第十一章全等三角形全章精品学案

人教版八年级上册
数学
自能训练
班级
姓名
学号
2011年6月
第十一章 全等三角形
11．1 全等三角形
【学习目标】
1．知道什么是全等形、全等三角形；
2．能熟练找出全等三角形的对应元素，能用符号正确地表示两个三角形全等；
3．掌握全等三角形的性质．
【自能学习】
一、全等形、全等三角形的概念
阅读课本P2内容，回答课本思考问题，并完成下面填空：
1．能够完全重合的两个图形叫做 ．
全等图形的特征：全等图形的 和 都相同．
2．能够完全重合的两个三角形叫做 ．
二、全等三角形的对应元素及表示
阅读课本P3第一个思考及下面两段内容，完成下面填空：
1． 平移 翻折 旋转
启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后， 变化了，但 、 都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形 ，这也是我们通过运动的方法寻全等的一种策略．
2．全等三角形的对应元素
（1）对应顶点（三个）——重合的顶点
（2）对应边（三条） ——重合的边
（3）对应角（三个） ——重合的角
3．寻找对应元素的规律
（1）有公共边的，公共边是对应边；
（2）有公共角的，公共角是对应角；
（3）有对顶角的，对顶角是对应角；
（4）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；
（5）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；
（6）在两个全等三角形中，最长边对应最长边，最短边对应最短边；最大角对应最大角，最小角对应最小角．
4．“全等”用“≌”表示，读作“全等于”
如图甲记作：△ABC≌△DEF 读作：△ABC全等于△DEF
如图乙记作： 读作：
如图丙记作： 读作：
注意：两个三角形全等时，把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．
三、全等三角形的性质
阅读课本P3第二个思考及下面内容，完成下面填空：
全等三角形的性质：（要记下）
全等三角形的 相等；
全等三角形的 相等．
四、范例分析
例1．如图1，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是对应顶点，说出这两个三角形中的对应边和对应角．
图1 图2
例2．如图2，已知△ABE≌△ACD，∠ADC=∠AEB，∠B=∠C，指出其他的对应边和对应角．
【自我小结】
本节课我有哪些收获？我还有什么疑惑？
【自能训练】
1．“全等”用符号 表示，读作： ．
2．若△BCE≌△CBF，则∠CBE= ， ∠BEC= ，BE= ， CE= ．
3．判断题
（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等． （ 　）
（2）全等三角形的周长相等，面积也相等． （ 　 ）
（3）面积相等的三角形是全等三角形． （ 　）
（4）周长相等的三角形是全等三角形． （ 　 ）
4．如图：△ABC≌△DBF，找出图中的对应边，对应角． 第4题图
答：∠B的对应角是 ，∠C的对应角是 ，∠BAC的对应角是 ；
AB的对应边是 ，AC的对应边是 ，BC的对应边是 ．
5．如下图，≌，并且，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．如下图，≌，若，，，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．以上都不对
7．如下图，直角△ABC沿直角边所在直线向右平移得到，下列结论错误的是（ ）
A．≌ B． C． D．
8．在中，，与全等的三角形有一个角为，则中与这个角对应相等的角是（ ）
A． B． C． D．或
第5题图 第6题图 第7题图
9．如图，已知≌，求证：
11．2．1 三角形全等的判定（一）（SSS）
【学习目标】
1．理解三边对应相等的两个三角形全等的内容；
2．会运用“边边边”(SSS)证明两个三角形全等；
3．会作一个角等于已知角（尺规作图）．
【自能学习】
一、课前准备
1． 叫做全等三角形
2．全等三角形的 和 相等
3．将△ABC沿直线BC平移，得到△DEF，说出你得到的结论，说明理由？
如果AB=5， ∠A=55°， ∠B=45°，那么DE= ，∠F= ．
二、自主探究
探究三角形全等的条件
阅读课本P6探究2之前，回答下面问题：
（1）只给一个条件对应相等的两个三角形一定全等吗？（自己画图说明）
①只给一条边时； ②只给一个角时；
（2）如果给出两个条件对应相等的两个三角形一定全等吗？（自己画图说明）
①给出两个角时；
②给出两条边时；
③给出一条边和一个角时．
由上面的几种情景，两个三角形满足一个或两个条件时，它们一定全等吗？
结论：
（3）如果两个三角形有三个条件对应相等，这两个三角形全等吗？我们也可以分情况讨论，有哪几种情况？
你觉得总共有几种情况，分别是
①我们先来探究两个三角形三个角对应相等的情况：
结论：两个三角形的三个角对应相等，这两个三角
形 全等（填“一定”或“不一定”）
②我们这节课来重点研究两个三角形三条边对应相等的情况．画出一个三角形，使它的三边长分别为3cm、 4cm、6cm ，把你画的三角形与小组内画的进行比较，它们一定全等吗？（怎么画？是不是有难度？可以参看教材哦，最好画在另外的纸上，然后剪下来与其他同学的比较，看是否能够重合，重合即全等）
③上面的探究反映了什么规律？
阅读课本P6-7探究2至例1前，回答下面问题：
的两个三角形全等，简写为“ ”或“ ”．
三、例题学习
阅读课本P7例1，学习“边边边”证明两个三角形全等的格式．
例．如图，AB=AD，BC=CD，求证：（1）△ABC≌△ADC； （2）∠B=∠D．
四、你会作一个角等于已知角吗？（尺规作图，不用量角器哦）
想不出可看教材P8，然后把步骤总结一下：（想一想作图的道理）
【自我小结】
本节课我有哪些收获？我还有什么疑惑？
【自能训练】
1．下列说法正确的是（ ）
A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形的周长和面积分别相等
C．全等三角形是指面积相等的两个三角形 D．所有等边三角形都全等．
2．如图，在中，，为的中点，则下列结论中：①≌；②；③平分；④，其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，若，，根据 可得≌．
4．在中，，、分别为、上的点，且，，．求证：
5．如图，点、、、在同一直线上，，，
求证：
6．如图，已知，，求证：．
11．2．2 全等三角形的判定（二）（SAS）
【学习目标】
1．会运用“边角边”公理证明三角形全等的简单问题；
2．找准“边角边”对应相等，尤其注意此处的“角”是这“两边”的夹角．
【自能学习】
一、做一做
1．以两条线段（3cm，4cm）和一个角（45°）画一个三角形，使该角恰为这两条线段的夹角．
参考步骤：（要想一想这么画的道理哦）
（1）画一线段AB使它的长度等于4cm．
（2）以点A为顶点，作∠BAP=45°，在射线AP上截取AC＝3cm，
（3）连结BC，△ABC即为所求．
2．把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所有的三角形都全等吗？
3．换两条线段和一个角，用同样的方法试试，是否有同样的结论？
4．这样我们就得到判定三角形全等的另一种方法（SAS）：（你可以用自己的话总结一下，然后参看教材）
二、学一学
例．如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，试说明△ABD≌△ACD．
三、辨一辨
已知两条线段（3cm，4cm）和一个角（45°），以这两条线段为边，以这个角为其中一条边（3cm）的对角，画一个三角形，把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所有的三角形一定都会全等吗？
四、练一练 根据题目条件，判断下面的四组三角形是否一定全等？


(1) (2) (3) (4)
【自我小结】
本节课我有哪些收获？我还有什么疑惑？
【自能训练】
1．如右图：OA=OD，OB=OC，求证：△ABO≌△DCO
证明：在△ABO和△DCO中
OA=OD　
　　　　 ＝ （　　　 ）
OB=OC
∴△ABO≌△DCO（　　　　 ）
2．如右图：已知AB=DC，∠ABC=∠DCB，求证：AC=BD
证明：在△BCD和△BCA
AB=DC，
∠ABC=∠DCB（ ）
BC=________ （ ）
∴△BCD≌ （ ）
∴AC=________（ ）
3．具有下列条件的两个等腰三角形，不能判定它们全等的是（　　 ）
A．顶角、一腰对应相等　　　　　　　　　B．底边、一腰对应相等
C．两腰对应相等　　　　　　　　　　　　D．一腰、一底角、一底边对应相等
4．如图，下列条件中能使≌的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．如图，线段、互相平分交于点，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知，．求证：≌
7．点、、、在同一直线上，，AE=BC且．
求证：⑴≌ ⑵
8．如图，于，于，，．
求证：
11．2．3　全等三角形的判定（三）（ASA及AAS）
【学习目标】
1．会运用“角边角”及“角角边”证明三角形全等的简单问题；
2．先注意“角边角”及“角角边”的不同，然后理解它们其实是一回事．
【自能学习】
一、做一做
1．已知两个角（30°，45°）和一条线段（3cm），以这两个角为内角，以这条线段为这两个角的夹边，画一个三角形．
参考步骤：
（1）一线段AB使它的长度等于3cm；
（2）分别以点A、B为顶点，作∠BAP=30°，∠ABQ=45°，AP、BQ相交于点C；
（3）△ABC即为所求．
2．把你画的三角形与其他同学画的进行比较，所有的三角形都全等吗？
3．换两个角和一条线段，用同样的方法试试看，是否有同样的结论？
4．由此又得到一个全等三角形的判定方法（ASA）：
二、学一学
例．如图所示，∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，试说明△ABC≌△DCB．
三、想一想
如图，如果两个三角形有两个角及其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形是否一定全等？
你的结论是______________________________，你能证明吗？
证明：
由此得到另一个全等三角形的判定方法（AAS）：
四、理一理
如果知道两个三角形的两个角及一条边分别对应相等，这时应该有两种不同的情况：
一种情况是 ；
另一种情况是 ，
两种情况都可以证明三角形全等．如图所示．
【自能训练】
1．下列说法中，正确的是（　 　）
A．所有的等腰三角形全等　　　　　　　　　　B．有两边对应相等的两个等腰三角形全等
C．有一边对应相等的两个等腰三角形全等　　　D．腰和顶角对应相等的两个等腰三角形全等
2．在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A=44°，∠B=67°，∠C′=69°，∠A′=44°，且AC=A′C′，那么这两个三角形（　　 ）
A．一定不全等　　　　B．一定全等　　　　　 C．不一定全等　　　 D．以上都不对
3．如图，和中，下列能判定≌的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
4．如图为打碎的一块三角形玻璃，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是（ ）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去
4．在△ABC和△DEF中，条件(1)AB=DE，(2)BC=EF，(3)AC=DF，(4) ∠A=∠D，(5) ∠B=∠E，(6) ∠C=∠F，则下列各组条件中，不能保证△ABC≌△DEF的是（　 　）
A．(1) (2) (3) B．(1) (2) (5) C．(1) (3) (5) D．(2) (5) (6)
5．如图，，，则图中全等三角形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
6．如图，于，于，平分，则图中全等三角形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
7．如图，已知，，求证：
8．如图，，，．求证：≌．
11．2．4　全等三角形的判定（四）（HL）
【学习目标】
1．会运用“斜边、直角边公理”（HL） 证明三角形全等的简单问题；
2．了解SSS、SAS、ASA、AAS也适用于直角三角形．
【自能学习】
一、自主探究
我们知道，对于两个三角形，有“边、边、角”对应相等，是不能保证它们全等的．但是，在两个直角三角形中，当斜边及一条直角边分别对应相等时，也具有“边、边、角”对应相等的条件，这时这两个直角三角形是否全等呢？
1．试以两条线段AC（3cm），AB（5cm）分别为直角边和斜边画一个直角三角形．
步骤：
（1）画∠MCN＝90°；
（2）在射线CM上截取AC的长度；
（3）以点A为圆心，以线段AB的长为半径画圆弧，交射线CN于点B；
（4）连结AB，△ABC即为所求．
2．把你画的图形与周围的同学画的比较一下，所画的图形都全等吗？
3．由此可以得到如下判定方法（HL）：
注意：
1．斜边、直角边公理（HL）只能用于证明直角三角形的全等，对于其它三角形不适用；
2．SSS、SAS、ASA、AAS适用于任何三角形，包括直角三角形；
3．直角三角形ABC可表示为“Rt△ABC” ．
二、例题学习
例1．如图，于，于，且，求证：．
例2．如图，，，于，于．求证：．
【自我小结】
本节课我有哪些收获？我还有什么疑惑？
【自能训练】
1．下列命题中正确的有（ ）
①两直角边对应相等的两直角三角形全等；②两锐角对应相等的两直角三角形全等；
③斜边和一条直角边对应相等的两直角三角形全等；
④一锐角和斜边对应相等的两直角三角形全等．
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
2．如图，和中，，，点、、、在同一条直线上，再增加一个条件，不能判定≌的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，，于，于，图中全等三角形的组数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图，于，于，，．
求证：
5．如图，点、、、在同一条直线上，，，，且，
求证：
6．在中，，，是过点的一条直线，且于，于．
（1）当直线处于如图1的位置时，猜想、、之间的数量关系，并证明；
（2）请你在图2选择与⑴不同位置进行操作，并猜想⑴中的结论是否还成立？加以证明；
（3）归纳⑴、⑵，请你用简洁的语言表达、、之间的数量关系．
7．如图，、、、在同一条直线上，于，于，，．
探究与的关系，并说明理由．
11．2．5 全等三角形的性质与判定综合
【知识梳理】
一、全等三角形的性质
全等三角形的对应角 ；全等三角形的对应边 ．
二、全等三角形的判定
1．判定两个三角形全等的方法有：
⑴________________________________________的两个三角形全等()．
⑵________________________________________的两个三角形全等()．
⑶________________________________________的两个三角形全等()．
⑷________________________________________的两个三角形全等()．
2．判定两个直角三角形全等的方法还有：_______________________的两个直角三角形全等()．
【例题分析】
例1．如图已知的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和全等的图形是( )
A．甲和乙 B．乙和丙
C．只有乙 D．只有丙
例2．如图，在和中，、、、在同一直线上，下面有四个条件，请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明．
①，②，③，④．
例3．如图，，，．
猜想线段、的大小关系，并说明理由．
例4． 如图1，正方形通过剪切可以拼成三角形．仿照上面图示的方法，解答下列问题：操作设计（在原图上画出即可）：
⑴如图2，对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的长方形；
⑵如图3，对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的长方形．
【自能训练】
1．下列给出的四组条件中，能判定≌的是（　 　）
A．，， 　 B．，，　　　　　
C．，， D．， ， 周长＝周长
2．若≌，且的周长为20，，，则长为（　 　）
A．5　　　 B．8　　　 　 C．7　 D．5或8
3．如图，在上，在上，且，那么补充下列一个条件后，仍无法判定≌的是（ ）
A． B． 　 C． 　 D．
4．如图，将两根钢条、的中点连在一起，使、可以绕着点自由转动，就做成了一个测量工件，则的长等于内槽宽，那么判定≌的理由是（ ）
A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边
5．在和中，，，，，且，那么这两个三角形（ ）
A．一定不全等 B．一定全等
C．不一定全等 D．以上都不对
6．如图，若≌，则等于（ ）
A．30° B．50° C．60° D．100°
7． 已知，，，请问图中有哪几对全等三角形？并任选其中一对给予证明．
8．如图，给出五个等量关系：①；②；③；④；⑤．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，写出一个正确的命题（只需写出一种情况），并加以证明．
9．如图，和都是等边三角形，连接，交于．
求证：⑴； ⑵
11．3．1 角平分线的性质
【学习目标】
1．掌握角平分线的性质定理；
2．能够运用性质定理证明两条线段相等．
【自能学习】
一、梳理旧知——判断两个三角形全等的方法
1．三边分别对应相等的两个三角形全等．
2．有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．
3．有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等．
4．有两个角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．
5．有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等．
二、探究新知——“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”
1．请你自己设计出一道几何证明题，来证明上面这个命题是否正确：
2．小帅已经做出了一些步骤，请你帮他补充完整：
解： 如图，已知：
求证：______=_______
证明：
结论：角平分线的性质定理
注意：该定理证明线段相等的一种方法，也是引辅助线的一种常用方法．
练习：根据上面定理完成书本P21 思考．
三．例题学习
例1．如图，平分，于，于，为上一点，连接、．
求证：⑴ ⑵=
例2．如图所示，是的平分线，于，于，且，那么与相等吗？为什么？
【自我小结】
本节课我有哪些收获？我还有什么疑惑？
【自能训练】
1．如图，于，于，平分，则下列结论中正确的有（ ）
①；②；③
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．如图，在中，，平分，，连接，则下列结论错误的是（ ）
A．≌ B． C． D．
3．如上题图，在中，，，平分，于，且，则的周长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
4．如图，在中，，平分，已知，，则点到的距离为_______cm．
5．如图，平分，交延长线于，于，且．
求证：
6．如图，平分，于，于，连接交于．
求证：
7．已知，如图为的平分线，，点在上，于，于．
求证：
8．如图，已知，P为∠ABC平分线上的一点，且PE=PF，结合所学知识，你认为∠1，∠2有什么关系？并证明．
11．3．2 角平分线的判定
【学习目标】
1．掌握角平分线的判定定理；
2．能够运用判定定理证明两角相等．
【自能学习】
一、复习旧知——角平分线的性质定理
1．性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等．
2．几何语言：（注意：三个已知条件缺一不可）
∵，，
∴
二、探究新知——把性质定理反过来可得：“角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上”
1．请你自己设计出一道几何证明题，来证明上面的这个命题是否正确：
2．小帅已经做出了一些步骤，请你帮他补充完整：
解：如右图，过______做射线，
已知：，；并且_______=_______
求证：_____是的平分线
证明：
结论：角平分线的判定定理
注意：（1）该定理也是证明两角相等的一种方法；
（2）三角形的三条角平分线交于一点，这点是三角形的内心，到三边的距离相等．
三、例题学习
例1．如图，在四边形中，，平分交于，且，
求证：平分
例2．如图，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，且DE＝2cm，AB＝9cm，BC＝6cm，求△ABC的面积．
【自我小结】
本节课我有哪些收获？我还有什么疑惑？
【自能训练】
1．下面哪个点到三角形三边的距离相等（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点
C．三条高的交点 D．三角形内任意一点
2．如图，的两个外角平分线相交于点，则下面结论正确的是（ ）
A．不平分 B．平分 C．平分 D．
3．在中，，是的角平分线，若，，则点到的距离为　　　　　．
4．如图，的三边、、的长分别为20、30、40，其三条角平分线的交点
为，则 ．
5．的平分线上一点，到的距离为，则到的距离为　　　．
6．如图，在直线上求一点，使得点到射线和的距离相等．
7．如图，在中，，点为三条角平分线的交点，于，于，于，且，，，求的长．
8．如图，是内一点，在上，在上，且，与的面积相等．
求证：平分
9．如图，，于，于．
⑴求证：在的平分线上；
⑵若将⑴的条件“”和结论“在的平分线上”互换，成立吗？说明理由．
第11章 全等三角形复习
【复习目标】
1．形成知识网络；
2．熟练重点题型．
【自能复习】
一、自我建构
同学们，这一章学完了，你能够用图、表、网络等形式表示出本章的知识结构吗？请尝试一下！
本章知识结构图：
二、自我纠错
在这一章的学习过程中，我经常犯的错误是什么，我要在此记录以提醒自己！
【体验中考】
1．（2010四川凉山）如图所示，，，，结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．1个　　　　 B．2个　　　 　C．3个　　　　 　D．4个
第1题 第2题 第3题
2．（2010广西南宁）如图所示，在中，，平分，交AC于点D，且AD=3，BD=5，则点D到BC的距离是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2010四川巴中）如图所示，AB = AC ，要说明△ADC≌△AEB，需添加的条件不能是（ ）
A．∠B ＝∠C B． AD = AE
C．∠ADC＝∠AEB D． DC = BE
4．（2010广西柳州）如下图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD=3cm，则点D到AB的距离DE是（ ）
A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm
5．（2010 天津）如图，已知，，点A、D、B、F在一条直线上，要使△≌△，还需添加一个条件，这个条件可以是 ．
6．（2010 广西钦州）如图，在△ABC和△BAD中，BC = AD，请你再补充一个条件，使△ABC≌△BAD．你补充的条件是 （只填一个）．
7．(2010江苏苏州)如图，C是线段AB的中点，CD平分∠ACE，CE平分∠BCD，CD=CE．
(1)求证：△ACD≌△BCE； (2)若∠D=50°，求∠B的度数．
8．（2010湖北武汉）如图，B，F，C，E在同一条直线上，点A，D在直线BE的两侧，AB∥DE，AC∥DF，BF=CE．
求证：AC=DF
9．（2010江苏淮安）已知：如图，点C是线段AB的中点，CE=CD，∠ACD=∠BCE， 求证：AE=BD．
10．（2010湖南娄底）如图10，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结AE．BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．
求证：（1）FC=AD； （2）AB=BC+AD
11．（2010广西南宁）如图10，已知，，与相交于点，连接． （1）图中还有几对全等三角形，请你一一列举； （2）求证：．
几何就是研究图形在运动变换中的不变性质和不变量。 ——克莱因
为了理想，生命不应拒绝沧桑。——山柳
判天地之美，析万物之理。——庄子
读而未晓则思，思而未晓则读。——朱 熹
300
700
800
300
800
700
黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。——颜真卿
A
B
C
D
书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。—— 韩愈
纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。——陆游
立身以立学为先，立学以读书为本。——欧阳修
莫等闲，白了少年头，空悲切。——岳飞
书痴者文必工，艺痴者技必良。——蒲松龄
非学无以广才，非志无以成学。——诸葛亮
知之为知之，不知为不知，是知也。—— 孔子
没有时间，挤；学不进去，钻。 ——谢觉哉
读书是学习，摘抄是整理，写作是创造。——吴晗
一个人可以无师自通，却不可无书自通。——闻一多
智者阅读群书，亦阅历人生。——林语堂
一本书像一艘船，带领我们从狭獈的地方，驶向生活的无限广阔的海洋。——凯勒
与其用华丽的外衣装饰自己，不如用知识武装自己。——马克思
勿以恶小而为之，勿以善小而不为——刘备《三国志》
F
第5题
A
C
D
B
E
F
第6题
路漫漫其修道远，吾将上下而求索——屈原
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