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第一章 图形与证明（二）
1.4 等腰梯形的性质和判定
在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．
已知：在梯形ABCD中，AD//BC，
∠B=∠C．
求证：梯形ABCD是等腰梯形．
A
B
C
D
定理 在同一底上的两个角相等的
梯形是等腰梯形．
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
等腰梯形同一底上的两底角相等．
等腰梯形的两条对角线相等．
定理
A
B
C
D
E
A
B
C
D
┐
E
┐
F
等腰梯形的两条对角线相等．
定理
已知：在梯形ABCD中，AD//BC，
AC=BD．
求证：梯形ABCD为等腰梯形．
例题
E
1
2
A
B
C
D
证明：过点D作DE∥AC，交BC的延长线
于点E，则∠2=∠E .
∵AD∥BE，
∴ DE=AC．
∵AC=BD，
∴DE=BD．
∴∠1=∠E．
∴∠1=∠2．
又∵AC=DB，BC=CB，
∴△ABC≌△DCB(SAS)．
∴AB=DC．
∴梯形ABCD为等腰梯形．
E
1
2
A
B
C
D
已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，
求证：MB=MC ．
M是AD的中点．
说说你的证明思路!
A
B
C
D
M
练习
A
B
C
D
M
证明： ∵点M是AD的中点，
∴AM=DM．
∵ABCD是等腰梯形，
∴∠BAM=∠CDM,AB=DC．
在△BAM 和△CDM 中，
AB=DC，
∠BAM=∠CDM，
AM=DM，
∴△BAM≌△CDM(SAS)．
∴BM=CM．
A
B
C
D
N
已知：如图,在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，
求证：MB=MC.
M是AD的中点.
N是BC的中点.
求证：NA=ND．
再说说你的证明思路!
证明： ∵点N是BC的中点，
∴BN=CN．
∵ABCD是等腰梯形，
∴∠ABN=∠DCN，AB=DC．
在△ABN和△DCN 中，
AB=DC，
∠ABN=∠DCN，
BN=CN，
∴△ABN≌△DCN(SAS)．
∴NA=ND．
A
B
C
D
N
新问题
老问题
等腰梯形
三角形或特殊四边形
转化
转化
学有所获
请你画一个等腰梯形，使它的两底的长分别为6cm和12cm，腰长为5cm.你能否尝试用不同的方法来画这个等腰梯形
课外思考题：
证明：延长BA，CD相交于点E.
∵∠B=∠C，
∴BE=CE.
∵四边形ABCD是梯形，
∴AD∥BC.
∴∠EAD=∠B,∠EDA=∠C.
∴∠EAD=∠EDA.
∴AE=DE.
∴AB=CD．
∴梯形ABCD是等腰梯形.
A
B
C
D
E
思路：转化方向——等腰三角形．
思路：转化方向——平行四边形．
证明：过点A作AE∥DC，交BC于点E.
此时四边形AECD是平行四边形.
则AE∥CD且AE=CD，
∴∠AEB=∠C.
又∵∠B=∠C，
∴∠B=∠AEB.
∴AB=AE.
∴AB=CD.
∴梯形ABCD是等腰梯形.
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
思路：转化方向——全等三角形．
F
证明：过点A作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，
则有∠AEB=∠DFC.
∵AD∥BC，
∴AE=DF，
∵∠B=∠C，
∴△AEB≌△DFC(AAS)．
∴AB=CD.
∴梯形ABCD是等腰梯形.1.4 等腰梯形的性质和判定
教学目标
1、掌握梯形、等腰梯形、直角梯形的有关概念
2、能够运用等腰梯形的性质和判定进行有关问题的论证和计算，进一步培养学生的分析能力和计算能力
3、通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题，使学生体会图形变换的方法和转化的思想
教学重、难点
重点：等腰梯形的性质与判定定理的证明
难点：解决梯形问题的基本方法（将梯形转化为平行四边形和三角形及正确运用辅助线）
教学过程
一、复习提问
1、什么样的四边形叫梯形，什么样的梯形是直角梯形、等腰梯形？
2、等腰梯形有哪些性质？它的性质定理是怎样证明的？
3、在研究解决梯形问题时的基本思想和方法是什么？常用的辅助线有哪几种？
我们已经掌握了等腰梯形的性质，那么又如何来判定一个梯形是否是等腰梯形呢？今天我们就共同来研究这个问题。
二、引入新课
等腰梯形判定定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。
已知：如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，∠B=∠C
求证：梯形ABCD是等腰梯形
分析：要证等腰梯形，只需证DE=DC。（方法一）如图一，过点D作DE∥AB，并交BC于E，得∠DEC=∠B=∠C，所以得DE=DC；
（方法二）如图二，作高AE、DF，通过证Rt△ABE≌Rt△DCF，得出AB=DC；
（方法三）如图三，分别延长BA、CD交于点E，则△EAD与△EBC都是等腰三角形，所以可得结论。
由此我们想到梯形的性质定理：等腰梯形同底上的两底角相等。
例2 求证：等腰梯形的两条对角线相等
已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC。求证：AC=BD。
分析：要证AC=BD，只要用等腰梯形的性质得出∠ABC=∠DCB ，然后再利用△ABC≌△DCB，即可得出AC=BD。
解决梯形问题常用的方法
（1）“作高”：使两腰在两个直角三角形中；
（2）“移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中；
（3）“延腰”：构造具有公共角的两个等腰三角形；
（4）“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形。
三、练习
课本练习1、2
四、小结
研究四边形问题，常常把它转化成研究三角形的问题，这就把一个有待解决的新问题转化为我们会解的问题。
五、作业
作业纸1.4 等腰梯形的性质和判定
一、知识回顾：
1、 的四边形叫梯形；
的梯形是直角梯形；
是等腰梯形。
2、等腰梯形的性质有
。
3、根据等腰梯形的定义,一个图形要成为等腰梯形,首先它必须
是____ _,还要具备__ ___相等;
二、探索思考：
活动1 等腰梯形判定定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。
已知：
求证：
定理的书写格式：如图，∵______________________________
∴______________________________
活动2 梯形的性质定理：等腰梯形同底上的两底角相等。
活动3 求证：等腰梯形的两条对角线相等
二、典型例题
如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC和BD相交于点O，E是BC边上的一个动点（点E不于B、C两点重合），EF∥BD交AC于点F。EG∥AC交BD于点G。
（1）、求证：四边形EFOG的周长等于2OB；
（2）、请将上述题目的条件“梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论“四边形EFOG的周长等于2OB”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证，不必证明。
三、合作交流
证明：两条对角线相等的梯形是等腰梯形。
姓名_________ 班级 ________ 等第
1、判断正误：
（1）有两个角相等的梯形一定是等腰梯形.（ ）
（2）两条对角线相等的梯形一定是等腰梯形. （ ）
（3）如果一个梯形是轴对称图形，则它一定是等腰梯形. （ ）
（4） 一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是等腰梯形. （ ）
（5）对角互补的梯形一定是等腰梯形. （ ）
（6）有两个角等于70°的梯形是等腰梯形。（ ）
2、 用一块面积为450㎝2的等腰梯形彩纸做风筝,为了牢固起见,用竹条做梯形的对角线,对角线恰好互相垂直,那么至少需要竹条_______㎝.
3、在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝1，AB＝CD＝2，BC＝3，则∠B＝ 度．
4、已知等腰梯形中，，，，则此等腰梯形的周长为（ ）
A．19 B．20 C．21 D．22
5、对于等腰梯形，下列结论错误的是( )
A、只有一组相等的对边 B、只有一对相等的内角
C、只有一条对称轴 D、两条对角线相等
6、有两个角相等的梯形是（ ）
A．等腰梯形 B．直角梯形 C．等腰梯形或直角梯形材 D．一般梯形
7、已知等腰梯形的上、下底边长分别是2㎝，8㎝，腰长是5㎝，求这个梯形的高及面积.
8、已知在等腰梯形ABCD中，AB ∥CD，AD=BC，
E、F分别是对角线AC、BD的中点。已知AB=10，CD=4，
求EF的长。
9、已知：如图，梯形 中， ， 、 分别为 、 中点，
且 ，求证：梯形 为等腰梯形．
思考题：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ B=900，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A点开始沿AD边以1cm/秒的速度向D运动，动点Q从C点开始沿CB边以3cm/秒的速度向B运动，P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动。设运动时间为t秒，t分别为何值时，四边形PQCD是等腰梯形？
