e1＋2e2
C　[只有C选项不一定共线．]
2.如图所示，向量a－b＝(　　)
A．－4e1－2e2
B．－2e1－4e2
C．e1－3e2
D．3e1－e2
C　[a－b＝＝e1－3e2.]
3．已知e1，e2不共线，a＝λ1e1＋e2，b＝4e1＋2e2，并且a，b共线，则下列各式正确的是(　　)
A．λ1＝1　　　　　 B．λ1＝2
C．λ1＝3 D．λ1＝4
B　[b＝4e1＋2e2＝2(2e1＋e2)，因为a与b共线，所以λ1＝2.]
4.如图所示，?ABCD中，E是BC的中点，若＝a，＝b，则＝(　　)
A．a－b B．a＋b
C．a＋b D．a－b
D　[因为E是BC的中点，
所以＝＝－＝－b，
所以＝＋＝a－b.]
5．若OP1＝a，OP2＝b，P1P＝λPP2(λ≠－1)，则等于(　　)
A．a＋λb B．λa＋(1－λ)b
C．λa＋b D．a＋b
D　[∵P1P＝λPP2，
∴－OP1＝λ(OP2－)，
∴(1＋λ)＝OP1＋λOP2，
∴＝OP1＋OP2＝a＋b.]
二、填空题
6．如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________．(填序号)
①λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μ e2的实数对(λ，μ)有无穷多个；
③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；
④若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.
②③　[由平面向量基本定理可知，①④是正确的．
对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．
对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个．]
7．已知e1，e2是平面内所有向量的一组基底，又a＝e1＋2e2，b＝2e1－e2，c＝－e1＋8e2，若用a，b作为基底表示向量c，则c＝________．
3a－2b　[设c＝λ a＋μ b，
于是－e1＋8e2＝λ(e1＋2e2)＋μ(2e1－e2)，
整理得－e1＋8e2＝(λ＋2μ)e1＋(2λ－μ)e2，
因为e1，e2是平面内所有向量的一组基底，
所以解得λ＝3，μ＝－2，
所以c＝3a－2b.]
8．已知e1与e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝λe1＋e2，且a与b是一组基底，则实数λ的取值范围是________．
∪　[当a∥b时，设a＝m b，
则有e1＋2e2＝m(λe1＋e2)，
即e1＋2e2＝mλe1＋m e2，
所以解得λ＝，即当λ＝时，a∥b.
又a与b是一组基底，
所以a与b不共线，所以λ≠.]
三、解答题
9.如图，已知△ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点，若＝a，＝b，用a、b表示、、.
[解]　＝＋＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b；
＝＋＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b；＝＋＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b.
10．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)已知c＝3e1＋4e2，以a，b为基底，表示向量c；
(2)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．
[解]　(1)设c＝λa＋μb，则3e1＋4e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝(λ＋μ)e1＋(3μ－2λ)e2，
所以解得所以c＝a＋2b.
(2)4e1－3e2＝λa＋μb＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)
＝(λ＋μ)e1＋(3μ－2λ)e2，
所以解得λ＝3，μ＝1.
1．设O，A，B，M为平面上四点，＝λ＋(1－λ)，λ∈(0，1)，则(　　)
A．点M在线段AB上　 B．点B在线段AM上
C．点A在线段BM上 D．O，A，B，M四点共线
A　[因为＝λ＋(1－λ)，λ∈(0，1)，
所以－＝λ(－)，
所以＝λ，
故点M在线段AB上．]
2．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与(　　)
A．反向平行 B．同向平行
C．互相垂直 D．既不平行也不垂直
A　[如图．
∵＝＋＝＋，
＝＋＝＋，
＝＋＝＋，
∴＋＋
＝＋＋
＝＋＝－.]
3.如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ、μ∈R，则λ＋μ＝________．
　[设＝a，＝b，
则＝a＋b，＝a＋b，
又∵＝a＋b，∴＝(＋)，即λ＝μ＝，
∴λ＋μ＝.]
4．设点O是面积为4的△ABC内部一点，且有＋＋2＝0，则△AOC的面积为________．
1　[如图，以OA，OB为邻边作?OADB，连接OD，则＝＋，结合条件＋＋2＝0知，＝－2，
设OD交AB于M，则＝2，所以＝－，
故O为CM的中点，所以S△AOC＝S△CAM＝S△ABC＝×4＝1.]
5.如图所示，已知梯形ABCD中，AB∥DC，E，F分别是AD，BC的中点，求证：EF∥AB∥DC.
[证明]　延长EF到M，使EF＝FM，连接CM，BM，EC，EB，得?ECMB，
由平行四边形法则得
＝＝(＋).
由于AB∥DC，所以，共线且同向，根据共线向量基本定理，存在正实数λ，使＝λ.
由三角形法则得
＝＋，＝＋且＋＝0，
∴＝(＋)＝(＋＋＋)
＝(＋)＝，
∴∥.
由于E，D不共点，∴EF∥AB∥DC.