2.2.2换底公式_教案-湘教版必修一

换底公式
【教学目标】
理解对数换底公式及其作用
【教学重点】
会用换底公式
【教学难点】
换底公式的证明
【教学过程】
一、引入新课
1．用对数式表示下列式中的x：
（1）＝7；（2）＝
解：（1）x＝7
（2）x＝＝（5－1）＝－5
问题1：怎样确定上述问题中x的值呢？
经过长期不懈的努力，人们编制出“对数表”，使用对数表可以得到相应x的保证一定精度的近似值。
人们已编制出两种对数表。一种是以10的底的叫做“常用对数表”。以10为底的对数叫做“常用对数”。
N记作
另一种叫做“自然对数表”这是以无理数＝2．71828……为底的。以为底的对数叫做“自然对数”。
N记作
问题2：没有以2或3为底的对数表，怎样求出相应的对数值呢？
我们知道使用科学计算也能进行计算。但是科学计算器也只能对常用对数和自然对数进行计算。
问题3：能不能将7．5转换成常用对数或自然对数呢？
2．换底公式
以7为例可以换成10为底的常用对数，方法如下：
x＝7　　即　　＝7
两端取常用对数，得＝，即x＝，
x＝，　　即　　7＝
你能将7用自然对数表示吗？（练习后交流）
一般地，对数换底公式为：
N＝（＞0，≠1，＞0，≠1，N＞0）
你能证明吗？（证明后交流、讨论）
3．简单应用
关注运算过程：
＝（换底公式）
＝（分数基本性质）
＝（对数运算法则）
＝（换底公式）
（2）关注恒等关系：
＝
当＝2时，表明：底数和真数同乘平方，对数值不变。
类似地，当取、－1．时，上述关系式意味着什么？请口答交流。
（请同学体会：有时掌握“过程性知识”，优于公式的死记硬背。运用概念解决问题可能更灵活、有更强的适应性）
（1）（对公式的分析）我们希望证明下式：
·＝N（＞0，≠1，＞0，≠1，N＞0）
对数式N什么意思？
令＝有＝N
②对数式什么意思？
令x＝有＝
③我们希望证明：
＝N即欲证＝N
（2）（证明）
设＝即＝N
令＝（实数x存在且唯一），代入上式
（）＝N即＝N成立
∴x ＝N成立，且＝N，X＝
故·N＝N
∵≠1，∴≠0
得到N＝
【教学反思】
1．换底公式能够在不同底数的对数之间进行转换。由于对数运算法则给出了底数相同的对数间关系，运用换底公式可以简化对数式的运算。为了复杂计算的需要人们编制了对数表，换底公式增强了对数表的适用范围。
2．换底公式的导出与证明所运用的思想方法对于启迪智慧提高数学修养能起到一定作用。数学公式繁多，不要死套公式，还应关注过程性知识灵活运用公式、法则，不仅增加知识的广泛适用性，同时更能抓住问题的本质，得到更深刻的理解。例如，可以运用换底公式推出公式：
＝
令=，转换成指数式＝。任意非零实数，有＝，据指数运算法则，有＝　故　＝，即　＝＝。
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