江苏省南京29中2022届高三上学期7月摸底考试数学试题 PDF版含答案

南京二十九中 2022 届高三摸底调研测试
数 学 试 题
注意事项：
1．本卷共6页，包括22小题，满分150分，考试时间120分钟。答卷前，考生务
必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的指定位置上并准确粘贴条形码。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在
答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分；每题只有一个
选项符合题意）
1. 集合 ，则(CRM)∩N=
A. B. C. D.
2. 是 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
3. 如图，放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 x轴滚动，点 B 恰好经过原点，
设顶点 的轨迹方程是 ，则对函数 有下列命题：
若 ，则函数 是偶函数； 对任意的 ，都有
； 函数 在区间 上单调递减； 函数
在区间 上是减函数．其中真命题的序号是
A. B. C. D.
4. 声强级 单位： 与声强I的函数关系式为： 若普通列
车的声强级是 95dB，高速列车的声强级为 45dB，则普通列车的声强是
高速列车声强的
A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍
5. 某艺术爱好者对 蒙娜丽莎 的同比例影像作品进行了测绘。将画中女
子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角A，C 处作圆弧的切线，两条切线
交于 B点，测得如下数据： ， ， 根
据测量得到的结果推算女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角位于
1
A. B. C. D.
6. 圭表 如图 是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文
仪器，它包括一根直立的标竿 称为“表” 和一把呈南北方向水平固定摆
放的与标竿垂直的长尺 称为“圭” 当正午太阳照射在表上时，日影便会
投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短
的那一天定为夏至．图 2 是一个根据南京市的地理位置设计的圭表的示
意图，已知南京市冬至正午太阳高度角 即 约为 ，夏至正午
太阳高度角 即 约为 ，圭面上冬至线与夏至线之间的距离
即 DB 的长 为 a，则表高 即 AC 的长 为
A. B.
C. D.
7. 已知 ， ，且 ，则向量 在向量
方向上的投影的最大值为
A. 4 B. 2 C. 1 D.
8. 已知四面体 ，分别在棱 ， ， 上取 等分
点，形成点列 ， ， ，过 ， ， 作四面
体的截面，记该截面的面积为 ，则
A. 数列 为等差数列 B. 数列 为等比数列
C. 数列 为等差数列 D. 数列 为等比数列
2
二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分；每题全选且正
确得 5 分，部分选择且正确的得2 分，有选错的得 0 分）
9. 函数 ，若 在 和 处切线平行，则
A. B. C. D.
10. 分别是双曲线 的左、右焦点，A 为左顶点，P
为双曲线右支上一点，若 且 的最小内角为 ，则
A. 双曲线的离心率
B. 双曲线的渐近线方程为
C.
D. 直线 与双曲线有两个公共点
11. 甲罐中有 3 个红球、2 个白球，乙罐中有 4 个红球、1 个白球，先从甲罐
中随机取出 1 个球放入乙罐，分别以 ， 表示由甲罐中取出的球是红
球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1 个球，以 B表示从乙罐中取出
的球是红球的事件，下列判断正确的是
A. B. 事件 B 与事件 相互独立
C. 事件 B 与事件 相互独立 D. ， 互斥
12. 如图，在矩形 ABCD中， ，E 为 AB 的中点，将 沿
DE 翻折到 的位置， 平面 ABCD，M为 的中点，则在翻折
过程中，下列结论正确的是
A. 平面
B. B 与 M两点间距离为定值
C. 三棱锥 的体积的最大值为
D. 存在某个位置，使得平面 平面
三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13. 已知复数 z 满足 ，且 其中 i 是虚数单位 ，则复数
▲ ．
14. 剪纸社团某学生剪出了三个互相外切的圆，其半径分别为 ， ，
单位： ，则三个圆之间空隙部分的面积为 ▲ ．
15. 过抛物线 C： 的准线上任意一点 P作抛物线 C 的切线 PA，PB，
切点分别为 A，B，则点 A 到准线的距离与点 B 到准线的距离之和的最小
值是 ▲ ．
3
16. 已知向量 ， 满足 ， ，若存在不同的实数 ， ，
使得 ，且 ，则 的
取值范围是 ▲ ．
四、解答题（本大题共 6 小题，第 17 题满分 10 分，其余每题满分 12 分，
共 70 分）
17. 在 中，设 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，已知 ，
且三角形外接圆半径为 ．
（1）若 的面积为 ，求 的值；
（2）设 的外接圆圆心为 O，且满足 ，
求 m的值．
18. 已知 为等差数列， 为等比数列， ， ，
．
1 求 和 的通项公式；
2 对任意的正整数 n，设 ，求数列 的前
2n 项和．
4
19. 如图，等腰直角三角形 ABC 所在的平面与半圆弧 AB所在的平面垂直，
，P是弧 AB 上一点，且 ．
证明：平面 平面 ACP；
若 Q是弧 AP 上异于 A，P的一个动点，且 ，当三棱锥
体积最大时，求点 A到平面 PCQ的距离．
20. 某在外务工人员甲不知自己已感染新冠病毒（处于潜伏期），他从疫区
回乡过春节，这期间他和乙、丙、丁三位朋友相聚。最终，乙、丙、丁
也感染了新冠病毒．此时，乙被肯定是受甲感染，丙是受甲或乙感染的。
假设他受甲和受乙感染的概率分别是 和 丁是受甲、乙或丙感染的，
假设他受甲、乙和丙感染的概率分别是 、 和 在这种假设之下，
乙、丙、丁中直接受甲感染的人数为X．
求 X的分布列和数学期望；
该市在发现新冠病毒感染者后要求各区必须每天及时上报新增疑似
病例人数．A区上报的连续 7 天新增疑似病例数据是“总体均值为 3，中
位数 4”，B 区上报的连续 7 天新增疑似病例数据是“总体均值为 2，总体
方差为 ” 设A区和B区连续7天上报新增疑似病例人数分别为 ， ，
， 和 ， ， ， ， 和 分别表示 A区和 B
区第 i 天上报新增疑似病例人数 和 均为非负 设
，
比较 M和 N 的大小；
求 M和 N 中较小的那个字母所对应的7 个数有多少组？
5
21. 已知椭圆 的左、右顶点分别为 、 ，离心率为 ，
长轴长为 4，动点 在 上且位于 轴上方，直线 ， 与直线
分别交于 ， 两点．
（1）求 的最小值；
（2）当 最小时，在椭圆 上可以找出点 使 的面积为 ，
试确定点 T的个数。
22. 已知函数 （其中 a≠0， ）
1 当 时，求函数 的单调区间；
2 对任意的 均满足 ，试确定 a 的取值范围．
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南京二十九中 2022 届高三摸底测试
数学参考答案及评分标准
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分；每题只有一个
选项符合题意）
1-5:BABBB 6-8:ACC
二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分；每题全选且正
确得 5 分，部分选择且正确的得2 分，有选错的得 0 分）
9.AD 10.ABD 11.AD 12.ABC
三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13. 14.
15. 4 16. ，
四、解答题（本大题共 6 小题，第 17 题满分 10 分，其余每题满分 12 分，
共 70 分）
17.解： 中，由正弦定理可得 ，
所以 可转化为 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
整理得 ，
在 中 ，则 ，
又因为 ，
所以 ；
由正弦定理得 ，
则
，
又 ，所以 ，
又 ，得 ，
由余弦定理得 ，所以 ，
所以 ；
(2)因为 ，
所以 ，
所以 ，
7
又 ， ，
所以 ，
由正弦定理 ，所以 ， ，
代入化简得 ，所以 ．
18.解： 1 设等差数列 的公差为d，等比数列 的公比为q．
由 ， ，可得 ．从而 的通项公式为 ．
由 ，又 ，可得 ，解得 ，从而 的通
项公式为 ．
2 当n为奇数时， ，
当n为偶数时， ，
对任意的正整数n，有 ，
和
由 得
由 得 ，
由于 ，
从而得： ．
8
因此， ．
所以，数列 的前2n项和为 ．
19. 证明： 平面 平面ABP， ，
平面 平面 ， 平面ABC， 平面ABP，
又 平面ABP， ，
为直径， ，又 ， ，
平面ACP，又 平面BCP， 平面 平面ACP．
解：过点Q作 交AP于D，
由 知 平面ABP， ，
因为 ， ， ，
所以 平面APC．
， ， ，
因为 为定值．
所以三棱锥 的体积为 ，
当三棱锥 的体积最大时，Q为 的中点．
， ，且 ．
，则 ， ，
．
在 中， ，
，
，
，
．
设点A到平面PCQ的距离为d，则由 ，得 ，
即 ，解得 ． 点A到平面PCQ的距离为 ．
9
20.解： 记事件 “丙受甲感染”，事件 “丁受甲感染”，则 ，
X的取值为1，2，3
所以x的分布列为
X 1 2 3
P
对于B区，由 知，
2， ， ，因为 是非负整数，所以 ，即 ，
所以 ，当 ， ，中有一个取 有一个取2，其余取1时， ，
对于A区，当 ， ， 时，满足“总体均值为3，
中位数为4“此时 ，所以
当 时，y． ， 只有两种情况：
有一个是6，有五个是1，有一个是
有一个是6，有一个是0，有两个是1，其余是2．
对于 共有 组，
对于 共有 组，故共有462组
21.解： 1
10
2
11
22.解： 当 时， ， ，
，
函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ．
由 ，得 ，
当 时， ，等价于 ，
令 ，则 ，
设 ， ，
则 ，
当 时， ，
则 ，
记 ， ，
则
，
列表讨论：
x 1
0
极小值
，
．
当 时， ，
令 ， ，
则 ，
故 在 上单调递增， ，
由 得 ，
12
， ，
由 知对任意 ， ， ，
即对任意 ，均有 ，
综上所述，所求的a的取值范围是
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