2020-2021学年人教版九年级数学下册27.2 相似三角形同步练习（Word版，含答案）

《27.2 相似三角形》同步练习2020-2021年数学人教版九（下）
一．选择题（共9小题）
1．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
3．以下各图放置的小正方形的边长都相同，分别以小正方形的顶点为顶点画三角形，则与△ABC相似的三角形图形为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在?ABCD中，AB＝5，BC＝8，∠ABC，∠BCD的角平分线分别交AD于E和F，BE与CF交于点G，则△EFG与△BCG面积之比是（　　）
A．5：8 B．25：64 C．1：4 D．1：16
5．两个相似多边形的相似比是2：3，则这两个多边形的周长比是（　　）
A．4：9 B． C．2：5 D．2：3
6．如图，△ABC∽△ACD，相似比为2，则面积之比S△BDC：S△DAC为（　　）
A．4：1 B．3：1 C．2：1 D．1：1
7．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，则EF的长是（　　）
A．4 B．5 C． D．
8．如图，点M在BC上，点N在AM上，CM＝CN，，下列结论正确的是（　　）
A．△ABM∽△ACB B．△ANC∽△AMB C．△ANC∽△ACM D．△CMN∽△BCA
9．如图，已知点P是Rt△ABC的斜边BC上任意一点，若过点P作直线PD与直角边AB或AC相交于点D，截得的小三角形与△ABC相似，那么D点的位置最多有（　　）
A．2处 B．3处 C．4处 D．5处
二．填空题（共6小题）
10．如果两个相似三角形对应的高之比是2：3，那么它们对应的角平分线之比是　 　．
11．如图，O为坐标原点，A、B是函数y＝（x＞0）的图象上的两点，过A作AC⊥y轴于C，若AB⊥OA，且△OAB与△ACO相似，则点B的坐标为　 　．
12．在上午的某一时刻身高1.7米的小刚在地面上的投影长为3.4米，小明测得校园中旗杆在地面上的影子长16米，还有2米影子落在墙上，根据这些条件可以知道旗杆的高度为　 　米．
13．如图，已知直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC＝4，BC＝3，则AD＝　 　．
14．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD＝8，BD＝2，那么CD＝　 　．
15．在Rt△ABC中，C为直角顶点，过点C作AB的垂线，若D为垂足，若AC、BC为方程x2﹣6x+2＝0的两根，则AD?BD的值等于　 　．
三．解答题（共9小题）
16．已知△ABC中，点D在BC边上，且AD平分∠BAC，过点C作AB的平行线与AD的延长线交于点E．
（1）求证：△ABD∽△ECD；
（2）求证：＝．
17．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，经几秒钟△PBQ与△ABC相似？试说明理由．
18．如图，在△ABC中，AC＝8厘米，BC＝16厘米，点P从点A出发，沿着AC边向点C以1cm/s的速度运动，点Q从点C出发，沿着CB边向点B以2cm/s的速度运动，如果P与Q同时出发，经过几秒△PQC和△ABC相似？
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．
20．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12．
（1）求AC边上的高BH的长；
（2）如图2，点D、E分别在边AB、BC上，G、F在边AC上，当四边形DEGF是正方形时，求DE的长．
21．已知如图：在△ABC中，AB＝AC，D在BC上，且DE∥AC交AB于E，点F在AC上，且DF＝DC．求证：
（1）△DCF∽△ABC；
（2）BD?DC＝BE?CF．
22．一块三角形材料如图所示，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝12．用这块材料剪出一个矩形CDEF，其中，点D、E、F分别在BC，AB，AC上．要使剪出的矩形CDEF的面积最大．点E应选在何处？
23．如图，直立在点B处的标杆AB长2.5m，站立在点F处的观察者从点E处看到标杆顶A、树顶C在一条直线上．已知BD＝10m，FB＝3m，人目高EF＝1.7m，求树高DC（精确到0.1m）
24．已知图1和图2中的每个小正方形的边长都是1个单位．
（1）将图1中的格点△ABC，先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到△A1B1C1，请你在图1中画出△A1B1C1；
（2）在图2中画出一个与格点△DEF相似但相似比不等于1的格点三角形．
参考答案
一．选择题（共9小题）
1．解：根据题意得：AB＝＝，AC＝2，BC＝＝，
∴BC：AC：AB＝1：：，
A、三边之比为1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；
B、三边之比：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
C、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．
故选：A．
2．解：∵①中的三角形的三边分别是：2，，，
②中的三角形的三边分别是：3，，，
③中的三角形的三边分别是：2，2，2，
④中的三角形的三边分别是：3，，4，
∵①与③中的三角形的三边的比为：1：，
∴①与③相似．
故选：C．
3．解：设每个小正方形的边长为1，则△ABC的各边长分别为：2，，，同理求得：
A中三角形的各边长为：，1，，与△ABC的各边对应成比例，所以两三角形相似；
故选：A．
4．解：∵BE、CF分别为∠ABC，∠BCD的角平分线，
∴AE＝AB，DF＝CD，
又AB＝5，BC＝8，∴AF＝DE＝3，EF＝2，
∴＝＝＝，
故选：D．
5．解：∵两个相似多边形的相似比是2：3，
∴这两个多边形的周长为2：3．
故选：D．
6．解：∵△ABC∽△ACD，相似比为2，
∴S△ABC：S△ACD＝4，
∴S△BDC：S△ACD＝3：1．
故选：B．
7．解：∵△ABE∽△DEF，
∴，
∵AB＝6，AE＝9，DE＝2，
∴，
解得：DF＝3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∴EF＝＝．
故选：C．
8．解：∵CM＝CN
∴∠CNM＝∠CMN
∵∠CNA＝∠CMN+∠MCN，∠AMB＝∠CNM+∠MCN
∴∠CNA＝∠AMB
∵AM：AN＝BM：CM
∴AM：AN＝BM：CN
∴△ANC∽△AMB
故选：B．
9．
解：∵截得的小三角形与△ABC相似，
∴过P作AC的垂线，作AB的垂线，作BC的垂线，所截得的三角形满足题意，
则D点的位置最多有3处，
故选：B．
二．填空题（共6小题）
10．解：∵相似三角形对应高线的比是2：3，
∴它们的相似比为2：3，
∴它们对应角平分线的比是2：3．
故答案为：2：3．
11．解：∵△OAB∽△ACO，
∴∠AOC＝∠BOA，
∴OA是∠BOC的平分线，
延长BA交y轴于D，过B作BE⊥y轴于E，
∵AC⊥OC，
∴AC∥BE，
∵AB⊥OA，
∴AB＝AD，
设A（a，），
∴AC2＝CD?OC，
∴CD＝，
∴CE＝CD＝，
∴OE＝﹣，
BE＝2AC＝2a，
∴B（2a，﹣），
∴2a（﹣）＝9，
解得：a＝3，（负值舍去），
∴点B的坐标为（6，）．
故答案为：（6，）．
12．解：∵＝＝，
∵CE＝2，
∴CD＝4，
∴BD＝BC+CD＝16+4＝20米．
∴AB＝BD＝×20＝10米．
故应填10．
13．解：在Rt△ABC中，AB＝＝5，
由射影定理得，AC2＝AD?AB，
∴AD＝＝，
故答案为：．
14．解：由射影定理得，CD2＝AD?DB，
则CD＝＝4，
故答案为：4．
15．解：∵AC、BC为方程x2﹣6x+2＝0的两根，
∴x1＝，x2＝，
令AC＝，BC＝，
∴AB＝＝4，
又AB×CD＝AC×BC，
∴CD＝＝＝，
∴AD?BD＝CD2＝＝．
故答案为：．
三．解答题（共9小题）
16．证明：（1）∵CE∥AB，
∴∠BAD＝∠CED、∠ABD＝∠ECD，
∴△ABD∽△ECD；
（2）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠EAC，
又∵∠BAD＝∠CED，
∴∠CEA＝∠CAE，
∴CA＝CE，
∵△ABD∽△ECD，
∴＝，
∴＝．
17．解：设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，
则AP＝2xcm，BQ＝4xcm，
∵AB＝8cm，BC＝16cm，
∴BP＝AB﹣AP＝（8﹣2x）cm，
∵∠B是公共角，
∵①当，即时，△PBQ∽△ABC，
解得：x＝2；
②当，即时，△QBP∽△ABC，
解得：x＝0.8，
∴经2或0.8秒钟△PBQ与△ABC相似．
18．解：设经过x秒，两三角形相似，
则CP＝AC﹣AP＝8﹣x，CQ＝2x，
（1）当CP与CA是对应边时，，
即，
解得x＝4秒；
（2）当CP与BC是对应边时，，
即，
解得x＝秒；
故经过4或秒，两个三角形相似．
19．证明：在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∵CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠CEB＝90°，
又∵∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBE．
20．解：（1）过点A作AN⊥BC于N，
∵AB＝AC＝10，BC＝12，AN⊥BC，
∴BN＝CN＝6，
∴AN＝＝＝8，
∵S△ABC＝AC×BH＝BC×AN，
∴BH＝＝9.6；
（2）如图2，设BH与DE交于点M，
∵四边形DEGF是正方形，
∴DE＝EG＝DF，DE∥AC，∠EDF＝∠DFC＝90°，且BH⊥AC，
∴四边形DFHM是矩形，
∴DF＝MH，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴，
∴
∴DE＝．
21．证明：
（1）在△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
∵DF＝DC，
∴∠C＝∠CFD．
∴∠B＝∠CFD．
∴△DCF∽△ABC．
（2）证明△BDE∽△CFD．
∵DE∥AC，
∴∠EDB＝∠C．
∴∠B＝∠CFD．
∴△BDE∽△CFD．
∴BD：CF＝BE：CD．
∴BD?DC＝BE?CF．
22．解：∵四边形CDEF是矩形，
∴∠AFE＝90°，
∵∠A＝30°，
∴EF＝AE，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝12，
∴BC＝AB＝6，
根据勾股定理得：AC＝＝6，
∴CF＝AC﹣AF＝6﹣AE，
∴S矩形CDEF＝CF?EF＝AE（6﹣AE）＝﹣（AE﹣6）2+9，
∴当x＝6时，矩形CDEF的面积最大，
即当点E为AB的中点时，矩形CDEF的面积最大．
23．解：过E作EH⊥CD交CD于H点，交AB于点G，如下图所示：
由已知得，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD，
∵EH⊥CD，EH⊥AB
∴四边形EFDH为矩形
∴EF＝GB＝DH＝1.7，EG＝FB＝3，GH＝BD＝10
∴AG＝AB﹣GB＝0.8
∵EH⊥CD，EH⊥AB，
∴AG∥CH，
∴△AEG∽△CEH
∴
∵EH＝EG+GH＝13
∴CH＝≈3.5
∴CD＝CH+HD＝5.2
答：故树高DC为5.2米．
24．解：（1）如图1．
（2）如图2．
（答案不唯一．）