2.5.2形形色色的函数模型_教案-湘教版必修一

指数爆炸和指数衰减
【教学目标】
1．理解指数函数的概念
2．会作指数函数图象的草图（a>1）。
3．学会从函数图象中得到指数函数的性质，感悟数形结合的思想方法。
【教学重点】
结合图象研究函数的性质
【教学难点】
经过概括，领会函数的图象及性质
【教学过程】
一、复习与练习
1．考察幂。（1）当时，是一个怎样的数？用根式形式表示；（2）当时，表示什么含义，能给出它的大致范围吗？（3）任意取定一个实数x，实数是否唯一？
2．比较两个数的大小：
（1）与；（2）与。
二、引入新课
1．指数函数。
函数叫做指数函数，指数函数的定义域是全体实数。
请思考：（1）定义中为什么规定a＞0，且a≠1？
（2）a＞0时函数y=ax中，值y有可能是0或负数吗，为什么？
2．指数函数y=的图象。
（1）我们先考察a＝2时，的图象（能不能事先想象图象的大致情况和走向？用语言大致描述一下）。
列表（表1）
…… -3 -2 -1 0 1 2 3 ……
…… 0.125 0.25 0.5 1 2 4 8 ……
表中的数据是否支持你的想象？
作图（可利用屏幕展示，连同表1）
（这里画出的是在区间[-4，4]范围的函数图象，如拖动屏幕右下方滑尺中的n 可以改变图象上的点的数目）
（2）当a＝10时，作y=10x的图象（如果画在同一坐标系中，能否对两个函数图象的位置、走向、变化趋势，作出大致描述？）
列表（数据续在表1中，构成表2）
…… -3 -2 -1 0 1 2 3 ……
…… 0.125 0.25 0.5 1 2 4 8 ……
…… 0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 ……
作图（可利用屏幕，在同一坐标系中展示连同表2）
（3）图象的概括与比较。请回答：
①两个指数函数图象有什么共同特征？（底数大于1；图像位于X轴上方；经过（0，1）点；单调递增函数等。）
②哪个函数随x变大，递增速度更大（参照表2中数据）？同一个x值，一定有
＞成立吗，为什么？
（4）a＝5时，能描绘出y＝图象的大致情况吗？想象一下：和图象的大致情况。（此图这里略去，可利用超级画板现场画图，下图展示的是y=ax（a＞1）中参数a由小到大取不同值时，函数图象的状况与变化）
3．指数函数y=ax（a＞1）的性质
利用图象，我们可以得到哪些基本性质？（先口头交流；再阅读课本84页；最后教师一一列出进一步明确与强调。）
（1）图象总在x轴上方，是实数到正实数之间的一个映射。
即＞0恒成立。
（2）图象都过点（0，1）
即＝1
（3）a＞1时，函数在区间（－∞，＋∞）单调递增
即任意实数x1，x2，x1＜x2时，总有下式成立：
＜
特别地，有
①令x1=0，任意x2＞x1＝0
>＝＝1
②令x2＝0，任意x1 ＜x2＝0
＜＝＝1
4．简单应用
注意到，指数函数y＝（a＞1）是单调（递增）函数，这是一个实数x与正实数y之间的一种一一对应关系。我们以y＝为例，观察它的图象（屏幕展示）
当≠时，必有≠（即≠）
反过来，当≠时，必有≠
例1．求x
（1）＝16； （2）＝； （3）＝3； （4）=1
例2．求x的取值范围
（1）＞2；（2）＜；（3）＜1
例3．比较下列各组数间的大小：
（1）2．11．5与2．11．4；（2）与；
（3）x＞0时，与； （4）x＜0时，与。
例4．利用图象，估计x的取值范围
＝6
三、小结
1．“数形结合”是理解和研究函数性质的重要方法。函数的解析式表达了变量之间的相依关系，描述了“动点”运动变化的过程。图象从整体上给出了函数的直观形象，对于图象要以动态的观点来解读和考察。
2．通过取a的值为2．10．5等，来研究一般函数y=ax（a＞1）的性质，这是一个归纳、概括的活动。抽取它们共有的本质特征，是从特殊到一般的过程。这是一种重要的数学思想方法。
3．要学会从函数图象中获取函数性质的相关信息。
【作业布置】
在同一坐标系中作出下列函数图象：
（1）y=与y=－1；（2）y=与y=
（补充题可以利用变换法对图象进行平移，也允许采用列表描图的方法。）
4 / 6