2021—2022学年人教版数学九年级上册 21.3实际问题与一元二次方程 同步练习 （word版含解析）

1226820012674600一元二次方程的应用
一、选择题
超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天销售500千克，经市场调查，若每千克涨价1元，日销售量减少20千克，现超市要保证每天盈利6000元，每千克应涨价为(????)
A. 15元或20元 B. 10元或15元 C. 10元 D. 5元或10元
如图，在长20m、宽18m的矩形草坪上，修筑同样宽的三条(横向一条，纵向两条矩形)道路，要使草坪面积达到306m2，则道路宽度是(????)
A. 27m B. 26m C. 2m D. 1m
某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．若生产的产品一天的总利润为1120元，且同一天所生产的产品为同一档次，则该产品的质量档次是(????)
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
一件工艺品进价为100元，标价130元售出，每天平均可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出5件，某店为减少库存量，同时使每天平均获得的利润为3000元，设每件工艺品降价x元，则可列方程(????)
A. (100?x)(100+5x)=3000 B. (130?100?x)(100+5x)=3000
C. (130?x)(100+5x)=3000 D. (130?100?x)(100?5x)=3000
教育局组织篮球比赛庆国庆，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，共进行了36场比赛，则这次参加比赛的球队个数为(????)
A. 11个 B. 10个 C. 8个 D. 9个
二、填空题
某种植基地2017年蔬菜产量为100吨，预计2019年蔬菜产量将达到144吨，据此估计该种植基地蔬菜产量的年平均增长率(百分数)为______．
某市政府绿化环境，改变城市面貌，计划2016投资2亿元改造绿地面积，预计2018年计投资2.42亿元改造绿地面积，若这两年内平均每年投资的增长率相同，则每年市政府投资的增长率是______．
如图，学校将一面积为110m2的矩形空地一边增加4m，另一边增加5m后，建成了一个正方形训练场，则此训练场的面积为______m2．
某种文化衫，平均每天销售40件，每件盈利20元，由于换季现准备降价销售，若每件降价0.5元，则每天可多售5件，为了尽快减少库存且每天要盈利1080元，每件应降价______元．
由于受“一带一路”国家战略策略的影响，某种商品的进口关税连续两次下调，由4000美元下调至2560美元，则平均每次下调的百分率为______．
三、解答题
我市某地区大力发展乡村旅游，计划分两期利用当地的闲置土地种植花木和修建鱼塘．
(1)第一期预计种植花木和修建鱼塘共计60亩，种植花木的土地面积不低于修建鱼塘的土地面积的5倍，那么种植花木的土地面积最少为多少亩？
(2)第一期按计划完成后，共投入了150万元，种植花木的土地面积刚好是计划的最小值，并且种植花木和修建鱼塘每亩所花的平均费用之比为2：5.按计划，第二期将在第一期的基础上扩大规模，投入资金将在第一期的基础上增加4a%，经测算，第二期种植花木和修建鱼塘每亩所花的平均费用将在第一期的基础上分别增加2a%，3a%，种植花木和修建鱼塘的土地面积将在第一期的基础上分别增加a%，2a%.求a的值．
某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少10件，问：
(1)应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元？
(2)店主想要获得每天800元的利润，小红同学认为不可能．如果你同意小红同学的说法，请用两种不同的方法进行说明．如果你不同意，简要说明理由．
某商店将进价为10元的商品按每件15元售出，每天可售出460件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少20件．
(1)若售价提价1元，此时单件利润为______元，销售量为______件；
(2)应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为2720元？
某公司委托旅行社组织一批员工去某风景区旅游，旅行社收费标准为：如果人数不超过30人，人均旅游费用为800元；如果人数多于30人，那么每增加一人，人均旅游费降低10元；但人均旅游费不低于550元，公司支付给旅行社30000元，求该公司参加旅游的员工人数．
某商业街有店面房共100间，2016年平均每间店面房的年租金为1万元，由于物价上涨，到2018年平均每间店面房的年租金上涨到了1.21万元，据预测，当每间的年租金定为12100元时，可全部租出；若每间的年租金每增加0.1万元，就要少租出10间，该商业街管委会要为租出的商铺每间每年交各种费用0.1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用0.05万元．
(1)求2016年至2018年平均每间店面房年租金的平均增长率；
(2)当每间店面房的年租金上涨多少万元时，该商业街的年收益(收益=租金?各种费用)为103.8万元？
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
设每千克水果应涨价x元，得出日销售量将减少20x千克，再由盈利额=每千克盈利×日销售量，依题意得方程求解即可．
【解答】
解：设每千克水果应涨价x元，
依题意得方程：(500?20x)(10+x)=6000，
整理，得x2?15x+50=0，
解得x1=5，x2=10．
答：每千克水果应涨价5元或10元．
故选D．
2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设道路的宽度为xm，将剩余部分合成矩形，利用矩形的面积公式及草坪面积为306m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答】
解：设道路的宽度为xm，
根据题意得：(20?2x)(18?x)=306，
化简得：x2?28x+27=0，
解得：x1=1，x2=27．
∵20?2x>0，
∴x<10，
∴x=1．
故选：D．
3.【答案】A
【解析】解：设该产品的质量档次是x档，则每天的产量为[95?5(x?1)]件，每件的利润是[6+2(x?1)]元，
根据题意得：[6+2(x?1)][95?5(x?1)]=1120，
整理得：x2?18x+72=0，
解得：x1=6，x2=12(舍去)．
故选：A．
设该产品的质量档次是x档，则每天的产量为[95?5(x?1)]件，每件的利润是[6+2(x?1)]元，根据总利润=单件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其小于等于10的值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：设每件工艺品降价x元，则每天的销售量为(100+5x)件，
根据题意得：(130?100?x)(100+5x)=3000，
故选：B．
设每件工艺品降价x元，则每天的销售量为(100+5x)件，根据每日的利润=每件的利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：设这次参加比赛的球队个数为x个，
根据题意得：
x(x?1)2=36，
解得：x1=?8(舍去)，x2=9，
即这次参加比赛的球队个数为9个，
故选：D．
设这次参加比赛的球队个数为x个，根据“教育局组织篮球比赛庆国庆，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，共进行了36场比赛”，列出关于x的一元二次方程，解之即可．
本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．
6.【答案】20%
【解析】解：设该种植基地蔬菜产量的年平均增长率(百分数)为x，
根据题意，得100(1+x)2=144，
解这个方程，得x1=0.2=20%，x2=?2.2．
经检验x2=?2.2不符合题意，舍去．
即：该种植基地蔬菜产量的年平均增长率(百分数)为20%．
故答案是：20%．
根据2019年的产量=2017年的产量×(1+年平均增长率)2，把相关数值代入即可．
此题考查了一元二次方程的应用(增长率问题).解题的关键在于理清题目的含义，找到2018年和2019年的产量的代数式，根据条件找准等量关系，列出方程．
7.【答案】20%
【解析】解：设每年市政府投资的增长率是x，根据题意得：
2(1+x)2=2.42，
解得：x1=0.2=20%，x2=?3.2(舍去)．
答：每年市政府投资的增长率为20%；
故答案为：20%．
设每年市政府投资的增长率是x，根据计划2016投资2亿元改造绿地面积，预计2018年计投资2.42亿元改造绿地面积，列出方程，求解即可．
此题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为a(1+x)n，其中n为共增长了几年，a为第一年的原始数据，x是增长率．
8.【答案】225
【解析】解：设训练场的边长为x?m，则原空地的长为(x?4)m，宽为(x?5)m，
依题意，得(x?4)(x?5)=110，
解之，得x=15，
所以，训练场的面积为225?m2．
故答案是：225．
可设训练场的边长为x?m，则原空地的长为(x?4)m，宽为(x?5)m.根据长方形的面积公式列出方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
9.【答案】14
【解析】解：设每件降价x元，那么降价后每件盈利(20?x)元，每天销售的数量为(40+10x)件；
可列方程为：(20?x)(40+10x)=1080．
解得：x1=2，x2=14．
为了尽快减少库存，则每件降价14元，
答：每件应降价28元．
故答案为：14
设每件降价x元，那么降价后每件盈利(20?x)元，每天销售的数量为(40+10x)件，根据每天要盈利1080元，即可列出方程．
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是要弄清题意，利用销售问题中的基本数量关系解决问题．
10.【答案】20%
【解析】解：设平均每次下调的百分率为x，由题意，得
4000(1?x)2=2560，
解得：x1=0.2=20%，x2=1.8(舍去)．
故答案是：20%．
设平均每次下调的百分率为x，则两次降价后的关税为4000(1?x)2，根据降低率问题的数量关系建立方程求出其解即可．
本题考查了一元二次方程的应用，降低率问题的数量关系的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据降低率问题的数量关系建立方程是关键．
11.【答案】解：(1)设种植花木的土地面积为x亩，修建鱼塘的土地面积为(60?x)亩；
根据题意得，x≥5(60?x)，
解得：x≥50，
答：种植花木的土地面积最少为50亩；
(2)第一期种植花木所花的平均费用为150÷[50+(60?50)×52]=2(万元)；
第一期修建鱼塘每亩所花的平均费用是2×52=5(万元)，
根据题意得，2×(1+2a%)×50×(1+a%)+5×(1+3a%)×10×(1+2a%)=150×(1+4a%)，
设y=a%，整理得：10y2?y=0，
解得：y1=0(不合题意，舍去)，y2=0.1，
∴a的值为10．
【解析】(1)种植花木的土地面积为x亩，修建鱼塘的土地面积为(60?x)亩，根据种植花木的土地面积不低于修建鱼塘的土地面积的5倍，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论；
(2)根据单价=总价÷数量可求出种植花木的平均费用，进而可求出修建鱼塘每亩的平均费用，设y=a%结合总价=单价×数量即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出y值，进而可得出a的值．
本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)根据种植花木的土地面积不低于修建鱼塘的土地面积的5倍，列出关于x的一元一次不等式；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．
12.【答案】解：(1)设将每件商品提价x元，则每天可售出该商品(200?20x)件，
根据题意得：(10?8+x)(200?20x)=640，
整理得：x2?8x+12=0，
解得：x1=2，x2=6，
∴10+x=12或16．
答：每件售价定为12元或16元．
(2)同意小红同学的说法，理由如下：
(i)设将每件商品提价y元，则每天可售出该商品(200?20y)件，
根据题意得：(10?8+y)(200?20y)=800，
整理得：y2?8y+20=0．
∵Δ=(?8)2?4×1×20=?16<0，
∴该方程无解，
∴小红同学的说法正确；
(ii)设将每件商品提价a元，每天的利润为w元，则每天可售出该商品(200?20a)件，
根据题意得：w=(10?8+a)(200?20a)=?20a2+160a+400=?20(a?4)2+720，
∵?20<0，
∴当a=4时，w取最大值，最大值为720，
∵720<800，
∴小红同学的说法正确．
【解析】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的最值，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一元二次方程；(2)(i)找准等量关系，正确列出一元二次方程；(ii)利用配方法，求出二次函数的最值．
(1)设将每件商品提价x元，则每天可售出该商品(200?20x)件，根据每天的利润=每件商品的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
(2)(i)设将每件商品提价y元，则每天可售出该商品(200?20y)件，根据每天的利润=每件商品的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式△=?16<0，即可得出该方程无解，进而可得出小红同学的说法正确；(ii)设将每件商品提价a元，每天的利润为w元，则每天可售出该商品(200?20a)件，根据每天的利润=每件商品的利润×每天的销售量，即可得出w关于a的二次函数关系式，利用二次函数的性质即可得出其最大值，由该值小于800，即可得出小红同学的说法正确．
13.【答案】(1)6，? ?420? ;
(2)设每件商品应提交x元，则每天可售出(460?40x)件，
根据题意得：(15?10+x)(460?40x)=2720，
整理得：x1=3，x2=3.5，
∴15+x=18或18.5．
答：应将每件售价定为18元或18.5元．
【解析】解：(1)15?10+1=6(元)，
460?1×(20÷0.5)=420(件)．
故答案为：6；420．
(2)见答案．
(1)根据单件利润=15?10+提升价格，可求出售价提价1元时的单件利润，再利用日销售量=460?40×提升价格，即可求出售价提升1元的销售量；
(2)设每件商品应提交x元，则每天可售出(460?40x)件，根据每天的利润=单件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14.【答案】解：设该公司有x人参加旅游．
∵30×800=24000<30000，
∴x>30．
30+(800?550)÷10=55(人)．
根据题意得：当30化简得：x2?110x+3000=0，
解得：x1=50，x2=60(舍去)；
当x>55时，有550x=30000，
解得：x=60011(舍去)．
答：该公司有50人参加旅游．
【解析】设该公司有x人参加旅游，由30×800=24000<30000，可得出x>30，分3055两种情况考虑，由总价=单价×数量，可得出关于x的一元二次方程(一元一次方程)，解之即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，分3055两种情况，列出关于x的方程是解题的关键．
15.【答案】解：(1)设2016年至2018年平均每间店面房年租金的平均增长率为x，
根据题意得：1(1+x)2=1.21，
解得：x1=0.1=10%，x2=?2.1(舍去)．
答：2016年至2018年平均每间店面房年租金的平均增长率为10%．
(2)设每间店面房的年租金上涨y万元，则可租出(100?100y)间店面房，
根据题意得：(1.21+y)(100?100y)?0.1(100?100y)?0.05×100y=103.8，
化简得：500y2+80y?36=0，
解得：y1=0.2，y2=?0.36(舍去)．
答：当每间店面房的年租金上涨0.2万元时，该商业街的年收益为103.8万元．
【解析】(1)设2016年至2018年平均每间店面房年租金的平均增长率为x，根据2016年及2018年平均每间店面房年租金，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
(2)设每间店面房的年租金上涨y万元，则可租出(100?100y)间店面房，根据收益=租金?各种费用，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．