正方形的性质与判定练习题（答案）
1、对角线 垂 直 的矩形是正方形，对角线 相 等 的菱形是正方形．
2、正方形的对角线长为，则这个正方形的周长是4，面积是1．
3、在正方形ABCD中，对角线AC=10，P是AB边上任意一点，则P到对角线AC、BD的距离之和为5．
4、如图，正方形ABCD中，△ABE是等边三角形，则∠AED=75°．
5、如图，P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转能与△CBP′重合，
若PB=3，则PP′=．
6、已知：如图，正方形ABCD、EFGH的边长都等于1，点E恰好是AC、BD的交点，则两个正方形的重叠部分(阴影部分)的面积是．
7、延长正方形ABCD一边AB到E，使AE=AC=，则AB=4，△ACE的面积=.
8、如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点O．若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是AC＝BD或∠ABC＝90°．
9、 如图，在正方形ABCD中，CE=MN,∠MCE=35°，则∠ANM=55°．
10、如图，在正方形ABCD中，A0⊥BD，OE、FG、HI都垂直于AD，EF、GH、IJ都垂直于AO，若则256．
11、如图，已知正方形ABCD的边长为3，以CD为一边向CD两旁作等边APCD和等边AQCD，那么PQ的长为.
12、如图，已知点E、F在正方形ABCD的对角线AC上，AE=CF．
求证：四边形BFDE是菱形．
【证】连接BD交AC于点O.
∵ABCD是正方形,∴AC⊥BD,AO=BO=CO=DO
∵AE=CF,∴AO-AE=CO-CF即EO=FO
∴BEDF是平行四边形,且AC⊥BD
∴四边形BEDF是菱形.
13、如图，已知点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，且BE=CF．
求证：(1)AE=BF；(2)AE⊥BF．
【证】（1）∵ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABC=∠BCD
又∵BE=CF,∴△ABE≌△BCF,∴AE=BF
（2）∵△ABE≌△BCF, ∴∠AEB=∠BFC
∵∠CBF+∠BFC=90°,∴∠CBF+∠AEB=90°,∴∠BGE=90°
∴AE⊥BF
14、如图，M、N分别是正方形ABCD两边AD、DC的中点，CM与BN交于点P．求证：PA=AB．
【证】延长CM交BA的延长线于点E
由第13题可知∠BPM＝90°
又∵△AEM≌△DCE，∴AE＝DC＝AB
∴PA＝AB（Rt△斜边上的中线等于斜边的一半）
15、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．(1)求证：四边形ADCE为矩形；
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形 并给出证明．
【证】（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAN＝∠CAN
又∵∠MAC＝∠B+∠ACB，∴∠MAN＝∠B，∴AN∥BC
∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴AD∥CE，∴四边形ADCE是平行四边形
∵∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是矩形
（2）当△ABC是等腰直角三角形时，四边形ADCE是正方形
∵△ABC是等腰直角三角形，且AD⊥BC
∴AD＝DC，∴四边形ADCE是正方形
16、如图，正方形ABCD的对角线交于O点，E是OA上任意一点，CF⊥BE于F，CF交DB于G．求证：OE=OG．
【证】∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OC＝OB
∵CF⊥BE，且∠CGO＝∠BGF，∴∠OCG＝∠OBE
在△COG和△BOE中
∴△COG≌△BOE
∴OE＝OG
17、如图，在正方形ABCD中，F是AC上一点，FC=BC，EF⊥AC交AB于E．求证：AF=EB．
【证】连接CE
∵ABCD是正方形，∴∠B＝90°，∠BAC＝45°
又∵EF⊥AC，∴∠AEF＝∠BAC＝45°，∴AF＝EF
在Rt△BCE和Rt△FCE中
∵BC＝FC，CE为公共边，∴Rt△BCE≌Rt△FCE（HL）
∴BE＝EF，∴AF＝EB
18、(2005·广州)如图，点D是线段AB的中点，点C是线段AB的垂直平分线上的任意一点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F．
(1)求证：CE=CF；(2)点C运动到什么位置时，
四边形CEDF成为正方形 请说明理由．
【证】（1）∵C是线段AB的垂直平分线上的任意一点
∴CA＝CB，∵D是线段AB的中点，∴∠ACD＝∠BCD
又∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠CED＝∠CFD＝90°
∴△CDE≌△CDF（AAS） ∴CE＝CF
（2）当CD＝AD时，四边形CEDF是正方形
19、如图，已知正方形ABCD，∠EAF=45°．求证：EF=BE+DF．
【证】延长CD至G，使DG＝BE，连接AG
则△ADG≌△ABE，∴∠DAG＝∠BAE，AG＝AE
∵∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠DAG+∠DAF＝45°，即∠GAF＝45°
在△AEF和△AGF中
∵AE＝AG，∠EAF＝∠GAF，AF＝AF
∴△AEF≌△AGF（SAS）
∴EF＝FG＝DF+DG＝DF+BE
故EF＝BE+DF
20、(2005·海南)如图，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连结DE交BG的延长线于H．
(1)求证：①△BCG≌△DCE；②BH⊥DE．
(2)试问当点G运动到什么位置时，BH垂直平分DE 请说明理由．
【证】（1）∵ABCD和GCEF均是正方形
∴BC＝DC，∠BCG＝DCE＝90°，CG＝CE
∴△BCG≌△DCE（SAS）
（2）∴∠CBG＝∠CDE
又∵∠CDE+∠CED＝90°，∴∠CBG+∠CED＝90°
∴∠BHE＝90°，∴BH⊥DE
（3）当CG＝时，BH垂直平分DE
这时，BE＝BD＝
又∵BH⊥DE，∴BH平分DE，∴BH垂直平分DE
21、如图，在正方形ABCD中，P是BD上一点，AP的延长线交CD于Q，交BC的延长线于G，M是CQ的中点．求证：PC⊥MC．
【证】∵ABCD是正方形
∴DA＝DC，∠ADP＝∠CDP＝45°
∴△ADP≌△CDP（SAS），∴∠DAP＝∠DCP
又∵AD∥BC，∴∠DAP＝∠G
∵CM是Rt△CQG的斜边上的中线
∴CM＝MG，∴∠G＝∠MCG
∴∠PCM＝∠DCP+∠QCM＝∠MCG+∠QCM＝90°
∴PC⊥MC
22、（07·山西）如图,在正方形ABCD中,E是CD边的中点,AC交BE于点F,连接DF.（1）在不增加点和线的前提下,直接写出图中所有的全等三角形；（2）连接AE,试判断AE与DF的位置关系,并证明你的结论；（3）延长DF交BC于点M,试判断DM与MC的数量关系.
【证】（1）△ABC≌△ADC，△ABF≌△ADF，△BCF≌DCF
（2）AE⊥DF，其理由如下：
设AE与DF交于点O，由△ADE≌△BCE得∠DAE＝∠CBE
由△BCF≌△DCF得∠CBE＝∠CDF，∴∠CDF＝∠DAE
∴∠DAO+∠ADO＝∠CDF+∠ADO＝90°
∴∠AOD＝90°，∴AE⊥DF
（3）这时，点M是BC的中点，由勾股定理得DM＝MC
第6题图
第4题图
第5题图
第10题图
第11题图
第9题图
第8题图
第12题图
第13题图
第14题图
第15题图
第16题图
第17题图
第18题图
第19题图
G
第20题图
第21题图
第22题图正方形的性质与判定练习题
1、对角线___________的矩形是正方形，对角线___________的菱形是正方形．
2、正方形的对角线长为，则这个正方形的周长是___________，面积是___________．
3、在正方形ABCD中，对角线AC=10，P是AB边上任意一点，则P到对角线AC、BD的距离之和为___________．
4、如图，正方形ABCD中，△ABE是等边三角形，则∠AED=___________．
5、如图，P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转能与△CBP′重合，
若PB=3，则PP′=___________．
6、已知：如图，正方形ABCD、EFGH的边长都等于1，点E恰好是AC、BD的交点，则两个正方形的重叠部分(阴影部分)的面积是___________．
7、延长正方形ABCD一边AB到E，使AE=AC=，则AB=______，△ACE的面积=_______.
8、(2006·深圳)如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD
相交于点o．若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是____________________．
9、 如图，在正方形ABCD中，CE=MN，∠MCE=35°，则∠ANM=__________．
10、如图，在正方形ABCD中，A0⊥BD，OE、FG、HI都垂直于AD，EF、GH、IJ都垂直于AO，若则__________．
11、如图，已知正方形ABCD的边长为3，以CD为一边向CD两旁作等边APCD和等边AQCD，那么PQ的长为__________.
12、如图，已知点E、F在正方形ABCD的对角线AC上，AE=CF．
求证：四边形BFDE是菱形．
13、如图，已知点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，且BE=CF．
求证：(1)AE=BF；(2)AE⊥BF．
14、如图，M、N分别是正方形ABCD两边AD、DC的中点，CM与BN交于点P．求证：PA=AB．
15、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．(1)求证：四边形ADCE为矩形；
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形 并给出证明．
16、如图，正方形ABCD的对角线交于O点，E是OA上任意一点，CF⊥BE于F，CF交DB于G．求证：OE=OG．
17、如图，在正方形ABCD中，F是AC上一点，FC=BC，EF⊥AC交AB于E．求证：AF=EB．
18、(2005·广州)如图，点D是线段AB的中点，点C是线段AB的垂直平分线上的任意一点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F．
(1)求证：CE=CF；(2)点C运动到什么位置时，
四边形CEDF成为正方形 请说明理由．
19、如图，已知正方形ABCD，∠EAF=45°．求证：EF=BE+DF．
20、(2005·海南)如图，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连结DE交BG的延长线于H．
(1)求证：①△BCG≌△DCE；②BH⊥DE．
(2)试问当点G运动到什么位置时，BH垂直平分DE 请说明理由．
21、如图，在正方形ABCD中，P是BD上一点，AP的延长线交CD于Q，交BC的延长线于G，M是CQ的中点．求证：PC⊥MC．
22、（07·山西）如图,在正方形ABCD中,E是CD边的中点,AC交BE于点F,连接DF.（1）在不增加点和线的前提下,直接写出图中所有的全等三角形；（2）连接AE,试判断AE与DF的位置关系,并证明你的结论；（3）延长DF交BC于点M,试判断DM与MC的数量关系.
第6题图
第4题图
第5题图
第10题图
第11题图
第9题图
第8题图
第12题图
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