河南省豫东、豫北十所名校2012年高三测试（四）数学文

河南省豫东、豫北十所名校
2012年高中毕业班阶段性测试（四）
数学（文）试题
本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。考生作答时，将答案答在答题卡上（答题注意事项见答题卡），在本试题卷上答题无效。考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设i是虚数单位，若复数为实数，则实数a为
A．2 B．-2 C．一 D．
2．已知集合A=，R为实数集，则（CRB）A=
A．（-,0） B．（0,1） C．（0,1] D．[1,2）
3．已知等差数列{}的前m项和为Sn，且S3 =6，则5a1+a7，的值为
A．12 B．10 C．24 D．6
4．一个三棱锥和直三棱柱的组合体的直观图以及它的侧（左）视图、俯视图如图所示，则该几何体的正（主）视图为
5．下列命题中，错误的是
A．命题“若，则x=2”的逆否命题是“若x≠2，则”
B．已知x,yR，则成立的充要条件
C．对命题p：则
D．已知命题p和q，若pq为假命题，则命题p与q中必一真一假
6．定义在R上的函数f（x）满足下列三个条件：①对任意的，恒为正值；②；③．则函数只可以是
A． B．
C． D．
7．已知x，y满足不等式组则z=2x +y的最大值与最小值的比值为
A． B． C． D．2
8．对数函数y=logax与二次函数y=（a-l）x2-x在同一坐标系内的图象可能是
9．下表是最近十届奥运会的年份、届别、主办国，以及主办国在上届获得的金牌数、当届获得的金牌数的统计数据：
某体育爱好组织，利用上表研究所获金牌数与主办奥运会之间的关系，求出主办国在上届所获金牌数（设为x）与在当届所获金牌数（设为y）之间的线性回归方程=，在2008年第29届北京奥运会上英国获得19块金牌，则据此线性回归方程估计在2012年第30届伦敦奥运会上英国将获得的金牌数为（所有金牌数精确到整数）
A．29块 B．30块 C．31块 D．32块
10．过双曲线的右焦点F和虚轴端点B（0，6）作一条直线，若右顶点A到直线FB的距离等于，则双曲线的离心率e=
A． B．2 C．或2 D．
11．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，如果c=a，B=，那么角C等于
A． B． C． D．
12．已知n为正整数，设抛物线，过点P（2n，0）任作直线l交抛物线于两点，则数列{的前2 012项和是
A．一 B．一 C． D．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．若函数在区间（1，2）内存在零点，则实数a的取值范围是 。
14．一个四面体中如果有三条棱两两互相垂直，且垂足不是同一点，这三条棱就像中国武术中的兵器——三节棍，所以，我们常把这类四面体称为“三节棍体”，若三节棍体ABCD四个顶点在空间直角坐标系中的坐标分别为A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），D（2，2，2），则此三节棍体外接球的表面积是 。
15．已知等比数列{}为递增数列，且= 。
16．已知实数x∈[3，17]，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于87的概率为 。
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
已知函数（其中A>0，>0，一），其部分图象如图所示．
（I）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）已知横坐标分别为-1，1，5的三点M，N，P都在函数f（x）的图象上，求sin∠MNP的值．
18．（本小题满分12分）
高和底面圆直径均为2的圆柱被沿平面ACD和平面BCD从顶部斜切掉两块，如图所示，CD和AB分别是圆柱上、下底面圆的直径，AB上CD，且四边形CDEF为正方形．
（I）求证：平面ABD⊥平面CDEF；
（Ⅱ）求多面体CDAEBF的体积．
19．（本小题满分12分）
郑州市对某项惠民工程的满意程度（分值：0—100分）进行网上调查，有18 000位市民参加了投票，经统计，各分数段的人数如下表：
现用分层抽样的方法从所有参与网上投票的市民中随机抽取n位市民召开座谈会，其中满意程度在[0，20）的有5人．
（I）求n的值，并补充完整频率分布直方图；
（Ⅱ）若满意程度在[0，20）的5人中恰有2位为女性，座谈会将从这5位市民中任选两人发言，求至少有一位女性市民被选中的概率．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆的右焦点为F（1，0），M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且△OMF是等腰直角三角形．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为△PQM的垂心（垂心：三角形三条高的交点） 若存在，求出直线l的方程；若l不存在，请说明理由．
21．（本小题满分12分）
定义：已知函数f（x）与g（x），若存在一条直线y=kx +b，使得对公共定义域内的任意实数均满足g（x）≤f（x）≤kx+b恒成立，其中等号在公共点处成立，则称直线y=kx +b为曲线f（x）与g（x）的“左同旁切线”．已知
（I）证明：直线y=x-l是f（x）与g（x）的“左同旁切线”；
（Ⅱ）设P（是函数 f（x）图象上任意两点，且00，使得．请结合（I）中的结论证明：
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请写清题号。
22．（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲
如图，过半径为4的⊙O上的一点A引半径为3的⊙O′的切线，切点为B，若⊙O与⊙O′内切于点M，连接AM与⊙O′交于c点，求的值．
23．（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，已知圆锥曲线C的参数方程为为参数）．
（I）以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆锥曲线C的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线l过曲线C的焦点且倾斜角为60°，求直线l被圆锥曲线C所截得的线段的长度．
24．（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲
对定义在区间l，上的函数，若存在开区间和常数C，使得对任意的都有，且对任意的x（a，b）都有恒成立，则称函数为区间I上的“Z型”函数．
（I）求证：函数是R上的“Z型”函数；
（Ⅱ）设是（I）中的“Z型”函数，若不等式对任意的xR恒成立，求实数t的取值范围．
2012年河南省豫东、豫北十所名校高中毕业班阶段性测试(四)
数学(文科)·答案
（1）A （2）C （3）A （4）C （5）D （6）A
（7）D （8）A （9）B （10）B （11）D （12）B
（13）（1，8） （14） （15）2 （16）
（17）解：（Ⅰ）由图可知， 最小正周期 所以
………………………………………………………………………（2分）
又 ，且，
所以,所以…………………………………………（4分）
所以.…………………………………………………………………（5分）
(Ⅱ) 解法一: 因为，
所以,
,……………………………………………………（7分）
从而，……………………………………………………（10分）
由得. …………………………（12分）
解法二: 因为，,
所以, …………………………………………………………（7分）
所以，
又 ,
则. ………………………………………（10分）
由得. …………………………（12分）
（18）解：（Ⅰ）由题意，因为四边形为正方形，可得,所以.又因为，，所以，而，所以.……………………………………………………………（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，是边长为2的正方形，
.………………………………（12分）
（19）解：（Ⅰ）采用分层抽样的方法，样本容量与总体容量的比为，………（1分）
则从满意程度在的投票市民中随机抽取的人数为：，
……………………………………………………………………………………（3分）
补充完整的频率分布直方图如图：…………………………………………………………（5分）
（Ⅱ）由题意知5人中女性2人，男性3人，用表示女性市民，用表示男性市民，事件A表示“至少有一位女性市民被选中发言”.
则从5位市民中任选2位市民发言的基本事件有
，共10个，………………………………………（8分）
其中事件A包含的基本事件有：
，共7个，……………………（10分）
所以.……………………………………………………………………………（12分）
（20）解：（Ⅰ）由△是等腰直角三角形得，，故椭圆方程为…………………………………………………………………………………（4分）
（Ⅱ）假设存在直线交椭圆于，两点，且为△的垂心，设，
因为，，故．………………………………………………………（7分）
于是设直线的方程为，
由得．
由题意知，即,且…………………（9分）
由题意应有又
故，整理得
解得或.经检验，当时，△不存在，故舍去；
当时，所求直线满足题意
综上，存在直线,且直线的方程为．……………………………………（12分）
（21）解：（Ⅰ）要证明结论即证.
令，则，
易知在处取得最大值，所以，即，等号在公共点（1,0）处成立.…………………………………………………………………（2分）
再令，则，易知在处取得最小值，所以，即，等号在公共点（1,0）处成立.…………………………………………………………………………………………（4分）
故对任意，恒有成立，即直线是与的“左同旁切线”.………………………………………………………………………（6分）
（Ⅱ）因为，所以，所以.
…………………………………………………………………………………………………（8分）
解法一：（作差法，利用（Ⅰ）的结论）因为，
，所以.………………（12分）
解法二：（反证法，利用（Ⅰ）的结论）令，则，显然自相矛盾，故；同理可证.故. ………………………………………………………（12分）
（22）解：如图，作两圆的公切线，连接，，则，
所以，………………………………………………………………（3分）
由弦切角定理知，，
则,所以,……………………………………………………（7分）
所以，则.……………………………………（10分）
（23）解：（Ⅰ）曲线的参数方程为（为参数）.
所以的普通方程为：. 把代入，得，即，即.…（5分）
（Ⅱ）根据对称性，不妨设直线过曲线的右焦点（1，0），此时直线的参数方程是，代入的普通方程并整理得，所以直线被圆锥曲线所截得的线段的长度为.……………………（10分）
（24）解：（Ⅰ）当时，,此时；
当时，，
当时，，此时.
所以对任意的都有，且对任意的都有恒成立，所以函数为上的“型”函数.…………………………………………………（6分）
（Ⅱ）不等式对一切的恒成立，只要即可，可得或.…………………………………………………………………………………（10分）