第三章 函数小结教案 第2课时—2021-2022学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

第三章
函数（2）
教学课时：第2课时
教学目标：
1.深化研究函数问题的两个基本方法：图像法和解析式法.根据解析式研究函数的性质，由性质得到函数的图像，利用数形结合可以解决一些与函数相关的问题.
2.函数、不等式和方程之间存在着紧密的联系，我们常常可以通过这种联系将与不等式和方程相关的问题转化为函数问题去研究.
3.函数模型在实际生活中有着广泛的应用，通过建模将其转化为数学问题，特别注意将建模后的数学结论翻译成应用问题的结论.
教学重点：
函数性质的应用和函数模型的应用
教学难点：
数形结合思想的运用
教学过程：
在上一节课，我们主要复习了函数的概念、表示形式和性质，本节课我们将继续复习函数性质在解决与函数相关问题中的应用，以及函数模型在实际生活中的应用，具体将围绕下面四个方面展开.
一、利用函数的单调性、奇偶性解决与函数相关的问题
例1
已知函数，且，求的值．
分析：本题中已知函数的解析式，且在2处的函数值为2，求在处的函数值.而函数的奇偶性研究的正是当自变量互为相反数时，其对应的函数值之间存在的关系.观察函数没有奇偶性，为多项式函数，不难发现各项中除了常数项以外，其他各项均为x的奇数次方，所以为奇函数.则，令，得.
设计意图：通过构造具有奇偶性的函数解决问题.
例2
设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为
.
分析：本题中已知了函数的奇偶性和在上的单调性，且过点，可以推出函数在另一半区间上也是增函数，且过点.根据奇函数特征，不等式等价于，即求的自变量与函数值异号时的取值范围.画出函数的草图如下，可以得到不等式的解集为.
设计意图：当一个函数的单调性和奇偶性给出时，可以利用画函数的示意图，数形结合的解决相关问题.
二、利用函数、方程、不等式的联系解决相关问题
例3
已知方程在区间上至少存在一个实根，求实数的取值范围.
分析：对于方程根的分布问题我们常常转化为函数零点问题研究，充分利用函数图像的直观性，从而找到满足题意的条件.令，问题转化为该函数在上至少存在一个零点.函数可能是一次函数，也可能是二次函数，所以需要分开讨论.当是二次函数时，注意到，当二次函数开口向下时，一定满足题意；当二次函数开口向上时，则如果在存在零点，画图像可知必有两个零点.
当时，，有一个零点，满足题意；
当时，为二次函数，且，只需满足
或解得且；
综上，.
设计意图：对于方程和不等式的问题常常可以转化为函数问题解决.
三、通过分析函数图像求参数的值或取值范围
例4
已知函数
（1）当时，函数的值域是
（2）若函数在其定义域上单调递增，则实数的取值范围是
（3）若函数的图象与直线只有一个公共点，则实数的取值范围是
分析：（1）当时，
分段函数的值域是这个函数在各段上的函数值的取值范围的并集，当，函数为二次函数，当，为正比例函数.对于这两个基本初等函数我们十分熟悉它们的图像，可以在同一坐标系中画出图像，数形结合可以得到的图像，故值域为.
(
图1
)
(
图2
)
（2）分段函数在整个定义域上的单调性如果单调递增，那么从图像上理解需要满足的条件有两个：
①在各个段上函数分别单调递增，故二次函数在上单调递增，且在上单调递增.故只需满足.
②两段函数在衔接点处还必需满足解得或.
综合①和②，实数的取值范围是.
（3）研究的图象与直线只有一个公共点，分段函数两段的分界点是,则与直线交于点.设直线与的交点为B.函数的图像为二次函数图像上点B左侧部分，直线点A右侧部分，特别注意不包含点A.显然与的图像交于两点.下面分三类讨论：
①当时，显然与的图象没有交点.
②当时，与的图象有唯一交点.
③当时，与的图象没有交点.
综上，实数的取值范围是.
设计意图：研究函数问题的两个基本方法就是图像法和对解析式的研究.
四、函数模型在实际生活中的应用
实际问题如果确定是满足某个函数模型，那么这个实际问题的研究就可以通过研究函数及其性质解决问题了.
用数学知识解决实际应用问题的基本思路可以用下图表示：
(
转化为数学问题
)
(
通过对数学问题的解答
)
(
建立数学模型
)
(
分析、转化、抽象
)
(
翻译成应用问题的结论
)
(
得出数学问题的结论
)
(
找出问题中存在的数量关系
)
(
实际应用问题
)
例5
某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时,某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤,分析显示:当中的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为
(单位:分钟),而公交群体的人均通勤时间不受影响,恒为分钟,试根据上述分析结果回答下列问题:
(1)当在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?
(2)求该地上班族的人均通勤时间的表达式:讨论的单调性,并说明其实际意义.
(1)分析：解决数学应用问题，在理解题意的基础上建立数学模型是关键.首先需要读懂自驾群体的人均通勤时间是一个分段函数，将（1）用数学语言刻画即为寻找不等式的自变量的解.
(2)分析:该地上班族的人均通勤时间由两部分构成，中的自驾成员的人均通勤时间为，剩余的是乘坐公交的群体，它们的通勤时间恒为分钟，由此可以列出函数的解析式.
讨论的单调性就是对分段函数单调性的讨论，
在上单调递减,在上单调递增,说明当以上的人自驾时,人均通勤时间开始增加.
设计意图：对于实际应用问题，读懂题意，对实际应用问题进行建模，转化为数学问题，最后找到数学结论所具有的实际意义.