2013年全国高考理数真题试卷（大纲卷）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2013·大纲卷理）设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】解：因为集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，
所以a+b的值可能为：1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8，
所以M中元素只有：5，6，7，8．共4个．
故选B．
【分析】利用已知条件，直接求出a+b，利用集合元素互异求出M中元素的个数即可．
2．（2013·大纲卷理）=（ ）
A．﹣8 B．8 C．﹣8i D．8i
【答案】A
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：
故选A．
【分析】复数分子、分母同乘﹣8，利用1的立方虚根的性质（ ），化简即可．
3．（2013·大纲卷理）已知向量 =（λ+1，1）， =（λ+2，2），若（ + ）⊥（ ﹣ ），则λ=（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
【答案】B
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：∵ ， ．
∴ =（2λ+3，3）， ．
∵ ，
∴ =0，
∴﹣（2λ+3）﹣3=0，解得λ=﹣3．
故选B．
【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出．
4．（2013·大纲卷理）已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（ ）
A．（﹣1，1） B． C．（﹣1，0） D．
【答案】B
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：∵原函数的定义域为（﹣1，0），
∴﹣1＜2x+1＜0，解得﹣1＜x＜﹣ ．
∴则函数f（2x+1）的定义域为 ．
故选B．
【分析】原函数的定义域，即为2x+1的范围，解不等式组即可得解．
5．（2013·大纲卷理）函数f（x）=log2（1+ ）（x＞0）的反函数f﹣1（x）=（ ）
A． B．
C．2x﹣1（x∈R） D．2x﹣1（x＞0）
【答案】A
【知识点】互为反函数的两个函数之间的关系
【解析】【解答】解：设y=log2（1+ ），
把y看作常数，求出x：
1+ =2y，x= ，其中y＞0，
x，y互换，得到y=log2（1+ ）的反函数：y= ，
故选A．
【分析】把y看作常数，求出x：x= ，x，y互换，得到y=log2（1+ ）的反函数．注意反函数的定义域．
6．（2013·大纲卷理）已知数列{an}满足3an+1+an=0，a2=﹣ ，则{an}的前10项和等于（ ）
A．﹣6（1﹣3﹣10） B．
C．3（1﹣3﹣10） D．3（1+3﹣10）
【答案】C
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：∵3an+1+an=0
∴
∴数列{an}是以﹣ 为公比的等比数列
∵
∴a1=4
由等比数列的求和公式可得，S10= =3（1﹣3﹣10）
故选C
【分析】由已知可知，数列{an}是以﹣ 为公比的等比数列，结合已知 可求a1，然后代入等比数列的求和公式可求
7．（2013·大纲卷理）（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是（ ）
A．5 B．8 C．12 D．18
【答案】D
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：（x+1）3的展开式的通项为Tr+1=C3rxr
令r=2得到展开式中x2的系数是C32=3，
（1+y）4的展开式的通项为Tr+1=C4ryr
令r=2得到展开式中y2的系数是C42=6，
（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是：3×6=18，
故选D．
【分析】由题意知利用二项展开式的通项公式写出展开式的通项，令x的指数为2，写出出展开式中x2的系数，第二个因式y2的系数，即可得到结果．
8．（2013·大纲卷理）椭圆C： 的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线的斜率；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：由椭圆C： 可知其左顶点A1（﹣2，0），右顶点A2（2，0）．
设P（x0，y0）（x0≠±2），则 ，得 ．
∵ = ， = ，
∴ = = ，
∵ ，
∴ ，解得 ．
故选B．
【分析】由椭圆C： 可知其左顶点A1（﹣2，0），右顶点A2（2，0）．设P（x0，y0）（x0≠±2），代入椭圆方程可得 ．利用斜率计算公式可得 ，再利用已知给出的 的范围即可解出．
9．（2013·大纲卷理）若函数f（x）=x2+ax+ 是增函数，则a的取值范围是（ ）
A．[﹣1，0] B．[﹣1，∞] C．[0，3] D．[3，+∞]
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：∵ 在（ ，+∞）上是增函数，
故 ≥0在（ ，+∞）上恒成立，
即a≥ ﹣2x在（ ，+∞）上恒成立，
令h（x）= ﹣2x，
则h′（x）=﹣ ﹣2，
当x∈（ ，+∞）时，h′（x）＜0，则h（x）为减函数．
∴h（x）＜h（ ）=3
∴a≥3．
故选：D．
【分析】由函数 在（ ，+∞）上是增函数，可得 ≥0在（ ，+∞）上恒成立，进而可转化为a≥ ﹣2x在（ ，+∞）上恒成立，构造函数求出 ﹣2x在（ ，+∞）上的最值，可得a的取值范围．
10．（2013·大纲卷理）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】设AB=1，则AA1=2，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，
如下图所示：
则D（0，0，2），C1（1，0，0），B（1，1，2），C（1，0，2），
=（1，1，0），=（1，0，﹣2），=（1，0，0），
设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，则，取=（2，﹣2，1），
设CD与平面BDC1所成角为θ，则sinθ=，
故选A．
【分析】设AB=1，则AA1=2，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，CD与平面BDC1所成角为θ，
则sinθ=||，在空间坐标系下求出向量坐标，代入计算即可。
11．（2013·大纲卷理）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若 ，则k=（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由抛物线C：y2=8x得焦点（2，0），
由题意可知：斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），
代入抛物线方程，得到k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，△＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2）．
∴x1+x2=4+ ，x1x2=4．
∴y1+y2= ，y1y2=﹣16，
又 =0，
∴ =（x1+2，y1﹣2） （x2+2，y2﹣2）= =0
∴k=2．
故选：D．
【分析】斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），代入抛物线方程，利用 =（x1+2，y1﹣2） （x2+2，y2﹣2）=0，即可求出k的值．
12．（2013·大纲卷理）已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中错误的是（ ）
A．y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称
B．y=f（x）的图象关于x= 对称
C．f（x）的最大值为
D．f（x）既是奇函数，又是周期函数
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；二倍角的正弦公式；正弦函数的图象；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：
A、因为f（2π﹣x）+f（x）=cos（2π﹣x）sin2（2π﹣x）+cosxsin2x=﹣cosxsin2x+cosxsin2x=0，故y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称，A正确；
B、因为f（π﹣x）=cos（π﹣x）sin2（π﹣x）=cosxsin2x=f（x），故y=f（x）的图象关于x= 对称，故B正确；
C、f（x）=cosxsin2x=2sinxcos2x=2sinx（1﹣sin2x）=2sinx﹣2sin3x，令t=sinx∈[﹣1，1]，则y=2t﹣2t3，t∈[﹣1，1]，则y′=2﹣6t2，令y′＞0解得 ，故y=2t﹣2t3，在[ ]上增，在[ ]与[ ]上减，又y（﹣1）=0，y（ ）= ，故函数的最大值为 ，故C错误；
D、因为f（﹣x）+f（x）=﹣cosxsin2x+cosxsin2x=0，故是奇函数，又f（x+2π）=cos（2π+x）sin2（2π+x）=cosxsin2x，故2π是函数的周期，所以函数即是奇函数，又是周期函数，故D正确．
由于该题选择错误的，故选：C．
【分析】A、用中心对称的充要条件，直接验证f（2π﹣x）+f（x）=0是否成立即可判断其正误；
B、用轴对称的条件直接验证f（π﹣x）=f（x）成立与否即可判断其正误；
C、可将函数解析式换为f（x）=2sinx﹣2sin3x，再换元为y=2t﹣2t3，t∈[﹣1，1]，利用导数求出函数在区间上的最值即可判断正误；
D、可利用奇函数的定义与周期函数的定义直接证明．
二、填空题
13．（2013·大纲卷理）已知α是第三象限角，sinα=﹣ ，则cotα= ．
【答案】2
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由α是第三象限的角，得到cosα＜0，
又sinα=﹣ ，所以cosα=﹣ =﹣
则cotα= =2
故答案为：2
【分析】根据α是第三象限的角，得到cosα小于0，然后由sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，进而求出cotα的值．
14．（2013·大纲卷理）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种．（用数字作答）
【答案】480
【知识点】分步乘法计数原理；简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法：排列好甲、乙两人外的4人，有 中方法，
然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位，有 种方法，
所以共有： =480．
故答案为：480．
【分析】排列好甲、乙两人外的4人，然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位中即可．
15．（2016高二下·佛山期末）记不等式组 所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是 ．
【答案】[ ，4]
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：满足约束条件 的平面区域如图示：
因为y=a（x+1）过定点（﹣1，0）．
所以当y=a（x+1）过点B（0，4）时，得到a=4，
当y=a（x+1）过点A（1，1）时，对应a= ．
又因为直线y=a（x+1）与平面区域D有公共点．
所以 ≤a≤4．
故答案为：[ ，4]
【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件 的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入y=a（x+1）中，求出y=a（x+1）对应的a的端点值即可．
16．（2013·大纲卷理）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径， ，则球O的表面积等于 ．
【答案】16π
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】解：如图所示，设球O的半径为r，AB是公共弦，∠OCK是面面角
根据题意得OC= ，CK=
在△OCK中，OC2=OK2+CK2，即
∴r2=4
∴球O的表面积等于4πr2=16π
故答案为16π
【分析】正确作出图形，利用勾股定理，建立方程，即可求得结论．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2013·大纲卷理）等差数列{an}的前n项和为Sn．已知S3=a22，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项式．
【答案】解：设数列的公差为d
由 得，3
∴a2=0或a2=3
由题意可得，
∴
若a2=0，则可得d2=﹣2d2即d=0不符合题意
若a2=3，则可得（6﹣d）2=（3﹣d）（12+2d）
解可得d=0或d=2
∴an=3或an=2n﹣1
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的通项公式
【解析】【分析】由 ，结合等差数列的求和公式可求a2，然后由 ，结合等差数列的求和公式进而可求公差d，即可求解通项公式
18．（2013·大纲卷理）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．
（1）求B．
（2）若sinAsinC= ，求C．
【答案】（1）解：∵（a+b+c）（a﹣b+c）=（a+c）2﹣b2=ac，
∴a2+c2﹣b2=﹣ac，
∴cosB= =﹣ ，
又B为三角形的内角，
则B=120°；
（2）解：由（1）得：A+C=60°，∵sinAsinC= ，cos（A+C）= ，
∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC﹣sinAsinC+2sinAsinC=cos（A+C）+2sinAsinC= +2× = ，
∴A﹣C=30°或A﹣C=﹣30°，
则C=15°或C=45°．
【知识点】两角和与差的正弦公式；余弦定理
【解析】【分析】（1）已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，整理后得到关系式，利用余弦定理表示出cosB，将关系式代入求出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（2）由（1）得到A+C的度数，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（A﹣C），变形后将cos（A+C）及2sinAsinC的值代入求出cos（A﹣C）的值，利用特殊角的三角函数值求出A﹣C的值，与A+C的值联立即可求出C的度数．
19．（2013·大纲卷理）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是等边三角形．
（1）证明：PB⊥CD；
（2）求二面角A﹣PD﹣C的大小．
【答案】（1）证明：取BC的中点E，连接DE，可得四边形ABED是正方形
过点P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连接OA、OB、OD、OE
∵△PAB与△PAD都是等边三角形，∴PA=PB=PD，可得OA=OB=OD
因此，O是正方形ABED的对角线的交点，可得OE⊥OB
∵PO⊥平面ABCD，得直线OB是直线PB在内的射影，∴OE⊥PB
∵△BCD中，E、O分别为BC、BD的中点，∴OE∥CD，可得PB⊥CD；
（2）解：由（1）知CD⊥PO，CD⊥PB
∵PO、PB是平面PBD内的相交直线，∴CD⊥平面PBD
∵PD 平面PBD，∴CD⊥PD
取PD的中点F，PC的中点G，连接FG，
则FG为△PCD有中位线，∴FG∥CD，可得FG⊥PD
连接AF，由△PAD是等边三角形可得AF⊥PD，∴∠AFG为二面角A﹣PD﹣C的平面角
连接AG、EG，则EG∥PB
∵PB⊥OE，∴EG⊥OE，
设AB=2，则AE=2 ，EG= PB=1，故AG= =3
在△AFG中，FG= CD= ，AF= ，AG=3
∴cos∠AFG= =﹣ ，得∠AFG=π﹣arccos ，
即二面角A﹣PD﹣C的平面角大小是π﹣arccos ．
【知识点】直线与平面垂直的性质；共面向量定理
【解析】【分析】（1）取BC的中点E，连接DE，过点P作PO⊥平面ABCD于O，连接OA、OB、OD、OE．可证出四边形ABED是正方形，且O为正方形ABED的中心．因此OE⊥OB，结合三垂线定理，证出OE⊥PB，而OE是△BCD的中位线，可得OE∥CD，因此PB⊥CD；（2）由（1）的结论，证出CD⊥平面PBD，从而得到CD⊥PD．取PD的中点F，PC的中点G，连接FG，可得FG∥CD，所以FG⊥PD．连接AF，可得AF⊥PD，因此∠AFG为二面角A﹣PD﹣C的平面角，连接AG、EG，则EG∥PB，可得EG⊥OE．设AB=2，可求出AE、EG、AG、AF和FG的长，最后在△AFG中利用余弦定理，算出∠AFG=π﹣arccos ，即得二面角A﹣PD﹣C的平面角大小．
20．（2013·大纲卷理）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为 ，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．
（1）求第4局甲当裁判的概率；
（2）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．
【答案】（1）解：令A1表示第2局结果为甲获胜．A2表示第3局甲参加比赛时，结果为甲负．A表示第4局甲当裁判．
则A=A1 A2，P（A）=P（A1 A2）=P（A1）P（A2）= ；
（2）解：X的所有可能值为0，1，2．令A3表示第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜．
B1表示第1局结果为乙获胜，B2表示第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜，B3表示第3局乙参加比赛时，结果为乙负，
则P（X=0）=P（B1B2 ）=P（B1）P（B2）P（ ）= ．
P（X=2）=P（ B3）=P（ ）P（B3）= ．
P（X=1）=1﹣P（X=0）﹣P（X=2）= ．
从而EX=0× +1× +2× = ．
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）令A1表示第2局结果为甲获胜，A2表示第3局甲参加比赛时，结果为甲负，A表示第4局甲当裁判，分析其可能情况，每局比赛的结果相互独立且互斥，利用独立事件、互斥事件的概率求解即可．（2）X的所有可能值为0，1，2．分别求出X取每一个值的概率，列出分布列后求出期望值即可．
21．（2013·大纲卷理）已知双曲线C： =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为 ．
（1）求a，b；
（2）设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF1|=|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．
【答案】（1）解：由题设知 =3，即 =9，故b2=8a2
所以C的方程为8x2﹣y2=8a2
将y=2代入上式，并求得x=± ，
由题设知，2 = ，解得a2=1
所以a=1，b=2
（2）解：由（1）知，F1（﹣3，0），F2（3，0），C的方程为8x2﹣y2=8 ①
由题意，可设l的方程为y=k（x﹣3），|k|＜2 代入①并化简得（k2﹣8）x2﹣6k2x+9k2+8=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1≤﹣1，x2≥1，x1+x2= ， ，于是
|AF1|= =﹣（3x1+1），
|BF1|= =3x2+1，
|AF1|=|BF1|得﹣（3x1+1）=3x2+1，即
故 = ，解得 ，从而 =﹣
由于|AF2|= =1﹣3x1，
|BF2|= =3x2﹣1，
故|AB|=|AF2|﹣|BF2|=2﹣3（x1+x2）=4，|AF2||BF2|=3（x1+x2）﹣9x1x2﹣1=16
因而|AF2||BF2|=|AB|2，所以|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）由题设，可由离心率为3得到参数a，b的关系，将双曲线的方程用参数a表示出来，再由直线 建立方程求出参数a即可得到双曲线的方程；（2）由（1）的方程求出两焦点坐标，设出直线l的方程设A（x1，y1），B（x2，y2），将其与双曲线C的方程联立，得出x1+x2= ， ，再利用|AF1|=|BF1|建立关于A，B坐标的方程，得出两点横坐标的关系 ，由此方程求出k的值，得出直线的方程，从而可求得：|AF2|、|AB|、|BF2|，再利用等比数列的性质进行判断即可证明出结论．
22．（2013·大纲卷理）已知函数
．
（1）若x≥0时，f（x）≤0，求λ的最小值；
（2）设数列{an}的通项an=1+ ．
【答案】（1）解：由已知，f（0）=0，
f′（x）= = ，
∴f′（0）=0
欲使x≥0时，f（x）≤0恒成立，则f（x）在（0，+∞）上必为减函数，即在（0，+∞）上f′（x）＜0恒成立，
当λ≤0时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，为增函数，故不合题意，
若0＜λ＜ 时，由f′（x）＞0解得x＜ ，则当0＜x＜ ，f′（x）＞0，所以当0＜x＜ 时，f（x）＞0，此时不合题意，
若λ≥ ，则当x＞0时，f′（x）＜0恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上必为减函数，所以当x＞0时，f（x）＜0
恒成立，
综上，符合题意的λ的取值范围是λ≥ ，即λ的最小值为
（2）解：令λ= ，由（I）知，当x＞0时，f（x）＜0，即
取x= ，则
于是a2n﹣an+ = + +…+ +
=
=
=
= ＞ =ln2n﹣lnn=ln2
所以
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；数列的求和；数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）由于已知函数的最大值是0，故可先求出函数的导数，研究其单调性，确定出函数的最大值，利用最大值小于等于0求出参数λ的取值范围，即可求得其最小值；（2）根据（1）的证明，可取λ=
，由于x＞0时，f（x）＜0得出
，分析发现，若取x=
，则可得出
，以此为依据，利用放缩法，即可得到结论
1 / 12013年全国高考理数真题试卷（大纲卷）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2013·大纲卷理）设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2013·大纲卷理）=（ ）
A．﹣8 B．8 C．﹣8i D．8i
3．（2013·大纲卷理）已知向量 =（λ+1，1）， =（λ+2，2），若（ + ）⊥（ ﹣ ），则λ=（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
4．（2013·大纲卷理）已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（ ）
A．（﹣1，1） B． C．（﹣1，0） D．
5．（2013·大纲卷理）函数f（x）=log2（1+ ）（x＞0）的反函数f﹣1（x）=（ ）
A． B．
C．2x﹣1（x∈R） D．2x﹣1（x＞0）
6．（2013·大纲卷理）已知数列{an}满足3an+1+an=0，a2=﹣ ，则{an}的前10项和等于（ ）
A．﹣6（1﹣3﹣10） B．
C．3（1﹣3﹣10） D．3（1+3﹣10）
7．（2013·大纲卷理）（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是（ ）
A．5 B．8 C．12 D．18
8．（2013·大纲卷理）椭圆C： 的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2013·大纲卷理）若函数f（x）=x2+ax+ 是增函数，则a的取值范围是（ ）
A．[﹣1，0] B．[﹣1，∞] C．[0，3] D．[3，+∞]
10．（2013·大纲卷理）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（ ）
A． B． C． D．
11．（2013·大纲卷理）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若 ，则k=（ ）
A． B． C． D．2
12．（2013·大纲卷理）已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中错误的是（ ）
A．y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称
B．y=f（x）的图象关于x= 对称
C．f（x）的最大值为
D．f（x）既是奇函数，又是周期函数
二、填空题
13．（2013·大纲卷理）已知α是第三象限角，sinα=﹣ ，则cotα= ．
14．（2013·大纲卷理）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种．（用数字作答）
15．（2016高二下·佛山期末）记不等式组 所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是 ．
16．（2013·大纲卷理）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径， ，则球O的表面积等于 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2013·大纲卷理）等差数列{an}的前n项和为Sn．已知S3=a22，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项式．
18．（2013·大纲卷理）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．
（1）求B．
（2）若sinAsinC= ，求C．
19．（2013·大纲卷理）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是等边三角形．
（1）证明：PB⊥CD；
（2）求二面角A﹣PD﹣C的大小．
20．（2013·大纲卷理）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为 ，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．
（1）求第4局甲当裁判的概率；
（2）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．
21．（2013·大纲卷理）已知双曲线C： =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为 ．
（1）求a，b；
（2）设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF1|=|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．
22．（2013·大纲卷理）已知函数
．
（1）若x≥0时，f（x）≤0，求λ的最小值；
（2）设数列{an}的通项an=1+ ．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】解：因为集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，
所以a+b的值可能为：1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8，
所以M中元素只有：5，6，7，8．共4个．
故选B．
【分析】利用已知条件，直接求出a+b，利用集合元素互异求出M中元素的个数即可．
2．【答案】A
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：
故选A．
【分析】复数分子、分母同乘﹣8，利用1的立方虚根的性质（ ），化简即可．
3．【答案】B
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：∵ ， ．
∴ =（2λ+3，3）， ．
∵ ，
∴ =0，
∴﹣（2λ+3）﹣3=0，解得λ=﹣3．
故选B．
【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出．
4．【答案】B
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：∵原函数的定义域为（﹣1，0），
∴﹣1＜2x+1＜0，解得﹣1＜x＜﹣ ．
∴则函数f（2x+1）的定义域为 ．
故选B．
【分析】原函数的定义域，即为2x+1的范围，解不等式组即可得解．
5．【答案】A
【知识点】互为反函数的两个函数之间的关系
【解析】【解答】解：设y=log2（1+ ），
把y看作常数，求出x：
1+ =2y，x= ，其中y＞0，
x，y互换，得到y=log2（1+ ）的反函数：y= ，
故选A．
【分析】把y看作常数，求出x：x= ，x，y互换，得到y=log2（1+ ）的反函数．注意反函数的定义域．
6．【答案】C
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：∵3an+1+an=0
∴
∴数列{an}是以﹣ 为公比的等比数列
∵
∴a1=4
由等比数列的求和公式可得，S10= =3（1﹣3﹣10）
故选C
【分析】由已知可知，数列{an}是以﹣ 为公比的等比数列，结合已知 可求a1，然后代入等比数列的求和公式可求
7．【答案】D
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：（x+1）3的展开式的通项为Tr+1=C3rxr
令r=2得到展开式中x2的系数是C32=3，
（1+y）4的展开式的通项为Tr+1=C4ryr
令r=2得到展开式中y2的系数是C42=6，
（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是：3×6=18，
故选D．
【分析】由题意知利用二项展开式的通项公式写出展开式的通项，令x的指数为2，写出出展开式中x2的系数，第二个因式y2的系数，即可得到结果．
8．【答案】B
【知识点】直线的斜率；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：由椭圆C： 可知其左顶点A1（﹣2，0），右顶点A2（2，0）．
设P（x0，y0）（x0≠±2），则 ，得 ．
∵ = ， = ，
∴ = = ，
∵ ，
∴ ，解得 ．
故选B．
【分析】由椭圆C： 可知其左顶点A1（﹣2，0），右顶点A2（2，0）．设P（x0，y0）（x0≠±2），代入椭圆方程可得 ．利用斜率计算公式可得 ，再利用已知给出的 的范围即可解出．
9．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：∵ 在（ ，+∞）上是增函数，
故 ≥0在（ ，+∞）上恒成立，
即a≥ ﹣2x在（ ，+∞）上恒成立，
令h（x）= ﹣2x，
则h′（x）=﹣ ﹣2，
当x∈（ ，+∞）时，h′（x）＜0，则h（x）为减函数．
∴h（x）＜h（ ）=3
∴a≥3．
故选：D．
【分析】由函数 在（ ，+∞）上是增函数，可得 ≥0在（ ，+∞）上恒成立，进而可转化为a≥ ﹣2x在（ ，+∞）上恒成立，构造函数求出 ﹣2x在（ ，+∞）上的最值，可得a的取值范围．
10．【答案】A
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】设AB=1，则AA1=2，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，
如下图所示：
则D（0，0，2），C1（1，0，0），B（1，1，2），C（1，0，2），
=（1，1，0），=（1，0，﹣2），=（1，0，0），
设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，则，取=（2，﹣2，1），
设CD与平面BDC1所成角为θ，则sinθ=，
故选A．
【分析】设AB=1，则AA1=2，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，CD与平面BDC1所成角为θ，
则sinθ=||，在空间坐标系下求出向量坐标，代入计算即可。
11．【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由抛物线C：y2=8x得焦点（2，0），
由题意可知：斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），
代入抛物线方程，得到k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，△＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2）．
∴x1+x2=4+ ，x1x2=4．
∴y1+y2= ，y1y2=﹣16，
又 =0，
∴ =（x1+2，y1﹣2） （x2+2，y2﹣2）= =0
∴k=2．
故选：D．
【分析】斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），代入抛物线方程，利用 =（x1+2，y1﹣2） （x2+2，y2﹣2）=0，即可求出k的值．
12．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；二倍角的正弦公式；正弦函数的图象；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：
A、因为f（2π﹣x）+f（x）=cos（2π﹣x）sin2（2π﹣x）+cosxsin2x=﹣cosxsin2x+cosxsin2x=0，故y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称，A正确；
B、因为f（π﹣x）=cos（π﹣x）sin2（π﹣x）=cosxsin2x=f（x），故y=f（x）的图象关于x= 对称，故B正确；
C、f（x）=cosxsin2x=2sinxcos2x=2sinx（1﹣sin2x）=2sinx﹣2sin3x，令t=sinx∈[﹣1，1]，则y=2t﹣2t3，t∈[﹣1，1]，则y′=2﹣6t2，令y′＞0解得 ，故y=2t﹣2t3，在[ ]上增，在[ ]与[ ]上减，又y（﹣1）=0，y（ ）= ，故函数的最大值为 ，故C错误；
D、因为f（﹣x）+f（x）=﹣cosxsin2x+cosxsin2x=0，故是奇函数，又f（x+2π）=cos（2π+x）sin2（2π+x）=cosxsin2x，故2π是函数的周期，所以函数即是奇函数，又是周期函数，故D正确．
由于该题选择错误的，故选：C．
【分析】A、用中心对称的充要条件，直接验证f（2π﹣x）+f（x）=0是否成立即可判断其正误；
B、用轴对称的条件直接验证f（π﹣x）=f（x）成立与否即可判断其正误；
C、可将函数解析式换为f（x）=2sinx﹣2sin3x，再换元为y=2t﹣2t3，t∈[﹣1，1]，利用导数求出函数在区间上的最值即可判断正误；
D、可利用奇函数的定义与周期函数的定义直接证明．
13．【答案】2
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由α是第三象限的角，得到cosα＜0，
又sinα=﹣ ，所以cosα=﹣ =﹣
则cotα= =2
故答案为：2
【分析】根据α是第三象限的角，得到cosα小于0，然后由sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，进而求出cotα的值．
14．【答案】480
【知识点】分步乘法计数原理；简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法：排列好甲、乙两人外的4人，有 中方法，
然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位，有 种方法，
所以共有： =480．
故答案为：480．
【分析】排列好甲、乙两人外的4人，然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位中即可．
15．【答案】[ ，4]
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：满足约束条件 的平面区域如图示：
因为y=a（x+1）过定点（﹣1，0）．
所以当y=a（x+1）过点B（0，4）时，得到a=4，
当y=a（x+1）过点A（1，1）时，对应a= ．
又因为直线y=a（x+1）与平面区域D有公共点．
所以 ≤a≤4．
故答案为：[ ，4]
【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件 的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入y=a（x+1）中，求出y=a（x+1）对应的a的端点值即可．
16．【答案】16π
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】解：如图所示，设球O的半径为r，AB是公共弦，∠OCK是面面角
根据题意得OC= ，CK=
在△OCK中，OC2=OK2+CK2，即
∴r2=4
∴球O的表面积等于4πr2=16π
故答案为16π
【分析】正确作出图形，利用勾股定理，建立方程，即可求得结论．
17．【答案】解：设数列的公差为d
由 得，3
∴a2=0或a2=3
由题意可得，
∴
若a2=0，则可得d2=﹣2d2即d=0不符合题意
若a2=3，则可得（6﹣d）2=（3﹣d）（12+2d）
解可得d=0或d=2
∴an=3或an=2n﹣1
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的通项公式
【解析】【分析】由 ，结合等差数列的求和公式可求a2，然后由 ，结合等差数列的求和公式进而可求公差d，即可求解通项公式
18．【答案】（1）解：∵（a+b+c）（a﹣b+c）=（a+c）2﹣b2=ac，
∴a2+c2﹣b2=﹣ac，
∴cosB= =﹣ ，
又B为三角形的内角，
则B=120°；
（2）解：由（1）得：A+C=60°，∵sinAsinC= ，cos（A+C）= ，
∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC﹣sinAsinC+2sinAsinC=cos（A+C）+2sinAsinC= +2× = ，
∴A﹣C=30°或A﹣C=﹣30°，
则C=15°或C=45°．
【知识点】两角和与差的正弦公式；余弦定理
【解析】【分析】（1）已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，整理后得到关系式，利用余弦定理表示出cosB，将关系式代入求出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（2）由（1）得到A+C的度数，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（A﹣C），变形后将cos（A+C）及2sinAsinC的值代入求出cos（A﹣C）的值，利用特殊角的三角函数值求出A﹣C的值，与A+C的值联立即可求出C的度数．
19．【答案】（1）证明：取BC的中点E，连接DE，可得四边形ABED是正方形
过点P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连接OA、OB、OD、OE
∵△PAB与△PAD都是等边三角形，∴PA=PB=PD，可得OA=OB=OD
因此，O是正方形ABED的对角线的交点，可得OE⊥OB
∵PO⊥平面ABCD，得直线OB是直线PB在内的射影，∴OE⊥PB
∵△BCD中，E、O分别为BC、BD的中点，∴OE∥CD，可得PB⊥CD；
（2）解：由（1）知CD⊥PO，CD⊥PB
∵PO、PB是平面PBD内的相交直线，∴CD⊥平面PBD
∵PD 平面PBD，∴CD⊥PD
取PD的中点F，PC的中点G，连接FG，
则FG为△PCD有中位线，∴FG∥CD，可得FG⊥PD
连接AF，由△PAD是等边三角形可得AF⊥PD，∴∠AFG为二面角A﹣PD﹣C的平面角
连接AG、EG，则EG∥PB
∵PB⊥OE，∴EG⊥OE，
设AB=2，则AE=2 ，EG= PB=1，故AG= =3
在△AFG中，FG= CD= ，AF= ，AG=3
∴cos∠AFG= =﹣ ，得∠AFG=π﹣arccos ，
即二面角A﹣PD﹣C的平面角大小是π﹣arccos ．
【知识点】直线与平面垂直的性质；共面向量定理
【解析】【分析】（1）取BC的中点E，连接DE，过点P作PO⊥平面ABCD于O，连接OA、OB、OD、OE．可证出四边形ABED是正方形，且O为正方形ABED的中心．因此OE⊥OB，结合三垂线定理，证出OE⊥PB，而OE是△BCD的中位线，可得OE∥CD，因此PB⊥CD；（2）由（1）的结论，证出CD⊥平面PBD，从而得到CD⊥PD．取PD的中点F，PC的中点G，连接FG，可得FG∥CD，所以FG⊥PD．连接AF，可得AF⊥PD，因此∠AFG为二面角A﹣PD﹣C的平面角，连接AG、EG，则EG∥PB，可得EG⊥OE．设AB=2，可求出AE、EG、AG、AF和FG的长，最后在△AFG中利用余弦定理，算出∠AFG=π﹣arccos ，即得二面角A﹣PD﹣C的平面角大小．
20．【答案】（1）解：令A1表示第2局结果为甲获胜．A2表示第3局甲参加比赛时，结果为甲负．A表示第4局甲当裁判．
则A=A1 A2，P（A）=P（A1 A2）=P（A1）P（A2）= ；
（2）解：X的所有可能值为0，1，2．令A3表示第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜．
B1表示第1局结果为乙获胜，B2表示第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜，B3表示第3局乙参加比赛时，结果为乙负，
则P（X=0）=P（B1B2 ）=P（B1）P（B2）P（ ）= ．
P（X=2）=P（ B3）=P（ ）P（B3）= ．
P（X=1）=1﹣P（X=0）﹣P（X=2）= ．
从而EX=0× +1× +2× = ．
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）令A1表示第2局结果为甲获胜，A2表示第3局甲参加比赛时，结果为甲负，A表示第4局甲当裁判，分析其可能情况，每局比赛的结果相互独立且互斥，利用独立事件、互斥事件的概率求解即可．（2）X的所有可能值为0，1，2．分别求出X取每一个值的概率，列出分布列后求出期望值即可．
21．【答案】（1）解：由题设知 =3，即 =9，故b2=8a2
所以C的方程为8x2﹣y2=8a2
将y=2代入上式，并求得x=± ，
由题设知，2 = ，解得a2=1
所以a=1，b=2
（2）解：由（1）知，F1（﹣3，0），F2（3，0），C的方程为8x2﹣y2=8 ①
由题意，可设l的方程为y=k（x﹣3），|k|＜2 代入①并化简得（k2﹣8）x2﹣6k2x+9k2+8=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1≤﹣1，x2≥1，x1+x2= ， ，于是
|AF1|= =﹣（3x1+1），
|BF1|= =3x2+1，
|AF1|=|BF1|得﹣（3x1+1）=3x2+1，即
故 = ，解得 ，从而 =﹣
由于|AF2|= =1﹣3x1，
|BF2|= =3x2﹣1，
故|AB|=|AF2|﹣|BF2|=2﹣3（x1+x2）=4，|AF2||BF2|=3（x1+x2）﹣9x1x2﹣1=16
因而|AF2||BF2|=|AB|2，所以|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）由题设，可由离心率为3得到参数a，b的关系，将双曲线的方程用参数a表示出来，再由直线 建立方程求出参数a即可得到双曲线的方程；（2）由（1）的方程求出两焦点坐标，设出直线l的方程设A（x1，y1），B（x2，y2），将其与双曲线C的方程联立，得出x1+x2= ， ，再利用|AF1|=|BF1|建立关于A，B坐标的方程，得出两点横坐标的关系 ，由此方程求出k的值，得出直线的方程，从而可求得：|AF2|、|AB|、|BF2|，再利用等比数列的性质进行判断即可证明出结论．
22．【答案】（1）解：由已知，f（0）=0，
f′（x）= = ，
∴f′（0）=0
欲使x≥0时，f（x）≤0恒成立，则f（x）在（0，+∞）上必为减函数，即在（0，+∞）上f′（x）＜0恒成立，
当λ≤0时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，为增函数，故不合题意，
若0＜λ＜ 时，由f′（x）＞0解得x＜ ，则当0＜x＜ ，f′（x）＞0，所以当0＜x＜ 时，f（x）＞0，此时不合题意，
若λ≥ ，则当x＞0时，f′（x）＜0恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上必为减函数，所以当x＞0时，f（x）＜0
恒成立，
综上，符合题意的λ的取值范围是λ≥ ，即λ的最小值为
（2）解：令λ= ，由（I）知，当x＞0时，f（x）＜0，即
取x= ，则
于是a2n﹣an+ = + +…+ +
=
=
=
= ＞ =ln2n﹣lnn=ln2
所以
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；数列的求和；数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）由于已知函数的最大值是0，故可先求出函数的导数，研究其单调性，确定出函数的最大值，利用最大值小于等于0求出参数λ的取值范围，即可求得其最小值；（2）根据（1）的证明，可取λ=
，由于x＞0时，f（x）＜0得出
，分析发现，若取x=
，则可得出
，以此为依据，利用放缩法，即可得到结论
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