2.4.2圆的一般方程-2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册 17张PPT

2.4.2圆的一般方程
1、圆心C(a,b),半径r的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2
2、点和圆的位置关系;若点到圆心的距离为d，
(x0-a)2+(y0-b)2>r2时，点在圆外；
(x0-a)2+(y0-b)2=r2时，点在圆上；
(x0-a)2+(y0-b)2 3、圆的标准方程的两种求法：待定系数法、几何法
复习
我们知道方程(x-1)2+(y+2)2=4表示以(1，-2)为圆心，半径为2的圆，可以将此方程变形为x2+y2-2x+4y+1=0
一般的，圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2可变形为
x2+y2+Dx+Ey+F=0 (2)
的形式，反过来，形如(2) 的方程一定能通过恒等变形变为圆的标准方程吗?
探究
解：将变形x2+y2+Dx+Ey+F=0得x2+Dx+y2+Ey+F=0
配方可得：
探究
解：将变形x2+y2+Dx+Ey+F=0得x2+Dx+y2+Ey+F=0
配方可得：
当D2+E2-4F>0时，表示以 为圆心，以 为半径的圆
当D2+E2-4F=0时，方程只有一组解 ，表示一个点
当D2+E2-4F＜0时，方程（1）无实数解，所以不表示任何图形
所以形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2+E2-4F>0)可表示圆的方程
圆的一般方程:
注意：(1) x2与y2系数相同并且不等于0
(2) 没有xy这样的二次项
(3) 与圆的标准方程的关系：
新知
判断下列方程能否表示圆的方程, 若能写出圆心与半径.
（1）x2+y2-2x+4y-4=0
（2）2x2+2y2-12x+4y=0
（3）x2+2y2-6x+4y-1=0
（4）2x2+2y2-24x+12y+100=0
（5）x2+y2-3xy+5x+2y=0
√
圆心（1，-2）半径3
√
圆心（3，-1）半径
×
×
×
练习
课本P88 练习1
例题
例4.求过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径.
分析：将点O,M1,M2的坐标分别代入圆的一般方程，可得一个三元一次方程组，解方程组即可求出圆的方程.
解：设圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0 .
因为O,M1,M2三点都在圆上，
所以
所以，所求圆的方程是x2+y2-8x+6y=0.
则所求圆的圆心坐标是(4,-3),半径
1、求圆的方程常用待定系数法，其大致步骤是：
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；
(2)根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组；
(3)解出a,b,r或D,E,F,得到标准方程或一般方程
2、求圆的方程的选择
(1)由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需要利用圆心坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程
(2)已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程
归纳
练习
已知一圆过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且圆心在x轴上，求圆的方程．
练习
若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，
求：(1)实数m的取值范围；(2)圆心坐标和半径．
例题
例5.已知线段AB的端点B 的坐标是(4,3)，端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。
分析：如图，点A运动引起点M运动，而点A在已知圆上运动，点A满足方程(x+1)2+y2=4。建立点M与点A坐标之间的关系，就可以利用点A的坐标锁满足的关系式得到点M的坐标满足的关系式，求出点M的轨迹方程.
.
A
B
.
.
M
例题
例5.已知线段AB的端点B 的坐标是(4,3)，端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。
解：设点M的坐标是(x,y),A(x0,y0)
因为B(4,3),M是AB的中点 所以
则x0=2x-4,y0=2y-3 ①
因为点A在已知圆(x+1)2+y2=4上运动
所以(x0+1)2+y02=4 ②
把①代入②得(2x-4+1)2+(2y-3)2=4
整理得
这是点M的轨迹方程，它表示以 为圆心，半径为1的圆
.
A
B
.
.
M
归纳
求轨迹方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，
(2)设出动点M的坐标(x，y)．(2)列出点M满足限制条件的集合．(3)将坐标代入上述条件，列出方程f(x，y)＝0.(4)将上述方程化简．(5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点．
练习
求轨迹方程的常用方法（一）
代入法：若动点P(x，y)随着圆上的另一动点Q(x1，y1)运动而运动，且x1，y1可用x，y表示，则可将Q点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P的轨迹方程，即“建设限代化”。
代入法用于处理一个主动点与一个被动点问题，只需找出这两点坐标之间的关系，然后代入主动点满足的轨迹方程即可
归纳
小结
1、圆的一般方程:
2、求圆的方程的选择
(1)由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需要利用圆心坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程
(2)已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程
3、求轨迹方程的常用方法之一：代入法，“建设限代化”，用于处理一个主动点与一个被动点问题，只需找出这两点坐标之间的关系，然后代入主动点满足的轨迹方程即可。
作业
课本P88 练习3
习题2.4 复习巩固 3