河南省豫东、豫北十所名校2012年高三测试（四）数学理

河南省豫东、豫北十所名校
2012年高中毕业班阶段性测试（四）
数学（理）试题
本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。考生作答时，将答案答在答题卡上（答题注意事项见答题卡），在本试题卷上答题无效。考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设复数z满足z（l +2i） =4 -2i（i为虚数单位），则|z|=
A．l B．2 C． D．
2．设全集 =
A．{l} B．{2} C．{0,l,2} D．{1,2}
3．在同一平面直角坐标系下，下列曲线中，其右焦点与抛物线y2 =4x的焦点重合的是
A． B．
C． D．=1
4．已知等差数列{}的前n项和为Sn，且S3 =6，则5a1+a7，的值为
A．12 B．10 C．24 D．6
5．函数在同一平面直角坐标系内的大致图象为
6．已知那么（展开式中含x2项的系数为
A．125 B．135 C．-135 D．-125
7．已知x，y满足不等式组则z=2x +y的最大值与最小值的比值为
A． B． C． D．2
8．2011年3月17日上午，日本自卫队选派了两架直升飞机对福岛第一核电站3号机组的燃料池进行了4次注水，如果直升飞机有A，B，C，D四架供选，飞行员有甲、乙、丙、丁四人供选，且一架直升飞机只安排一名飞行员，则选出两名飞行员驾驶两架直升飞机的不同方法数为
A．18 B．36 C．72 D．108
9．已知a，b均为单位向量，则“”是“a+b=（）”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．已知长方体ABCD –A1B1C1D1的外接球的表面积为16，则该长方体的表面积的最大值为
A．32 B．36 C．48 D．64
11．下表是最近十届奥运会的年份、届别、主办国，以及主办国在上届获得的金牌数、当届获得的金牌数的统计数据：
某体育爱好组织，利用上表研究所获金牌数与主办奥运会之间的关系，求出主办国在上届所获金牌数（设为x）与在当届所获金牌数（设为y）之间的线性回归方程=，在2008年第29届北京奥运会上英国获得19块金牌，则据此线性回归方程估计在2012年第30届伦敦奥运会上英国将获得的金牌数为（所有金牌数精确到整数）
A．29块 B．30块 C．31块 D．32块
12．我们把正切函数在整个定义域内的图象看作一组“平行曲线”，而“平行曲线”具有性质：任意两条平行于横轴的直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长度相等，已知函数图象中的两条相邻“平行曲线”与直线y =2012相交于A，B两点，且|AB| =2，则）=
A． B． C． D．-
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题一第24题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．某旋转体中间被挖掉一部分后，剩下部分的三视图如图所示，则该几何体的体积为 。
14．已知等比数列{}的首项及公比均为正数，令，若是数列{}的最小项，则k= 。
15．已知实数x∈[3，17]，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于87的概率为 。
16．如图，在每个三角形的顶点处各放置一个数，使位于△ABC的三
边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分
别成等差数列．若顶点A，B，C处的三个数互不相同且和为l，则
所有顶点上的数之和等于 。
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m=（cos A，cos B），n=（2c+b，a），且m⊥n．
（I）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=4，求△ABC面积的最大值．
18．（本小题满分12分．）
某班同学利用节假日进行社会实践，在25~ 55岁的人群中随机抽取n人进行了一次关于生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念，则称为“低碳族”．根据调查结果得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：
（I）补全频率分布直方图并求n，a，p的值；
（Ⅱ）从[40，50）岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40，45）岁年龄段的人数为X，求X的分布列和数学期望．
19．（本小题满分12分）
如图所示的七面体是由三棱台ABC – A1B1C1和四棱锥D- AA1C1C对接而成，四边形ABCD是边长为2的正方形，BB1⊥平面ABCD，BB1=2A1B1=2．
（I）求证：平面AA1C1C1⊥平面BB1D；
（Ⅱ）求二面角A –A1D—C1的余弦值．
20．（本小题满分12分）
椭圆M的中心在坐标原点D，左、右焦点F1，F2在x轴上，抛物线N的顶点也在原点D，焦点为F2，椭圆M与抛物线N的一个交点为A（3，）．
（I）求椭圆M与抛物线N的方程；
（Ⅱ）在抛物线N位于椭圆内（不含边界）的一段曲线上，是否存在点B，使得△AF1B的外接圆圆心在x轴上？若存在，求出B点坐标；若不存在，请说明理由．
21．（本小题满分12分）
定义：已知函数f（x）与g（x），若存在一条直线y=kx +b，使得对公共定义域内的任意实数均满足g（x）≤f（x）≤kx+b恒成立，其中等号在公共点处成立，则称直线y=kx +b为曲线f（x）与g（x）的“左同旁切线”．已知
（I）证明：直线y=x-l是f（x）与g（x）的“左同旁切线”；
（Ⅱ）设P（是函数 f（x）图象上任意两点，且00，使得．请结合（I）中的结论证明：
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请写清题号。
22．（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲
如图，过半径为4的⊙O上的一点A引半径为3的⊙O′的切线，切点为B，若⊙O与⊙O′内切于点M，连接AM与⊙O′交于c点，求的值．
23．（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，已知圆锥曲线C的参数方程为为参数）．
（I）以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆锥曲线C的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线l过曲线C的焦点且倾斜角为60°，求直线l被圆锥曲线C所截得的线段的长度．
24．（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲
对定义在区间l，上的函数，若存在开区间和常数C，使得对任意的都有，且对任意的x（a，b）都有恒成立，则称函数为区间I上的“Z型”函数．
（I）求证：函数是R上的“Z型”函数；
（Ⅱ）设是（I）中的“Z型”函数，若不等式对任意的xR恒成立，求实数t的取值范围．
2012年河南省豫东、豫北十所名校高中毕业班阶段性测试(四)
数学(理科)·答案
（1）B （2）C （3）D （4）A （5）C （6）B
（7）D （8）C （9）B （10）A （11）B （12）D
（13） （14）1006 （15） （16）
（17）解：(Ⅰ)∵,
∴，由正弦定理可得，即，整理可得．………………………………………………………………………（5分）
∵0＜＜，∴＞0，∴，∴.………………………………（6分）
（Ⅱ）由余弦定理可得,，即（当且仅当时取等号），故． …………………………………………………………………（9分）
故△ABC的面积为，当且仅当时,△ABC的面积取得最大值．……………………………………………………………………………（12分）
（18）解：(Ⅰ)第二组的频率为，所以，补全的频率分布直方图如下：
…………………………………………………………………………………………………（2分）
第一组的人数为，频率为所以
由题可知：第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为，所以第四组的频率为，所以第四组中的低碳族的人数为…………………………………………………………………（4分）
(Ⅱ)因为岁年龄段的“低碳族”与岁年龄段的“低碳族”的人数比值为60:30=2:1，所以采用分层抽样法抽取18人，应从岁年龄段中抽取12人，从岁年龄段中抽取6人.…………………………………………………………………………（6分）
X的可能取值为0,1,2,3,
则
…………………………………（10分）
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
故………………………………………（12分）
（19）解：因为BB1⊥平面且是边长为2的正方形，所以以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则有
．……………（2分）
（Ⅰ），
．
与是平面内的两条相交直线,
平面．又平面,平面平面.………（6分）
（Ⅱ），,
设为平面的一个法向量，
则，．
于是，取，则，．
设为平面的一个法向量，
则，，可得，
取，则，．
，由图知二面角为钝角，所以其余弦值为…………………………………………………………………（12分）
（20）解：（Ⅰ）依题意设椭圆的方程为（），抛物线的方程为，
∵点在抛物线上，∴，
∴抛物线的方程为，且，从而，……………………………（2分）
∵点在椭圆上，且椭圆的焦点为，，
∴，
∴，，∴椭圆的方程为.………………………（5分）
（Ⅱ）假设存在点，使得△的外接圆圆心在轴上，设该圆心为，
则………………………………………………………………………（7分）
由得,解得，
所以外接圆方程为.…………………………………………………（9分）
联立,解得（舍去）.
∴，与关于轴对称，∴点B在椭圆上.…… （10分）
结合图象可知，在抛物线位于椭圆内的一段曲线上，除点外，
不可能再有满足的点.
∴在抛物线位于椭圆内（不含边界）的一段曲线上，不存在满足题意的点，
使得△的外接圆圆心在轴上. ……………………………………………………（12分）
（21）解：（Ⅰ）要证明结论即证.
令，则，
易知在处取得最大值，所以，即，等号在公共点（1,0）处成立.……………………………………………………………………（2分）
再令，则，易知在处取得最小值，所以，即，等号在公共点（1,0）处成立.……………………………………………………………………………………………（4分）
故对任意，恒有成立，即直线是与的“左同旁切线”.…………………………………………………………………………（6分）
（Ⅱ）因为，所以，所以.
…………………………………………………………………………………………………（8分）
解法一：（作差法，利用（Ⅰ）的结论）因为，
，所以.………………（12分）
解法二：（反证法，利用（Ⅰ）的结论）令，则，显然自相矛盾，故；同理可证.故. ………………………………………………………（12分）
（22）解：如图，作两圆的公切线，连接，，则，
所以，………………………………………………………………（3分）
由弦切角定理知，，
则,所以,……………………………………………………（7分）
所以，则.……………………………………（10分）
（23）解：（Ⅰ）曲线的参数方程为（为参数）.
所以C的普通方程为：. 把代入，得，即，即.…（5分）
（Ⅱ）根据对称性，不妨设直线过曲线的右焦点（1，0），此时直线的参数方程是，代入的普通方程并整理得，所以直线被圆锥曲线所截得的线段的长度为.……………………（10分）
（24）解：（Ⅰ）当时，,此时；
当时，，
当时，，此时.
所以对任意的都有，且对任意的都有恒成立，所以函数为上的“型”函数.…………………………………………………（6分）
（Ⅱ）不等式对一切的恒成立，只要即可，可得或.…………………………………………………………………………………（10分）