第三章 函数小结教案 第1课时——2021-2022学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

第三章
函数（1）
教学课时：第1课时
教学目标：
1.通过对函数概念的复习，认识函数的本质，会判断两个函数是否为同一函数；
2.复习求函数定义域的方法；
3.会运用图像法或解析法解决与函数相关问题；
4.能够从函数概念的本质去理解函数的单调性和奇偶性；
5.能够根据给出的函数解析式研究其图像和性质.
教学重点：通过对函数概念的复习，认识函数的本质
教学难点：能够根据给出的函数解析式研究其图像和性质
教学过程：
课前可以布置学生画出本章的知识结构图.课堂上教师可以通过以下问题带领学生以下面的四个问题为主线，回顾本章的重要概念和研究函数的方法，重构知识结构图.
【问题1】通过本章的学习，你对函数的概念有什么新的认识呢？
分析：初中我们已经学习过函数的概念，通过本章的学习我们还认识到函数概念的本质是两个数集之间的一种确定的对应关系.因此只有当函数的定义域和对应法则完全相同时才是同一函数.
抓住自变量与因变量之间的变化是理解函数问题时的思维方法.
例1.（1），，中哪个函数与函数是同一函数？
（2）函数y=f(x)，与s=f(t),是同一函数吗？
分析:根据上面的分析,当且仅当两个函数的定义域、对应法则相同时，它们为同一函数.当定义域和对应法则两个要素中只要有一个不相同，则为不同的函数.
解：（1）函数，定义域为.
函数，定义域为，与的定义域和对应法则都相同.
函数，定义域为.
所以函数与函数是同一函数．
（2）函数y=f(x)，与s=f(t),的定义域都是D，对应法则都是f，所以是同一函数.
设计意图：复习函数概念，以及决定两个函数是否相同的要素是定义域和对应法则.
例2
求函数的定义域.
分析:给定函数时要指明函数的定义域，对于用解析式表示的函数，如果没有指明定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量的取值范围构成的集合.
要使函数有意义，必须有：
.
所以此函数的定义域为.
设计意图：复习函数定义域的求法以及表达形式.
【问题2】函数的三种表示法各自的优势和不足是什么？
分析：
表示法
优势
不足
列表法
无需计算可直接看出与自变量相对应的函数值.
只能表示自变量可以一一列出的函数关系，函数值的变化趋势不直观.
图像法
能形象直观地表示出函数的变化趋势.
多数情况下不能准确求出自变量所对应的函数值，只能近似求出，而且有时误差会大.
解析法
清楚地概括了两个变量之间的关系，通过解析式可以准确求出自变量的任一值所对应的函数值.
不够形象、直观、具体，而且并不是所有的函数都能用解析式表示出来.
图像法和解析法是我们表示函数最常用的两种方法.
例3
已知一个函数的解析式为，值域是[1,4]，这样的函数有多少个？试写出其中两个函数.
分析：对应法则和值域确定时，函数是否也被唯一确定的呢？借助二次函数的图像我们可以直观地得到问题的答案，即有无穷多个满足条件的函数，如和.
设计意图：图像法和研究解析式是研究函数问题时常用的方法，本题给出了解析式，所以考虑研究函数的图像.同时这个问题也使得学生进一步深刻认识构成相同的函数的要素是两个函数具有相同的定义域和对应法则.值域和对应法则相同的两个函数不一定是同一函数.
例4
对任意实数表示中较小的那个数，若
，则的最大值是什么？是
函数吗？请说明理由如果是，请写出函数解析式.
分析：在同一坐标系中画出的图像，再图像上表示的是两个函数图像中位于下面的部分，如下图，由图可以看出的最大值为最高点的纵坐标，故最小值为1.
根据函数的定义，结合图像，我们可以发现对于每个x都有唯一的y值与之对应，所以是关于x的分段函数，可以用解析式法表示出这个函数.
令解得或.
.
继续追问学生你还可以通过其他方法来求函数的解析式？让学生自己完成.
【问题3】回顾在本章你学习了哪些函数的性质？如何从函数的本质来认识所学过的函数的性质？
在本章中我们主要学习了函数的单调性和奇偶性以及函数的零点.
函数本质上是在两个数集之间的一种确定的对应关系，而函数的性质则关注的是当自变量在某一种关系下，其所对应的函数值之间产生的一种关系.
设函数，定义域为D，.
的单调性可以看成是对于区间I内的任意两个自变量，当时，
在I上为增函数；在I上为减函数.
函数的奇偶性可以看成是对于内的任意两个自变量，
为偶函数；为奇函数.
函数的零点就是方程的实根，这样就可以找到函数图像与x轴的交点.也就找到了不等式和的解集，研究零点对于我们画函数图像有帮助.
例5
判断命题的真假.（根据教材103页第2题改编）
如果函数在I上是增函数，且，若，则有；
如果函数在I上具有单调性，且，那么当，则有；
如果函数为偶函数，且，若有，则有.
答案：（1）正确
（2）正确
（3）错误
设计意图：①若函数在某个区间上具有单调性时，如对于一个增函数，那么自变量大的，其对应的函数值也大；反之页成立，即若函数值大的其对应的自变量也大.当然若自变量相等，其函数值也就相等了.
②若函数具有奇偶性，如对于一个偶函数，只有自变量互为相反数的两个函数值相等，反之并不成立.
例6
求证：函数在上不单调.
分析：明白了函数单调性的含义，就不难分析本题.该函数在上图像是连续的，如果要证明一个函数不单调，只需找到对于同一个函数值，出现了两个不同的自变量即可.不妨试着令，由解方程得和.所以该函数不单调.
【问题4】在根据函数的解析式研究函数的图像和性质时，我们常常从哪些方面入手考虑呢？沿着怎样的路径展开呢？
①明确函数的定义域的前提下，首先分析函数是否具有奇偶性，因为如果具备了奇偶性，就可以将函数性质研究的范围缩小一半；
②研究函数的单调性；
③分析函数解析式，包括函数值在直角坐标系内的分布；
④在以上研究的基础上，我们画出能够反映出函数性质的示意图.
结合我们研究得到的函数性质，并结合函数的示意图，就能够为我们研究围绕这个函数的新问题提供方法和依据.
例7
已知函数.
（1）你能否经过研究在平面直角坐标系中画出它在定义域上的草图.
（2）直接写出函数（为常数，）的零点的个数(不用说明理由).
分析：(1)函数的定义域是，令得，图像只有一个零点.
研究函数是否具有奇偶性.
函数的定义域为,，所以函数为奇函数.
将研究范围缩小为只需要考虑函数在部分的图像和性质.
②研究函数在的单调性.
任取，且，则，
=
因又所以下面只需判断的符号.
分类讨论：
当时，，则；即函数在为减函数.
当时，，则；即函数在上单调递增.
③当，，并且当越来越大，趋向于无穷大时，可以分析这个函数的分母增长速度远大于分子，所以函数值越来越接近于0.
所以随着自变量趋于正无穷时，图像逐渐趋向于x轴.由②和③可以画出函数在y轴右侧的图像.
④再根据奇偶性画出y轴左侧的图像.
(2)求函数的零点可以转化为函数与求交点.
当或时，0个零点；
当或时，1个零点；
当，且时，2个零点.
小结：本节课我们通过对函数概念、表示形式和性质的复习，使我们不断理解函数的思维特点，通过函数解析式研究函数的性质，从而一步步画出函数的图像，解决与函数相关的新的问题.用结构图梳理本章内容如下：