吉林省通化县高中2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含答案

通化县高中2020-2021学年高一下学期期末考试
数学试卷
注意事项：
一、单项选择（共10道题，每题4分，共40分）
1、复数（ ）
A． B． C． D．
2、在平行四边形ABCD中，设对角线AC与BD相交于点O，则（ ）
A． B． C． D．
3、在中，，，，则为（ ）
A． B． C． D．
4、复数（为虚数单位），则等于（ ）
A．3 B． C．2 D．
设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
若平行于内的无数条直线，则
若，，则平行于内的无数条直线
C．若，，，则
D．若，，则
6、三棱柱的底面是正三角形,侧棱垂直于底面,它的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形,则它的体积为( )
A． B． C．或 D．或
7、从分别写有的张卡片中，任取张，这张上的字母恰好按字母顺序相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
8、在中，点在边上，点在边上，且，，若，，则（ ）
A． B． C． D．
9、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则样本容量和抽取的初中生近视人数分别为（ ）

A．100，90 B．200，27 C．200，20 D．200，90
10、已知正方体的棱长为2.它的8个顶点都在一个球面上，则此球的表面积是( )
A．8π B．12π C．16π D．20π
填空题（共4题，每题5分，共20分）
某校高三数学组有5名党员教师，他们一天中在学习强国平台上的学习积分依次为35，
35，40，38，52，则这5名党员教师学习积分的方差为_______________
12、在中，边，角，则边_____________．
13、已知事件互相对立，且，则＝_____．
14、三棱柱的侧棱垂直于底面，且，若该三
棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为____________．
三、解答题（共5题，每题12分，共60分）
15、如图，在长方体中，，，点P为棱的中点.
（1）证明：平面PAC；
（2）求异面直线与AP所成角的大小.
16、已知，.
（1）若为与的夹角，求的值；
（2）若与垂直，求的值.
17、在中，角的对边分别为，已知.
（1）求证：；
（2）若，的面积为，求.
如图，在四面体中，，，点分别是的中点．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）当，且时，求三棱锥的体积．
19、哈尔滨市第三中学校响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，实施网络授课，为检验学生上网课的效果，高三学年进行了一次网络模拟考试.全学年共1500人，现从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如下图所示）.已知这100人中分数段的人数比分数段的人数多6人.
（1）根据频率分布直方图，求a，b的值，并估计抽取的100名同学数学成绩的中位数；
（2）现用分层抽样的方法从分数在，的两组同学中随机抽取6名同学，从这6名同学中再任选2名同学作为“网络课堂学习优秀代表”发言，求这2名同学的分数不在同一组内的概率.
通化县高中2020-2021学年高一下学期期末考试
数学答案参考答案
一、单项选择
1、【答案】B
2、【答案】B
3、【答案】A
4、【答案】D
5、【答案】B
6、【答案】D
7、【答案】B
8、【答案】A
9、【答案】B
10、【答案】B
二、填空题
11、【答案】；
12、【答案】
13、【答案】
14、【答案】
三、解答题
15、【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）证明：设AC和BD交于点O，则O为BD的中点...............2分
连结PO，又因为P是的中点，所以.......................3分
又因为平面PAC，平面PAC................................5分
所以直线平面PAC..............................................6分
（2）解：由（1）知，，所以即为异面直线与AP所成的角或其补角................................................................9分
因为，且，
所以......................................10分
又，所以.................................11分
故异面直线与AP所成角的大小为................................12分
16【答案】（1）；（2）；
试题分析：（1）因为，，求得，，根据，即可求得答案；
（2）因为与垂直，可得，结合已知条件，即可求得答案.
详解：（1），，
，，..........................2分
...................4分
................................................6分
（2），
，...................8分
与垂直
，...............................10分
，
解得：............................................12分
17、【答案】(1)证明见解析；(2).
试题分析：（1）由正弦定理边化角统一角，得，再用正弦定理角化边即证．（2）由角B的面积公式可得.结合（1）中和解B的余弦定理，三个方程三个未知数，可解得b.
试题解析：（1）∵.
∴由正弦定理可得：，...........2分
可得：，
∴............................................4分
∴.....................................................6分
（2）∵，的面积为，...........8分
∴
∴......................................................9分
∵由余弦定理可得：....10分
∵，
∴可得：，............................................11分
解得：..........................................................12分
18、【答案】(1)见解析(2)
试题分析：（I）由CB=CD得CF⊥BD，由AD⊥BD，AD∥EF得EF⊥BD，故BD⊥平面CEF，于是平面ABD⊥平面EFC；
（II）由CF⊥BD，CF⊥EF得CF⊥平面ABD，即CF为棱锥的高．底面为直角△ABD，代入体积公式计算即可．
详解：(Ⅰ）证明：∵中，分别是的中点，.....1分
，................................................2分中，，是的中点，
．，...........................................4分
面，平面........................................5分
平面平面；................................................6分
（Ⅱ）解：，是的中点，，，，
∴平面，.....................................................2分
，，，，.........3分
，.........................................................4分
．..........................................6分
19、【答案】（1），；中位数为；（2）.
（1）由频率分布直方图的面积和为1，则
，得. 2分
又由100人中分数段的人数比分数段的人数多6人
则，解得，............................4分
中位数中位数为..........6分
（2）设“抽取的2名同学的分数不在同一组内”为事件A，
由题意知，在分数为的同学中抽取4人，分别用，，，表示，
在分数为的同学中抽取2人，分别用，表示..................7分
从这6名同学中抽取2人所有可能出现的结果有：
，，，，，，，，，，，，，，，共15种............9分
抽取的2名同学的分数不在同一组内的结果有：，，，，，，，，共8种.............................11分
所以抽取的2名同学的分数不在同一组内的概率为..............12分