2021-2022学年人教版八年级数学上册12.3 角的平分线的性质同步练习（Word版，含答案）

12.3角的平分线的性质
一．选择题
1．如图，P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，下列结论中不正确的是（　　）
A．PE＝PF B．AE＝AF C．△APE≌△APF D．AP＝PE+PF
2．点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A＝60°，则∠BOC的度数为（　　）
A．60° B．90° C．120° D．150°
3．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，点D是OB上的动点，若PC＝6cm，则PD的长可以是（　　）
A．7cm B．4cm C．5cm D．3cm
4．如图，在△ABC中∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC＝3cm，那么AE+DE等于（　　）
A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm
5．如图，在△ABC中，点D在边BC上，若∠BAD＝∠CAD，AB＝6，AC＝3，S△ABD＝3，则S△ACD＝（　　）
A．3 B．6 C． D．
6．在Rt△ABC中，如图所示，∠C＝90°，∠CAB＝60°，AD平分∠CAB，点D到AB的距离DE＝3.8cm，则BC等于（　　）
A．3.8cm B．7.6cm C．11.4cm D．11.2cm
7．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为50和38，则△EDF的面积为（　　）
A．8 B．12 C．4 D．6
8．如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是（　　）
A．∠BAC＝70° B．∠DOC＝90° C．∠BDC＝35° D．∠DAC＝55°
9．如图所示，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D、C，AD与BC相交于点P，若PA＝PB，则∠1与∠2的大小是（　　）
A．∠1＝∠2 B．∠1＞∠2 C．∠1＜∠2 D．无法确定
10．如图，O为△ABC内任意一点，OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，若OD＝OE＝OF，连接OA，OB，OC，下列说法不一定正确的是（　　）
A．△BOD≌△BOF B．∠OAD＝∠OBF C．∠COE＝∠COF D．AD＝AE
二．填空题
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若AB＝5，DC＝2，则△ABD的面积为　 　．
12．如图，∠AOB＝60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD＝CE，则∠DOC＝　 　．
13．如图，已知△ABC的周长是22，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，△ABC的面积是　 　．
14．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝8．对角线BD⊥CD，P是BC边上一动点，连接PD．若∠ADB＝∠C，则PD长的最小值为　 　．
15．如图所示，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．则下列结论：
①DA平分∠EDF；
②AE＝AF，DE＝DF；
③AD上的点到B，C两点的距离相等；
④图中共有3对全等三角形，
正确的有　 　．
三．解答题
16．如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE＝BF，△DCE和△DBF的面积相等．
求证：AD平分∠BAC．
17．△ABC中，∠C＝90°，AD为角平分线，BC＝64，BD：DC＝9：7，求D到AB的距离．
18．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，求：
（1）S△ACD；
（2）AC的长．
参考答案
一．选择题
1．解：∵P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴PE＝PF，
又有AD＝AD
∴△APE≌△APF（HL
∴AE＝AF
故选：D．
2．解：连接OA，OB，OC，
∵点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，
∴OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB，
∵∠BAC＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∴∠OBC+∠OCB＝120÷2＝60°，
∴∠BOC＝180﹣60＝120°．
故选：C．
3．解：作PD⊥OB于D，
∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OA，
∴PD＝PC＝6cm，
则PD的最小值是6cm，
故选：A．
4．解：∵∠ACB＝90°，
∴EC⊥CB，
又BE平分∠ABC，DE⊥AB，
∴CE＝DE，
∴AE+DE＝AE+CE＝AC＝3cm
故选：B．
5．解：过D作DP⊥AC交AC的延长线于P，DQ⊥AB于Q，
∵∠BAD＝∠CAD，
∴DP＝DQ，
∵S△ABD＝AB?DQ＝?DQ＝3，
∴DQ＝1，
∴DP＝1，
∴S△ACD＝?AC?DP＝，
故选：C．
6．解：∵∠C＝90°，∠CAB＝60°，
∴∠B＝30°，在Rt△BDE中，BD＝2DE＝7.6，
又∵AD平分∠CAB，
∴DC＝DE＝3.8，
∴BC＝BD+DC＝7.6+3.8＝11.4．
故选：C．
7．解：如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DF＝DH，
在Rt△DEF和Rt△DGH中，，
∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），
∴S△EDF＝S△GDH，设面积为S，
同理Rt△ADF≌Rt△ADH，
∴S△ADF＝S△ADH，
即38+S＝50﹣S，
解得S＝6．
故选：D．
8．解：∵∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
故A选项正确，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠ABC＝×50°＝25°，
在△ABO中，
∠AOB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABO＝180°﹣70°﹣25°＝85°，
∴∠DOC＝∠AOB＝85°，
故B选项错误；
∵CD平分∠ACE，
∴∠ACD＝（180°﹣60°）＝60°，
∴∠BDC＝180°﹣85°﹣60°＝35°，
故C选项正确；
∵BD、CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线，
∴D到AB、AC、BC的距离相等，
∴AD是△ABC的外角平分线，
∴∠DAC＝（180°﹣70°）＝55°，
故D选项正确．
故选：B．
9．解：∵AD⊥OB，BC⊥OA，
∴∠ACP＝∠BDP，∠APC＝∠BPD，PA＝PB，
∴△ACP≌△BDP
∴CP＝DP
∴OP是角AOB的平分线，
∴∠1＝∠2．
故选：A．
10．解：∵OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，OD＝OE＝OF，
∴O在∠ABC的角平分线上（∠DBO＝∠FBO），∠ODB＝∠OFB＝90°，
∵在△BOD和△BOF中
∴△BOD≌△BOF，正确，故本选项错误；
B、根据已知不能推出∠OAD＝∠OBF，错误，故本选项正确；
C、∵OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，OD＝OE＝OF，
∴O在∠ACB的角平分线上（∠FCO＝∠ECO），∠OFC＝∠OEC＝90°，
∵在△COF和△COE中
∴△COF≌△COE，
∴∠COE＝∠COF，正确，故本选项错误；
D、∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠ADO＝∠AEO＝90°，
∵OD＝OE，OA＝OA，由勾股定理得：AE＝AD，正确，故本选项错误；
故选：B．
二．填空题
11．解：作DH⊥AB于H，如图，
∵AD平分∠BAC，DH⊥AB，DC⊥AC，
∴DH＝DC＝2，
∴△ABD的面积＝×5×2＝5．
故答案为5．
12．解：∵CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD＝CE，
∴OC平分∠AOB，
即∠DOC＝∠AOB＝×60°＝30°．
故本题答案为：30°．
13．解：如图，连接OA，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴点O到AB、AC、BC的距离都相等，
∵△ABC的周长是22，OD⊥BC于D，且OD＝3，
∴S△ABC＝×22×3＝33．
故答案为：33．
14．解：根据垂线段最短，当DP⊥BC的时候，DP的长度最小．
∵BD⊥CD，即∠BDC＝90°，又∠A＝90°，
∴∠A＝∠BDC，又∠ADB＝∠C，
∴∠ABD＝∠CBD，又DA⊥BA，BD⊥DC，
∴AD＝DP，又AD＝8，
∴DP＝8．
故答案为：8．
15．解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，在Rt△ADE与Rt△ADF中，，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF，
∴∠ADF＝∠ADE，AE＝AF，
∴DA平分∠EDF；故①②正确，
∵无法判定AD⊥BC且平分BC，
∴AD上的点到B，C两点的距离相等错误，
∵图中只有3对全等三角形，故③④错误．
故答案为：①②．
三．解答题
16．证明：过D作DN⊥AC，DM⊥AB，
△DBF的面积为：BF?DM，
△DCE的面积为：DN?CE，
∵△DCE和△DBF的面积相等，
∴BF?DM＝DN?CE，
∵CE＝BF，
∴DM＝DN，
又∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴AD平分∠BAC（到角两边距离相等的点在角的平分线上）．
17．解：∵BD：DC＝9：7，BC＝64，
∴CD＝＝28，
∵AD为角平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝DC＝28．
答：D到AB的距离为28．
18．解：（1）S△ACD＝S△ABC﹣S△ABD＝7﹣×4×2＝3；
（2）如图，过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，
∴DE＝DF＝2．
∵S△ACD＝3，
∴×AC×2＝3，
解得AC＝3．