2021--2022学年人教版九年级数学上册 21.2.2 一元二次方程 根的判别式 同步练习（word版含答案）

110490001016000021.2.3 一元二次方程 根的判别式
一、选择题
已知关于x的一元二次方程x2?(2k+1)x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2，则实数k的取值范围是(????)
A. k<14 B. k≤14 C. k>4 D. k≤14且k≠0
关于x的一元二次方程x2?(m+3)x+3m=0的根的情况一定是(????)
A. 有实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不等的实数根 D. 无实数根
关于x的方程x2?x+1=0的根的情况是(????)
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 只有一个实数根
一元二次方程4x2?4x+1=0根的情况是(????)
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根 D. 根的情况无法确定
关于x的一元二次方程x2?kx?6=0的根的情况为(????)
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 无法确定根的情况
下列一元二次方程中，没有实数根的是(????)
A. x2?2x?3=0 B. x2+2x+1=0
C. x2?x+1=0 D. x2=1
关于方程x2?42x+9=0的根的情况，下列说法正确的是(????)
A. 有两个相等实根 B. 有两个不相等实数根
C. 没有实数根 D. 有一个实数根
关于x的一元二次方程(k?3)x2?3?kx+14=0有两个实数根，则k的取值范围是(??? )
A. k≥3 B. k≤3 C. k>3 D. k<3
关于x的方程m2x2?8mx+12=0至少有一个正整数解，且m是整数，则满足条件的m的值的个数是(????)
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
已知b2?4ac>0，下列方程①ax2+bx+c=0；②x2+bx+ac=0；③cx2+bx+a=0.其中一定有两个不相等的实数根的方程有(????)
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
二、填空题
已知关于x的方程ax2+2x?3=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是______．
若关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有实数根，则k的取值范围是______．
已知关于x的一元二次方程(m?2)x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是______．
若关于x的方程(1?m2)x2+2mx?1=0的所有根都是比1小的正实数，则实数m的取值范围是______．
若关于x的方程x2+2kx?1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是??????.
若a满足不等式组2a?1≤13?a2?1，且关于x的一元二次方程(a?2)x2?(2a?1)x+a+12=0有实数根，则满足条件的实数a的所有整数和为_______________
三、计算题（本大题共6小题，共36.0分）
不解方程，判断下列方程的解的情况：
(1)x2?5x?2=0； (2)16y2+9=24y；
(3)3x2=2x?5
已知关于x的方程x2?(2k+1)x+4(k?12)=0.求证：无论k取什么实数值，方程总有实数根．
设方程|x2+ax|=4，只有3个不相等的实数根，求a的值和相应的3个根．
已知关于x的一元二次方程x2?(n+3)x+3n=0．
(1)求证：此方程总有两个实数根；
(2)若此方程有两个不相等的整数根，请选择一个合适的n值，写出这个方程并求出此时方程的根．
关于x的一元二次方程x2?5x+k=0有实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程(m?1)x2+x+m?3=0与方程x2?5x+k=0有一个相同的根，求此时m的值．
若关于x的一元二次方程(a?2)x2?2ax+a+1=0没有实数根，求ax+3>0的解集(用含a的式子表示)．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2?(2k+1)x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2，
∴△=[?(2k+1)]2?4×1×(k2+2k)≥0，
解得：k≤14．
故选：B．
根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．
本题考查了根的判别式，牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：∵△=(m+3)2?4×3m
=m2+6m+9?12m
=m2?6m+9
=(m?3)2≥0，
所以方程有两个实数根．
故选：A．
计算判别式的值，利用配方法得到△=(m?3)2≥0，然后根据判别式的意义对各选项进行判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2?4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△<0时，方程无实数根．
3.【答案】C
【解析】解：∵△=b2?4ac=1?4=?3<0，
∴方程无实数根．
故选：C．
判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2?4ac的值的符号就可以了．
总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
(1)△>0?方程有两个不相等的实数根；
(2)△=0?方程有两个相等的实数根；
(3)△<0?方程没有实数根．
4.【答案】A
【解析】解：△=16?4×1×4=0，
故选：A．
根据根的判别式即可求出答案．
本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
5.【答案】A
【解析】解：∵△=(?k)2?4×1×(?6)=k2+24>0，
∴一元二次方程x2?kx?6=0有两个不相等的实数，
故选：A．
先计算△=(?k)2?4×1×(?6)=k2+24>0，即可判断方程根的情况．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2?4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．
6.【答案】C
【解析】解：A、这里a=1，b=?2，c=?3，
∵△=b2?4ac=16>0，
∴方程有两个不相等的实数根，不合题意；
B、这里a=1，b=2，c=1，
∵△=b2?4ac=0，
∴方程有两个相等的实数根，不合题意；
C、这里a=1，b=?1，c=1，
∵△=b2?4ac=?3<0，
∴方程没有实数根，符合题意；
D、方程即为x2?1=0，这里a=1，b=0，c=?1，
∵△=b2?4ac=4>0，
∴方程有两个不相等的实数根，不合题意；
故选：C．
找出各选项中的a，b及c的值，计算出根的判别式的值，当根的判别式的值小于0时满足题意．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2?4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．
7.【答案】C
【解析】解：∵△=(?42)2?4×9=?4<0，
∴方程没有实数根．
故选：C．
先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2?4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．
8.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键．
根据二次项系数非零、根的判别式△≥0以及被开方数非负，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．
【解答】
解：∵关于x的一元二次方程(k?3)x2?3?kx+1414=0有两个实数根，
∴k?3≠0△=(?3?k)2?4×14(k?3)≥03?k≥0,
解得：k<3．
故选：D．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
此题考查了用公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解本题的关键．根据公式法解方程，根据方程的解为正整数及m为整数，即可确定出m的值．
【解答】
解：m2x2?8mx+12=0，
△=(?8m)2?4m2×12=16m2，
∴x=8m±16m22m2=8m±4m2m2，
∴x1=6m，x2=2m，
∵关于x的方程m2x2?8mx+12=0至少有一个正整数解，且m是整数，
∴6m>0，2m>0，
∴m=1或2或3或6，
则满足条件的m的值的个数是4个，
故选：B．
10.【答案】B
【解析】解：当a=0时，bx+c=0为一元一次方程，没有两个实根，不合题意；
当c=0时，bx+a=0为一元一次方程，也没有两个实根，不合题意；
且a≠0时，ax2+bx+c=0为一元二次方程，当c≠0时，cx2+bx+a=0为一元二次方程，
此时，由b2?4ac>0，得到两方程一定有两个不相等的实数根，
而x2+bx+ac=0为一元二次方程，
∵b2?4ac>0，
∴一定有两个相等的实数根，
∴1个方程一定有2个不相等的实数根，
故选B．
只要看各个方程根的判别式△=b2?4ac的值的符号是否大于0就可以了．一定有两个不相等的实数根的一元二次方程就是判别式的值大于0的方程．
一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△>0?方程有两个不相等的实数根；(2)△=0?方程有两个相等的实数根；(3)△<0?方程没有实数根．
11.【答案】a>?13且a≠0
【解析】解：由关于x的方程ax2+2x?3=0有两个不相等的实数根
得△=b2?4ac=4+4×3a>0，
解得a>?13
则a>?13且a≠0
故答案为a>?13且a≠0
由方程有两个不相等的实数根，则运用一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式是b2?4ac>0即可进行解答
本题重点考查了一元二次方程根的判别式，在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，(1)当△>0时，方程有两个不相等的实数根；(2)当△=0时，方程有两个相等的实数根；(3)当△<0时，方程没有实数根．
12.【答案】k≠0且k≤1
【解析】解：由题意可知：△=4?4k≥0，
∴k≤1，
∵k≠0，
∴k≠0且k≤1，
故答案为：k≠0且k≤1；
根据一元二次方程的根的判别式即可求出答案．
本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
13.【答案】m≤3且m≠2
【解析】解：∵关于x的一元二次方程(m?2)x2+2x+1=0有实数根，
∴m?2≠0且△≥0，即22?4×(m?2)×1≥0，解得m≤3，
∴m的取值范围是m≤3且m≠2．
故答案为m≤3且m≠2．
根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2?4ac的意义得到m?2≠0且△≥0，即22?4×(m?2)×1≥0，然后解不等式组即可得到m的取值范围．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2?4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．
14.【答案】m=1或m>2
【解析】解：当1?m2=0时，m=±1．
当m=1时，可得2x?1=0，x=12，符合题意；
当m=?1时，可得?2x?1=0，x=?12，不符合题意；
当1?m2≠0时，(1?m2)x2+2mx?1=0，
[(1+m)x?1][(1?m)x+1]=0，
∴x1=11+m，x2=?11?m．
∵关于x的方程(1?m2)x2+2mx?1=0的所有根都是比1小的正实数，
∴0<11+m<1，解得m>0，
02．
综上可得，实数m的取值范围是m=1或m>2．
故答案为：m=1或m>2．
分1?m2=0，1?m2≠0两种情况先求出原方程的实数根，再根据两个实数根都是比1小的正实数，列出不等式，求出m的取值范围．
考查了解一元二次方程及解一元一次不等式，解题的关键是将二次项系数分1?m2=0，1?m2≠0两种情况讨论求解．
15.【答案】k>?1
【解析】
【分析】
此题考查了一元二次方程根的判别式的应用．此题比较简单，解题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△>0时方程有两个不相等的实数根；(2)△=0时方程有两个相等的实数根；(3)△<0时方程没有实数根.?由关于x的一元二次方程kx2+2kx?1=0有两个不相等的实数根，即可得判别式△>0，则可求得k的取值范围．
【解答】
解：∵关于x的一元二次方程kx2+2kx?1=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2?4ac=(2k)2?4×1×(?1)=4k+4>0，
∴k>?1．
故答案为k>?1．
16.【答案】?3
【解析】
【分析】
本题考查一元二次方程的判别式，以及一元一次不等式的解法，首先解不等式求出解集，再根据方程有实数根得出判别式Δ=b2?4ac≥0，求出a的取值范围，然后综合得出a的整数值，再求和即可．
【解答】
解：不等式组2a?1?1①3?a2>1②，
解不等式①，得a≤1，
解不等式②，得a<1，
∴不等式组的解集为a<1；
∵一元二次方程(a?2)x2?(2a?1)x+a+12=0有实数根，
∴Δ=b2?4ac=(2a?1)2?4(a?2)×(a+12)≥0且a?2≠0，
解得a≥?2.5且a≠2，
∴a的取值范围为?2.5≤a<1，
∴整数a的值有?2，?1，0，
∴满足条件的实数a的所有整数和为?3．
故答案为?3．
17.【答案】解：(1)?a=1，b=?5，c=?2，?
∴△=?52?4×1×(?2)=33>0，?
∴原方程有两个不相等的实数根；
(2)将原方程化为标准形式，得16y2?24y+9=0
?a=16，b=?24，c=9，?
∴△=?242?4×16×9=0，?
∴原方程有两个相等的实数根；
(3)将原方程化为标准形式，得3x2?2x+5=0
?a=3，b=?2，c=5，?
∴△=?22?4×3×5=?56<0，?
∴原方程无实数根．
【解析】本题考查一元二次方程的判别式，掌握判别式的意义是解题关键．
(1)直接确定a、b、c的值，然后求出的值，再分析根的情况即可；
(2)(3)先将方程化为一元二次方程的一般形式，再确定的值，进而分析根的情况．
18.【答案】证明：∵关于x的方程x2?(2k+1)x+4(k?12)=0中，
∴△=[?(2k+1)]2?4×4(k?12)=4(k?32)2≥0，
∴无论k取什么实数，方程总有实数根．
【解析】通过配方法得到一个完全平方式，证明一元二次方程根的判别式恒大于等于0，即可解答．
此题考查了根的判别式，解答此题的关键是熟知一元二次方程根的情况与判别式△的关系，及根与系数的关系：
(1)△>0?方程有两个不相等的实数根；
(2)△=0?方程有两个相等的实数根；
(3)△<0?方程没有实数根．
19.【答案】解：∵|x2+ax|=4，
∴x2+ax?4=0①或x2+ax+4=0②，
方程①②不可能有相同的根，
而原方程有3个不相等的实数根，
∴方程①②中有一个有等根，
而△1=a2+16>0，
∴△2=a2?16=0，
∴a=±4，
当a=4时，原方程为x2+4x?4=0或x2+4x+4=0，
原方程的解为：x=?2，?2±22；
当a=?4时，原方程为x2?4x?4=0或x2?4x+4=0，
原方程的解为：x=2，2±22；
【解析】首先去掉绝对值符号，原方程可化为两个一元二次方程．原方程只有3个不相等的实数根，则其中一个判别式大于零，另一个判别式等于零．由此即可确定a的值，同时也可以确定相应的3个根．
此题主要考查了一元二次方程的解、公式法解一元二次方程、一元二次方程的判别式与根的关系及绝对值的定义，综合性比较强，对于学生分析问题、解决问题的能力要求比较高，解题时首先确定绝对值符号，然后利用判别式确定a的值，然后解方程即可解决问题．
20.【答案】(1)证明：∵Δ=(n+3)2?12n=(n?3)2，
∵(n?3)2≥0，
∴方程有两个实数根；
(2)解：∵方程有两个不相等的整数根
∴n可取0，则方程化为x2?3x=0，
因式分解为x(x?3)=0
∴x1=0，x2=3．
【解析】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2?4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．
(1)计算判别式的值得到△=(n?3)2，然后利用非负数的性质得到△≥0，从而根据判别式的意义可得到结论；
(2)n可取0，方程化为x2?3x=0，然后利用因式分解法解方程．
21.【答案】解：(1)根据题意得△=(?5)2?4k≥0，
解得k≤254；
(2)∵k≤254，
∴k的最大整数为6，
∴方程x2?5x+k=0变形为x2?5x+6=0，
解得x1=2，x2=3，
∵一元二次方程(m?1)x2+x+m?3=0与方程x2?55x+k=0有一个相同的根，
∴当x=2时，4(m?1)+2+m?3=0，
解得m=1；
而m?1≠0，所以m=1舍去，
当x=3时，9(m?1)+3+m?3=0，
解得，m=910，
∴m的值为910．
【解析】(1)根据△≥0，解不等式即可；
(2)求出k=6，解方程求出x=2或x=3，代入方程求出m的值即可．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解等知识，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
22.【答案】解：∵关于x的一元二次方程(a?2)x2?2ax+a+1=0没有实数根，
∴(?2a)2?4(a?2)(a+1)=4a+8<0，即a∴a<0.∵ax+3>0即ax>?3，
∴x∴所求不等式的解集为x【解析】本题主要考查了根的判别別式的知识，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
(1)当△>0时，方程有两个不相等的实数根
(2)当△=0时，方程有两个相等的实数根
(3)当△<0时，方程没有实数根．
由方程没有实数根，可得△<0，建立关于a的不等式，求出的取值范围