2.5.1几何函数增长快慢的比较_教案-湘教版必修一

几何函数增长快慢的比较
【教学目标】
（1）掌握几种常用函数增长快慢的比较方法
（2）熟悉几种常用函数增长快慢的一般规律
【教学重难点】
重点：函数增长快慢比较的常用途径；
难点：了解影响函数增长快慢的因素。
【教学方法】
合作交流与知识讲授相结合，通过学习熟悉的几种常见函数增长快慢的比较，体会比较方法。
【教学过程】
一、提出问题引入课题
观察函数在 [0，+∞）上的图象，说明在不同区间内，函数增长的快慢情况。在同一坐标中函数图象如右：
结论：若0＜x＜16则 若x＞16则
师：增函数的共同特点是函数值y随自变量x的增长而增长，但不同函数在同一区间内的增长快慢是否相同？
师生合作观察研究函数的增长快慢。
① x∈(0，16)时，的图象在图象上方可知增长较快
② 时，的图在图象下方，可知增长较快
二、问题引入课题，激发学习兴趣。
幂、指对函数增长快慢比较形成比较方法。
1．实例探究：
比较函数y=2x，y= x?，y = log2x的增长快慢。
方法：①作图，列表比较、验证
②应用二分法求2x = x?的根，即y = 2x与y = x?的交点横坐标。
2．规律总结
① 一般地，对于指数函数y=ax(a＞1)和幂函数y=xn(n＞0)，在区间上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有ax＞xn。
② 对于对数函数y=logax(a＞1)和幂函数y = xn(n＞0)在区间上，随着x的增大，logax增长得越来越慢。在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＜xn。
③ 在区间上，尽管函数y = ax(a＞1)，y = logax(a＞1)和y = xn(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上。随着x的增长，y = ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y = xn(n＞0)的增长速度，而y = logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢。因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就有logax＜xn＜ax。
师生合作：借助计算机作图，列表，进行探究
列表
x 0.2 0.6 1．0 1．4 1．8
y =2x 1．149 1．516 2 2．639 3．482
y =x? 0.04 0.36 1 1．96 3．24
y=log2x –2．322 –0.737 0 0.485 0.848
x 2．2 2．6 3．0 3．4 …
y=2x 4．595 6．063 8 10．556 …
y=x? 4．84 6．76 9 11．56 …
y=log2x 1．138 1．379 1．585 1．766 …
作图
结论
x∈R时log2x＜x?，且log2x＜2x。
进一步探究y = x?与y = 2x的增长快慢。
① 列表
x 0 1 2 3 4
y=2x 1 2 4 8 16
y=x? 0 1 4 9 16
x 5 6 7 8 …
y=2x 32 64 128 256 …
y=x? 25 36 49 64 …
② 作图
③ 结论x∈(0，2)时2x＞x?，x∈(2，4)时，2x＜x?，x∈时2x＞x?
由特殊到一般探究规律
巩固练习
在同一平面直角坐标系内作出下列函数的图象，并比较其的增长情况：
（1）y=0.1ex–100，x∈[1，10]；
（2）y=20lnx+100，x∈[1，10]；
（3）y=20x， x∈[1，10]。
三个函数图象如下：
由图象可以看到，函数（1）以“爆炸”式的速度增长；函数（2）增长缓慢，并渐渐趋于稳定；函数（3）以稳定的速率增加。进一步熟悉函数增长快慢的比较方法及步骤。
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