2.3.1幂函数的概念_教案-湘教版必修一

幂函数的概念
【教学目标】
了解幂函数的概念
【教学重点】
1．掌握6个基本的幂函数
2．运用数形结合思想研究和解决问题
【教学难点】
对一般分数次幂函数的理解
【教学过程】
一、复习与练习
1．在同一坐标系中作下列函数图象：（保留备用）
（1）；（2）；（3）
2．上面函数中哪些存在反函数？求出反函数及图象。
二、引入新课
1．从现实生活背景引入幂函数
（1）雾是由小水滴形成的。小水滴为什么能在空气中长时间悬浮？涉及到雾滴（看成小球）的大小，由直径x来表示；涉及质量（体积），与成正比；涉及到空气的阻力（球表面积），与成正比。
（V=，S＝）经简化，有，，。它们都属于正整数次的幂函数。
（2）据万有引力定律，与地心距离为x的物体所受重力的大小与成反比，面积为1的矩形，宽度与长度x成反比。经简化，有，它们属于负整数次的幂函数。
综合（1）与（2），它们都属于整数次的幂函数。
（3）浮尘微粒在空气中无规则运动，扩散速度与扩散时间X的平方根成正比。经简化，有，属于分数次的幂函数。
2．幂函数的概念
底数是自变量x，指数是非零常数的函数，即称为幂函数。
3．（练习）下列函数中，哪些是幂函数？
（1）；（2）；（3）
（4）；（3） （6）
4．（练习）（1）在同一坐标系中作下列函数图象：
①；②；③
（2）将函数，当取1．2．3．-1．-2时，分别作出的这6个函数图象放在一起，回答下列问题：
①哪些是单调递增或递减函数，它们的指数有什么共同特征？
②哪些是偶函数或奇函数，它们的指数有什么共同特征？
③哪些图象不经过原点，它们的指数有什么共同特征？
5.（练习）观察图，写出曲线对应的函数解析式。
6．我们在范围内讨论幂函数，有如下好处：
（1）时，幂函数都有意义，给研究带来方便。
（2）对于奇函数或偶函数，由于图象的对称性，当时对问题有了清楚了解，不难推及到整个定义域中。
（3）当时，幂函数可以表示成如下形式
幂函数的性质可以归结为指数函数和对数函数性质的研究。
这里体现了这样一种思想：基本情况下把问题讨论清楚后再推及到一般。
7．关于有理指数幂情形的讨论，可以体现上述思想。
（1）指数可表示为（是非零自然数，为整数）规定时与互素可以避免歧义。以和为例。
（2）当时，可以作出上述两个函数的图象并了解它们相关基本性质。由于它们分别是偶函数和奇函数，因此可以补充得到在定义域中函数的完整图象。
小结
1．许多幂函数可以在现实生活中找到原型，说明了数学的现实来源。通过分析形成数学模型，体会从数学角度看问题和数学化的过程。
2．这6个幂函数代表了各种不同类型：正、负整数和分数指数；定义域；对称性；增减性；还涉及到“渐近线”。
3．由于指数为实数的幂函数，当时才能都有意义。把这种基本情形弄清楚后，可以推及到全体实数。幂函数可以用指数、对数函数来表示，在理论上指出了研究一般性幂函数性质的途径。
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