2021-2022学年北师大版九年级数学上册1.2.4矩形的性质与判定同步练习（Word版，附答案解析）

1.2.4矩形的性质与判定同步练习
一．选择题（共5小题）
1．如图．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点P为斜边AB上一动点．过点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，连接EF．则线段EF的最小值为（　　）
A．1.2
B．2.4
C．2.5
D．4.8
2．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（　　）
A．3
B．
C．
D．4
第1题
第2题
3．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为（　　）
A．8
B．9
C．10
D．12
4．如图，四边形ABCD，∠D＝∠C＝90°，CD＝2，点E在边AB，且AD＝AE，BE＝BC，则AE?BE的值为（　　）
A．
B．1
C．
D．
第3题
第4题
二．填空题（共3小题）
5．如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和1cm/s，则最快　
　s后，四边ABPQ成为矩形．
6．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AB＝4，∠BAD＝60°，则EF的最小值为
　
　．
第5题
第6题
三．解答题（共14小题）
7．如图，在?ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）已知∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分线，若AD＝3，求DC的长度．
8．如图所示，点O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD，EB∥AC，连接OE，交BC于F
（1）求证：OE＝CB；
（2）如果OC：OB＝1：2，OE＝2，求菱形ABCD的面积．
9．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形ADFE是矩形；
（2）连接OF，若AD＝6，EC＝4，∠ABF＝60°，求OF的长度．
10．已知：如图，在?ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E．
（1）求证：四边形ACED是矩形；
（2）连接AE，若AB＝2BC，求证：△ABE是等边三角形．
11．如图，在平行四边形ABCD中，P是AB上一点（不与点A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD于点Q，连接CQ，∠BPC＝∠AQP．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）当AP＝3，AD＝9时，求AQ和CQ的长．
12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AC＝10，∠ABC＝60°，则矩形AEFD的面积是　
　．
13．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AD的中点，点F、G在CD边上，EF⊥CD，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若FG＝5，EF＝4，求CG的长．
14．如图，点E是平行四边形ABCD对角线AC上一点，点F在BE延长线上，且EF＝BE，EF与CD交于点G．
（1）求证：DF∥AC；
（2）连接DE、CF，若2AB＝BF，若G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是矩形；
（3）在（2）的条件下，若四边形CFDE是正方形，且BC＝80，求AB的长．
15．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点B作BE∥AC，且，连接EC、ED．
（1）求证：四边形BECO是矩形；
（2）若AC＝2，∠ABC＝60°，求DE的长．
16．如图，已知矩形ABCD，AD＝8，CD＝20，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．
（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；
（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；
（3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由．
17．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，E、P分别在AD、BC上，且DE＝BP＝1
（1）判断△BEC的形状，并说明理由；
（2）求证：四边形EFPH是矩形．
18．如图：在△ABC中，CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，直线EF分别交AB、AC于M、N．
（1）求证：四边形AECF为矩形；
（2）试猜想MN与BC的关系，并证明你的猜想；
（3）如果四边形AECF是菱形，试判断△ABC的形状，直接写出结果，不用说明理由．
19．阅读下面材料：
在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？
小敏在思考问题是，有如下思路：连接AC．
结合小敏的思路作答
（1）若只改变图1中四边形ABCD的形状（如图2），则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由；参考小敏思考问题方法解决以下问题：
（2）如图2，在（1）的条件下，若连接AC，BD．
①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明；
②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论．
1.2.4矩形的性质与判定同步练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．如图．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点P为斜边AB上一动点．过点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，连接EF．则线段EF的最小值为（　　）
A．1.2
B．2.4
C．2.5
D．4.8
【解答】解：连接PC，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°，
∴四边形ECFP是矩形，
∴EF＝PC，
∴当PC最小时，EF也最小，
即当CP⊥AB时，PC最小，
∵AC＝4，BC＝3，
∴AB＝5，
∴PC的最小值为：＝2.4．
∴线段EF长的最小值为2.4．
故选：B．
2．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（　　）
A．3
B．
C．
D．4
【解答】解：∵四边形COED是矩形，
∴CE＝OD，
∵点D的坐标是（1，3），
∴OD＝＝，
∴CE＝，
故选：C．
3．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为（　　）
A．8
B．9
C．10
D．12
【解答】解：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED为平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝6，OB＝OD＝BD＝8，
∴∠DOC＝90°，CD＝＝＝10，
∴平行四边形OCED为矩形，
∴OE＝CD＝10，
故选：C．
4．如图，四边形ABCD，∠D＝∠C＝90°，CD＝2，点E在边AB，且AD＝AE，BE＝BC，则AE?BE的值为（　　）
A．
B．1
C．
D．
【解答】解：过A作AF⊥BC于F，
∵∠D＝∠C＝90°，
∴四边形AFCD是矩形，
∴AF＝CD＝2，CF＝AD，
设AD＝AE＝x，BE＝BC＝y，
∴AB＝x+y，BF＝y﹣x，
∵AB2＝AF2+BF2，
∴（x+y）2＝（y﹣x）2+22，
∴xy＝1，
∴AE?BE＝1，
故选：B．
二．填空题（共3小题）
5．如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和1cm/s，则最快　5　s后，四边ABPQ成为矩形．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴∠A＝∠B＝90°，AD＝BC＝20cm，
设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，
∵四边形ABPQ是矩形
∴AQ＝BP
∴3x＝20﹣x
∴x＝5
故答案为：5
6．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AB＝4，∠BAD＝60°，则EF的最小值为
　　．
【解答】解：连接OP，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠CAB＝DAB＝30°，
∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，
∴∠EOF＝∠OEP＝∠OFP＝90°，
∴四边形OEPF是矩形，
∴EF＝OP，
∵当OP取最小值时，EF的值最小，
∴当OP⊥AB时，OP最小，
∵AB＝4，
∴OB＝AB＝2，OA＝AB＝2，
∴S△ABO＝OA?OB＝AB?OP，
∴OP＝＝，
∴EF的最小值为，
故答案为：．
三．解答题（共14小题）
7．如图，在?ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）已知∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分线，若AD＝3，求DC的长度．
【解答】证明（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴DC∥AB，DC＝AB
∵CF＝AE
∴DF＝BE且DC∥AB
∴四边形DFBE是平行四边形
又∵DE⊥AB
∴四边形DFBE是矩形；
（2）∵∠DAB＝60°，AD＝3，DE⊥AB
∴AE＝，DE＝AE＝
∵四边形DFBE是矩形
∴BF＝DE＝
∵AF平分∠DAB
∴∠FAB＝∠DAB＝30°，且BF⊥AB
∴AB＝BF＝
∴CD＝
8．如图所示，点O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD，EB∥AC，连接OE，交BC于F
（1）求证：OE＝CB；
（2）如果OC：OB＝1：2，OE＝2，求菱形ABCD的面积．
【解答】（1）证明：∵CE∥BD，EB∥AC，
∴四边形OBEC为平行四边形．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∴四边形OBEC为矩形，
∴OE＝CB．
（2）解：设OC＝x，则OB＝2x，
∴BC＝＝x．
∵BC＝OE＝2，
∴x＝2，
∴OC＝2，OB＝4，
∴S菱形ABCD＝AC?BD＝2OC?OB＝16．
9．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形ADFE是矩形；
（2）连接OF，若AD＝6，EC＝4，∠ABF＝60°，求OF的长度．
【解答】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，
∴AB∥DC且AB＝DC，
∴∠ABE＝∠DCF，
在△ABE和△DCF中，，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴AE＝DF，∠AEB＝∠DFC＝90°，
∴AE∥DF，
∴四边形ADFE是矩形；
（2）解：由（1）知：四边形ADFE是矩形，
∴EF＝AD＝6，
∵EC＝4，
∴BE＝CF＝2，
∴BF＝8，
Rt△ABE中，∠ABE＝60°，
∴AB＝2BE＝4，
∴DF＝AE＝，
∴BD＝＝2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∴OF＝BD＝．
10．已知：如图，在?ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E．
（1）求证：四边形ACED是矩形；
（2）连接AE，若AB＝2BC，求证：△ABE是等边三角形．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB＝90°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°，
又∵∠ACE＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ACE＝∠DAC＝∠DEC＝90°，
∴四边形ACED是矩形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝DC，
由（1）得：四边形ACED是矩形，
∴AD＝CE，AE＝DC，
∴CE＝BC，AE＝AB，
∵AB＝2BC，
∴AE＝AB＝BE，
∴△ABE是等边三角形．
11．如图，在平行四边形ABCD中，P是AB上一点（不与点A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD于点Q，连接CQ，∠BPC＝∠AQP．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）当AP＝3，AD＝9时，求AQ和CQ的长．
【解答】（1）证明：∵∠BPQ＝∠BPC+∠CPQ＝∠A+∠AQP，∠BPC＝∠AQP，
∴∠CPQ＝∠A，
∵PQ⊥CP，
∴∠A＝∠CPQ＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠CPQ＝90°，
在Rt△CDQ和Rt△CPQ中，
，
∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ（HL），
∴DQ＝PQ，
设AQ＝x，则DQ＝PQ＝9﹣x，
在Rt△APQ中，AQ2+AP2＝PQ2，
∴x2+32＝（9﹣x）2，
解得：x＝4，
∴AQ的长是4．
设CD＝AB＝CP＝y，则PB＝y﹣3，在Rt△PCB中，根据勾股定理列方程，求出y＝15．
在Rt△CDQ中，CQ＝＝5．
12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AC＝10，∠ABC＝60°，则矩形AEFD的面积是　50　．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵CF＝BE，
∴BC＝EF，
∴AD∥EF，AD＝EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴平行四边形AEFD是矩形；
（2）解：∵AB＝CD，BE＝CF，∠AEB＝∠DFC＝90°，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF
（HL），
∴矩形AEFD的面积＝菱形ABCD的面积，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵AC＝10，
∴AE＝AC＝5，AB＝10，BO＝5，
∵AD＝EF＝10，
∴矩形AEFD的面积＝菱形ABCD的面积＝×10×10＝50，
故答案为：50．
13．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AD的中点，点F、G在CD边上，EF⊥CD，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若FG＝5，EF＝4，求CG的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，
∵E是AD的中点，
∴OE是△ACD的中位线，
∴OE∥CD，
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥CD，
∴∠EFG＝90°，
∴平行四边形OEFG是矩形；
（2）解：由（1）得：四边形OEFG是矩形，
∴OE＝FG＝5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，
∵E是AD的中点，
∴OE＝AD＝DE＝5，CD＝AD＝2OE＝10，
在Rt△DEF中，DF＝＝＝3，
∴CG＝CD﹣FG﹣DF＝10﹣5﹣3＝2．
14．如图，点E是平行四边形ABCD对角线AC上一点，点F在BE延长线上，且EF＝BE，EF与CD交于点G．
（1）求证：DF∥AC；
（2）连接DE、CF，若2AB＝BF，若G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是矩形；
（3）在（2）的条件下，若四边形CFDE是正方形，且BC＝80，求AB的长．
【解答】（1）证明：连接BD，交AC于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，
∵BE＝EF，
∴OE是△BDF的中位线，
∴OE∥DF，
即DF∥AC；
（2）证明：如图所示：
由（1）得：DF∥AC，
∴∠DFG＝∠CEG，∠GDF＝∠GCE，
∵G是CD的中点，
∴DG＝CG，
在△DFG和△CEG中，
，
∴△DFG≌△CEG（AAS），
∴FG＝EG，
∴四边形CFDE是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∵2AB＝BF，
∴2CD＝BF，
又∵EF＝BE，
∴CD＝EF，
∴平行四边形CFDE是矩形；
（3）解：设AB＝2a，则BF＝4a，BE＝EF＝CD＝2a，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝80，AB∥CD，
∵四边形CFDE是正方形，
∴∠DEC＝90°，CD⊥EF，DG＝EG＝CD＝a，
∴∠AED＝90°，△DEG是等腰直角三角形，
∴DE＝DG＝a，
∵AB∥CD，CD⊥EF，
∴AB⊥BF，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE＝AB＝2a，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2＝DE2+AE2，
即802＝（a）2+（2）2，
解得：a＝8，
∴AB＝2a＝16．
15．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点B作BE∥AC，且，连接EC、ED．
（1）求证：四边形BECO是矩形；
（2）若AC＝2，∠ABC＝60°，求DE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BOC＝90°，OC＝OA＝AC，
∵BE＝AC，
∴BE＝OC，
∵BE∥AC，
∴四边形BECO是平行四边形，
∵∠BOC＝90°，
∴四边形BECO是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝BD，OC＝AC＝1，AB＝BC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC＝2，
在Rt△BOC中，由勾股定理得：OB＝＝＝，
∴BD＝2OB＝2，
由（1）得：四边形BECO是矩形，
∴BE＝OC＝1，∠DBE＝90°，
在Rt△DBE中，由勾股定理得：DE＝＝＝．
16．如图，已知矩形ABCD，AD＝8，CD＝20，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．
（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；
（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；
（3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由．
【解答】（1）证明：∵M、N、E分别是PD、PC、CD的中点，
∴ME是△PCD的中位线，NE是△PCD的中位线，
∴ME∥PC，EN∥PD，
∴四边形PMEN是平行四边形；
（2）解：当AP＝10时，四边形PMEN是菱形；理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝20，AD＝BC，
∵AP＝10，AB＝20，
∴BP＝10＝AP，
∴△PAD≌△PBC（SAS），
∴PD＝PC，
∵M、N、E分别是PD、PC、CD的中点，
∴，，
∴PM＝ME＝EN＝PN，
∴四边形PMEN是菱形；
（3）四边形PMEN有可能是矩形；理由如下：
若四边形PMEN是矩形，则∠DPC＝90°
设PA＝x，PB＝20﹣x，
由勾股定理得：DP2+CP2＝DC2，
即64+x2+64+（20﹣x）2＝202，
解得：x＝4或x＝16．
∴当AP＝4或AP＝16时，四边形PMEN是矩形．
17．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，E、P分别在AD、BC上，且DE＝BP＝1
（1）判断△BEC的形状，并说明理由；
（2）求证：四边形EFPH是矩形．
【解答】解：（1）△BEC是直角三角形：
理由是：
∵矩形ABCD，
∴∠ADC＝∠ABP＝90°，AD＝BC＝5，AB＝CD＝2，
由勾股定理得：CE＝，
同理BE＝2，
∴CE2+BE2＝5+20＝25，
∵BC2＝52＝25，
∴BE2+CE2＝BC2，
∴∠BEC＝90°，
∴△BEC是直角三角形．
（2）∵矩形ABCD，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵DE＝BP，
∴四边形DEBP是平行四边形，
∴BE∥DP，
∵AD＝BC，AD∥BC，DE＝BP，
∴AE＝CP，
∴四边形AECP是平行四边形，
∴AP∥CE，
∴四边形EFPH是平行四边形，
∵∠BEC＝90°，
∴平行四边形EFPH是矩形．
18．如图：在△ABC中，CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，直线EF分别交AB、AC于M、N．
（1）求证：四边形AECF为矩形；
（2）试猜想MN与BC的关系，并证明你的猜想；
（3）如果四边形AECF是菱形，试判断△ABC的形状，直接写出结果，不用说明理由．
【解答】（1）证明：∵AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°，
又∵CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，
∴∠BCE＝∠ACE，∠ACF＝∠DCF，
∴∠ACE+∠ACF＝（∠BCE+∠ACE+∠ACF+∠DCF）＝×180°＝90°，
∴三个角为直角的四边形AECF为矩形．
（2）结论：MN∥BC且MN＝BC．
证明：∵四边形AECF为矩形，
∴对角线相等且互相平分，
∴NE＝NC，
∴∠NEC＝∠ACE＝∠BCE，
∴MN∥BC，
又∵AN＝CN（矩形的对角线相等且互相平分），
∴N是AC的中点，
若M不是AB的中点，则可在AB取中点M1，连接M1N，
则M1N是△ABC的中位线，MN∥BC，
而MN∥BC，M1即为点M，
所以MN是△ABC的中位线（也可以用平行线等分线段定理，证明AM＝BM）
∴MN＝BC；
法二：延长MN至K，使NK＝MN，
因为对角线互相平分，
所以AMCK是平行四边形，KC∥MA，KC＝AM因为MN∥BC，
所以MBCK是平行四边形，MK＝BC，
所以MN＝BC
（3）解：△ABC是直角三角形（∠ACB＝90°）．
理由：∵四边形AECF是菱形，
∴AC⊥EF，
∵EF∥AC，
∴AC⊥CB，
∴∠ACB＝90°．即△ABC是直角三角形．
19．阅读下面材料：
在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？
小敏在思考问题是，有如下思路：连接AC．
结合小敏的思路作答
（1）若只改变图1中四边形ABCD的形状（如图2），则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由；参考小敏思考问题方法解决以下问题：
（2）如图2，在（1）的条件下，若连接AC，BD．
①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明；
②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论．
【解答】解：（1）是平行四边形，
证明：如图2，连接AC，
∵E是AB的中点，F是BC的中点，
∴EF∥AC，EF＝AC，
同理HG∥AC，HG＝AC，
综上可得：EF∥HG，EF＝HG，
故四边形EFGH是平行四边形；
（2）①AC＝BD．
理由如下：
由（1）知，四边形EFGH是平行四边形，且FG＝BD，HG＝AC，
∴当AC＝BD时，FG＝HG，
∴平行四边形EFGH是菱形，
②当AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形；
理由如下：
同（2）得：四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，GH∥AC，
∴GH⊥BD，
∵GF∥BD，
∴GH⊥GF，
∴∠HGF＝90°，
∴四边形EFGH为矩形．