第21讲 因式分解讲义2021-2022学年八年级数学人教版上册（word版无答案）
文档属性
| 名称 | 第21讲 因式分解讲义2021-2022学年八年级数学人教版上册（word版无答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 285.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-07-20 11:34:14 | ||
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文档简介
第21讲 因式分解
知识导航
把一个多项式在一个范围内（如有理数范围内分解，即所有项均为有理数）化为几个最简的整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫作分解因式.
基本方法有：①提公因式，②公式法，③分组分解法，④十字相乘.
常见的分解技巧有：①主元法，②换元法，③拆添法，④双十字相乘法.
【板块一】因式分解的基本方法
题型一 提公因式法
【例1】分解因式
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6).
题型二 公式法
（一）平方公式法
【例2】分解因式：
(1)； (2)；
(3)； (4).
（二）完全平方公式：；
【例3】分解因式：
(1)； (2).
（三）立方公式
立方和、差公式：；
完全立方公式：；；
.
【例4】分解因式：
(1) ； (2).
题型三 分组分解法
（一）分组后可提公式
方法技巧：①将原式适当分组；②每组有公因式可提.
一位高明的棋手，在下棋时绝不会只看第一步，同样，在进行分组分解的时候，不仅要看到第二步，而且要看到第三步.
【例5】分解因式：
(1)； (2).
（二）分组后可用公因式子
技巧：分组后可用公式法
【例6】分解因式：
(1)； (2).
题型四 十字相乘法
十字相乘法：先看一个乘法公式.利用这个乘法公式我们可以得到分解形如的二次三项式的方法：如果我们可以找到两个数，使得常数项为两者的积，同时一次项为两者的和，也即，,如下图：
， ，,
第一列的积为1×1=1为二次系数项；第二列的积为为常数项；列间的交叉成乘积为一次项系数.
那么我们就完成了对的因式分解：.
对于二次项系数不为1，则.
【例7】分解因式：
(1)； (2)； (3).
【例8】因式分解：
(1)； (2).
【例9】因式分解：
(1)； (2).
题型五 双十字相乘
【例10】分解因式：
(1) (2).
题型六 拆添项
【例11】因式分解：
(1)； (2).
针对练习1
1.分解因式：
(1) (2)
(3)； (4)
2.因式分解
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
3. 分解因式：
(1) (2)
4. 分解因式：
(1) (2)
5. 分解因式：
(1)； (2)
(3).
6. 分解因式：
(1)； (2)
7. 分解因式：
(1) (2)
8.
9. 分解因式：
(1)；
(2)；
(3).
10.
(1)； (2)；
(3) (4)
板块二 因式分解应用
题型一 求值
【例12】若x,y满足，求的值.
【练12】 已知，，求代数式的值.
题型二 巧算
【例13】计算：
【练13】计算：
(1)
(2) .
题型三 证明
【例14】证明：四个连续整数的乘积加1是整数的平方.
【练14】若是自然数，则是质数还是合数？给出你的证明.
题型四 判定三角形的形状
【例15】已知a,b,c是一个三角形的三边，判定的符号.
【练15】若a,b,c为△ABC的三边长，且，则△ABC按边分类，应是什么三角形？
题型五 整除性问题
【例16】求证：当为整数时，多项式一定能被8整除.
【练16】如果能被整除，则的值可能是（ ）
A.20 B.30 C.35 D.40
针对练习2
1. 已知，则= ____ .
2. 已知，，，求代数式的值.
3.已知三个数满足方程，求的值.
4．已知a，b，c，d为非负整数，且ac＋bd＋ad＋bc＝1997．求a＋b＋c＋d的值．
5．已知x＋y＝3，x2＋y2－xy＝4，求x4＋y4＋x3y＋xy3的值．
6．已知正数a，b，c满足ab＋a＋b＝bc＋b＋c＝ac＋a＋c＝3，求（a＋1）（b＋1）（c＋1）的值．
7．若x，y是整数，求证：（x＋y）（x＋2y）（x＋3y）（x＋4y）＋y4是完全平方数．
8．已知n为正整数，且n4－16n2＋100是质数，求n的值．
9．（1）已知a，b，c是△ABC的三边且满足a2－b2＋ac－bc＝0，请判断△ABC的形状；
（2）已知在△ABC中，三边长a，b，c满足等式a2－16b2－c2＋6ab＋10bc＝0．求证：a＋c＝2b；
（3）已知在△ABC中，三边长a，b，c满足a2＋b2＋c2－ab－bc－ca＝0．试探索△ABC的形状，并说明理由．
知识导航
把一个多项式在一个范围内（如有理数范围内分解，即所有项均为有理数）化为几个最简的整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫作分解因式.
基本方法有：①提公因式，②公式法，③分组分解法，④十字相乘.
常见的分解技巧有：①主元法，②换元法，③拆添法，④双十字相乘法.
【板块一】因式分解的基本方法
题型一 提公因式法
【例1】分解因式
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6).
题型二 公式法
（一）平方公式法
【例2】分解因式：
(1)； (2)；
(3)； (4).
（二）完全平方公式：；
【例3】分解因式：
(1)； (2).
（三）立方公式
立方和、差公式：；
完全立方公式：；；
.
【例4】分解因式：
(1) ； (2).
题型三 分组分解法
（一）分组后可提公式
方法技巧：①将原式适当分组；②每组有公因式可提.
一位高明的棋手，在下棋时绝不会只看第一步，同样，在进行分组分解的时候，不仅要看到第二步，而且要看到第三步.
【例5】分解因式：
(1)； (2).
（二）分组后可用公因式子
技巧：分组后可用公式法
【例6】分解因式：
(1)； (2).
题型四 十字相乘法
十字相乘法：先看一个乘法公式.利用这个乘法公式我们可以得到分解形如的二次三项式的方法：如果我们可以找到两个数，使得常数项为两者的积，同时一次项为两者的和，也即，,如下图：
， ，,
第一列的积为1×1=1为二次系数项；第二列的积为为常数项；列间的交叉成乘积为一次项系数.
那么我们就完成了对的因式分解：.
对于二次项系数不为1，则.
【例7】分解因式：
(1)； (2)； (3).
【例8】因式分解：
(1)； (2).
【例9】因式分解：
(1)； (2).
题型五 双十字相乘
【例10】分解因式：
(1) (2).
题型六 拆添项
【例11】因式分解：
(1)； (2).
针对练习1
1.分解因式：
(1) (2)
(3)； (4)
2.因式分解
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
3. 分解因式：
(1) (2)
4. 分解因式：
(1) (2)
5. 分解因式：
(1)； (2)
(3).
6. 分解因式：
(1)； (2)
7. 分解因式：
(1) (2)
8.
9. 分解因式：
(1)；
(2)；
(3).
10.
(1)； (2)；
(3) (4)
板块二 因式分解应用
题型一 求值
【例12】若x,y满足，求的值.
【练12】 已知，，求代数式的值.
题型二 巧算
【例13】计算：
【练13】计算：
(1)
(2) .
题型三 证明
【例14】证明：四个连续整数的乘积加1是整数的平方.
【练14】若是自然数，则是质数还是合数？给出你的证明.
题型四 判定三角形的形状
【例15】已知a,b,c是一个三角形的三边，判定的符号.
【练15】若a,b,c为△ABC的三边长，且，则△ABC按边分类，应是什么三角形？
题型五 整除性问题
【例16】求证：当为整数时，多项式一定能被8整除.
【练16】如果能被整除，则的值可能是（ ）
A.20 B.30 C.35 D.40
针对练习2
1. 已知，则= ____ .
2. 已知，，，求代数式的值.
3.已知三个数满足方程，求的值.
4．已知a，b，c，d为非负整数，且ac＋bd＋ad＋bc＝1997．求a＋b＋c＋d的值．
5．已知x＋y＝3，x2＋y2－xy＝4，求x4＋y4＋x3y＋xy3的值．
6．已知正数a，b，c满足ab＋a＋b＝bc＋b＋c＝ac＋a＋c＝3，求（a＋1）（b＋1）（c＋1）的值．
7．若x，y是整数，求证：（x＋y）（x＋2y）（x＋3y）（x＋4y）＋y4是完全平方数．
8．已知n为正整数，且n4－16n2＋100是质数，求n的值．
9．（1）已知a，b，c是△ABC的三边且满足a2－b2＋ac－bc＝0，请判断△ABC的形状；
（2）已知在△ABC中，三边长a，b，c满足等式a2－16b2－c2＋6ab＋10bc＝0．求证：a＋c＝2b；
（3）已知在△ABC中，三边长a，b，c满足a2＋b2＋c2－ab－bc－ca＝0．试探索△ABC的形状，并说明理由．