12.2第4课时　利用斜边、直角边判定直角三角形全等(HL) 2021--2022学年人教版八年级数学上册（word版含答案）

第4课时　利用斜边、直角边判定直角三角形全等(HL)
知识点1　用“HL”判定直角三角形全等
1.如图,OD⊥AB于点D,OP⊥AC于点P,且OD＝OP,则△AOD与△AOP全等的理由是(
)
A.SSS
B.ASA
C.SAS
D.HL
第1题图
第2题图
2.[教材P42例5改编]如图,在△ABC和△BAD中,已知∠C＝∠D＝90°,再添加一个条件,就可以用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△BAD,你添加的条件是　
　.?
3.如图,在△ABC中,M是BC的中点,ME⊥AB,MF⊥AC,垂足分别为E,F,ME＝MF.求证:△BEM≌△CFM.
知识点2　直角三角形全等的应用
4.如图,已知∠B＝∠D＝90°,BC＝CD,∠1＝40°,则∠2的度数为(
)
A.40°
B.50°
C.60°
D.75°
第4题图
第5题图
5.如图,小明和小芳以相同的速度同时分别从点A,B出发,小明沿AC行走,小芳沿BD行走,并且同时到达点C,D.若CB⊥AB,DA⊥AB,则CB　
　DA.(填“>”“<”或“＝”)?
6.如图,工人师傅制作了一个正方形窗架,把窗架立在墙上之前,在上面钉了两根等长的木条GF与GE,E,F分别是AD,BC的中点.
(1)G一定是AB的中点吗?说明理由.
(2)钉这两根木条的作用是什么?
7.如图,在△ABC中,AB＝AC,BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,BD和CE相交于点O,AO的延长线交BC于点F,则图中全等的直角三角形有(
)
A.3对
B.4对
C.5对
D.6对
第7题图
第8题图
8.如图,∠ADC＝∠ABC＝90°,AD＝AB,有下列结论:①DC＝BC;②AC⊥BD;③DE＝BE;④∠ACD＝∠ACB.其中正确结论的个数为(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
9.[教材P43练习第2题改编]如图所示,已知BE⊥AD,CF⊥AD,垂足分别为E,F,则在下列条件中选择一组,可以判定
Rt△ABE≌Rt△DCF的是
　.(填序号)?
①AB＝DC,∠B＝∠C;②AB＝DC,AB∥CD;
③AB＝DC,BE＝CF;④AB＝DF,BE＝CF.
10.如图,有两个长度相等的滑梯,左边滑梯BC的高度AC与右边滑梯EF水平方向的长度DF相等,则两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE有什么关系?
11.如图,AD,AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高,AD＝AF,AC＝AE.求证:BC＝BE.
12.如图,在△ABC和△DEF中,∠B＝∠E＝90°,BC＝EF,CM为△ABC的中线,FN为△DEF的中线,且CM＝FN.求证:△ABC≌△DEF.
13.在△ABC中,AB＝AC,DE是过点A的直线,BD⊥DE于点D,CE⊥DE于点E.
(1)如图1,若点B,C在DE的同侧,且AD＝CE.求证:AB⊥AC.
(2)如图2,若点B,C在DE的两侧,且AD＝CE,其他条件不变,AB与AC仍垂直吗?请说明理由.
第4课时　利用斜边、直角边判定直角三角形全等(HL)
知识点1　用“HL”判定直角三角形全等
1.如图,OD⊥AB于点D,OP⊥AC于点P,且OD＝OP,则△AOD与△AOP全等的理由是(
D
)
A.SSS
B.ASA
C.SAS
D.HL
第1题图
第2题图
2.[教材P42例5改编]如图,在△ABC和△BAD中,已知∠C＝∠D＝90°,再添加一个条件,就可以用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△BAD,你添加的条件是　AC＝BD(或AD＝BC)　.?
3.如图,在△ABC中,M是BC的中点,ME⊥AB,MF⊥AC,垂足分别为E,F,ME＝MF.求证:△BEM≌△CFM.
证明:∵M是BC的中点,∴BM＝CM.
∵ME⊥AB,MF⊥AC,∴∠BEM＝∠CFM＝90°.
在Rt△BEM和Rt△CFM中,
∴Rt△BEM≌Rt△CFM(HL).
知识点2　直角三角形全等的应用
4.如图,已知∠B＝∠D＝90°,BC＝CD,∠1＝40°,则∠2的度数为(
B
)
A.40°
B.50°
C.60°
D.75°
第4题图
第5题图
5.如图,小明和小芳以相同的速度同时分别从点A,B出发,小明沿AC行走,小芳沿BD行走,并且同时到达点C,D.若CB⊥AB,DA⊥AB,则CB　＝　DA.(填“>”“<”或“＝”)?
6.如图,工人师傅制作了一个正方形窗架,把窗架立在墙上之前,在上面钉了两根等长的木条GF与GE,E,F分别是AD,BC的中点.
(1)G一定是AB的中点吗?说明理由.
(2)钉这两根木条的作用是什么?
解:(1)G一定是AB的中点,
理由:在正方形ABCD中,AD＝BC,∠A＝∠B＝90°,
∵E,F分别是AD,BC的中点,∴AE＝BF.
在Rt△AEG和Rt△BFG中,
∴△AEG≌△BFG(HL),∴AG＝BG,
∴G一定是AB的中点.
(2)结合图形可知,利用三角形的稳定性,使窗架更稳固.
7.如图,在△ABC中,AB＝AC,BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,BD和CE相交于点O,AO的延长线交BC于点F,则图中全等的直角三角形有(
D
)
A.3对
B.4对
C.5对
D.6对
第7题图
第8题图
8.如图,∠ADC＝∠ABC＝90°,AD＝AB,有下列结论:①DC＝BC;②AC⊥BD;③DE＝BE;④∠ACD＝∠ACB.其中正确结论的个数为(
D
)
A.1
B.2
C.3
D.4
9.[教材P43练习第2题改编]如图所示,已知BE⊥AD,CF⊥AD,垂足分别为E,F,则在下列条件中选择一组,可以判定
Rt△ABE≌Rt△DCF的是　①②③　.(填序号)?
①AB＝DC,∠B＝∠C;②AB＝DC,AB∥CD;
③AB＝DC,BE＝CF;④AB＝DF,BE＝CF.
10.如图,有两个长度相等的滑梯,左边滑梯BC的高度AC与右边滑梯EF水平方向的长度DF相等,则两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE有什么关系?
解:∠ABC与∠DFE互余.
理由:在Rt△ABC和Rt△DEF中,
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL),
∴∠ABC＝∠DEF.
又∵∠DEF＋∠DFE＝90°,
∴∠ABC＋∠DFE＝90°,
即两个滑梯的倾斜角∠ABC与∠DFE互余.
11.如图,AD,AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高,AD＝AF,AC＝AE.求证:BC＝BE.
证明:∵AD,AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高,且AD＝AF,AC＝AE,
∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL),∴CD＝EF.
∵AD＝AF,AB＝AB,
∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL),
∴BD＝BF,∴BD－CD＝BF－EF,即BC＝BE.
12.如图,在△ABC和△DEF中,∠B＝∠E＝90°,BC＝EF,CM为△ABC的中线,FN为△DEF的中线,且CM＝FN.求证:△ABC≌△DEF.
证明:在Rt△BCM和Rt△EFN中,
∴Rt△BCM≌Rt△EFN(HL),∴BM＝EN.
∵CM为△ABC的中线,FN为△DEF的中线,∴AB＝DE.
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SAS).
13.在△ABC中,AB＝AC,DE是过点A的直线,BD⊥DE于点D,CE⊥DE于点E.
(1)如图1,若点B,C在DE的同侧,且AD＝CE.求证:AB⊥AC.
(2)如图2,若点B,C在DE的两侧,且AD＝CE,其他条件不变,AB与AC仍垂直吗?请说明理由.
解:(1)∵BD⊥DE,CE⊥DE,
∴∠ADB＝∠AEC＝90°.
易证Rt△ABD≌Rt△CAE,∴∠DAB＝∠ECA.
∵∠ECA＋∠EAC＝90°,∴∠DAB＋∠EAC＝90°,
∴∠BAC＝180°－(∠DAB＋∠EAC)＝90°,
∴AB⊥AC.
(2)AB⊥AC.
理由:易证Rt△ABD≌Rt△CAE,∴∠DAB＝∠ECA.
∵∠CAE＋∠ECA＝90°,∴∠CAE＋∠DAB＝90°,
即∠BAC＝90°,∴AB⊥AC.